基于加權(quán)多項(xiàng)式回歸模型的變形預(yù)報(bào)★

徐 歡 董洪鵬 王繼剛

(淮海工學(xué)院測(cè)繪與海洋信息學(xué)院，江蘇 連云港 222059)

1 概述

變形是指變形體在各種因素的影響下，其形狀、大小以及位置在時(shí)空域中發(fā)生的變化[1]。變形在一定范圍內(nèi)是允許的，但是一旦超過其所能承受的變形范圍時(shí)，往往會(huì)演變成災(zāi)難。為了能夠發(fā)現(xiàn)變形體的變形，有效的方法就是對(duì)變形體開展變形監(jiān)測(cè)工作，獲得變形數(shù)據(jù)，分析其變形的原因，然后對(duì)未來變形體的變形做出預(yù)報(bào)[2]。目前變形監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)模型有很多，如統(tǒng)計(jì)模型、時(shí)間序列模型、灰度系統(tǒng)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[3]。在這些模型中，多項(xiàng)式回歸模型就是一種最常用的模型。該模型建模時(shí)不必考慮過多的因素，通常僅僅需要變形量是等間隔的時(shí)間序列(不等間隔的可以等間隔化)這一條件。該模型具有很好的適應(yīng)性，在具體使用時(shí)往往采用低階模型，這樣參數(shù)少，容易求解。在實(shí)際建模過程中，我們往往考慮觀測(cè)值是等精度觀測(cè)的，從建模角度來講是客觀合理的，但是從預(yù)報(bào)的角度來說，就有失公允，因?yàn)榫嚯x變形預(yù)報(bào)時(shí)刻越近的觀測(cè)值，對(duì)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性和可靠性價(jià)值就越高，相反，距離變形時(shí)刻越遠(yuǎn)的觀測(cè)值，其重要性明顯降低，因此建模時(shí)應(yīng)顧及到觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)報(bào)的重要性，而解決這一問題可以使用權(quán)，用權(quán)來調(diào)整數(shù)據(jù)的重要性。

鑒于此，本文討論了加權(quán)多項(xiàng)式回歸模型，核心問題討論權(quán)的分配，并分析了該法的預(yù)報(bào)特點(diǎn)，期望能為變形預(yù)報(bào)提供有益的參考。

2 多項(xiàng)式回歸模型

2.1 多項(xiàng)式回歸模型概述

回歸模型是指利用回歸分析方法研究一個(gè)因變量與一個(gè)或多個(gè)自變量之間的函數(shù)模型。最常用的回歸模型是線性回歸模型，因?yàn)榫€性模型簡(jiǎn)單實(shí)用，而且非線性模型往往可以化為線性模型。多項(xiàng)式模型是線性模型的一種，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

yt=a0+a1t+a2t2+…+antn,t∈(0,+∞)

(1)

其中，y為變形量；t為等間隔的觀測(cè)期數(shù)；a0,a1,a2，…，an均為相應(yīng)的系數(shù)。可見多項(xiàng)式模型相對(duì)于一般的線性模型來講比較簡(jiǎn)單，只涉及到了觀測(cè)期數(shù)這一個(gè)自變量，因此該模型獲得了廣泛的應(yīng)用。

因?yàn)楦叽蔚亩囗?xiàng)式模型存在著穩(wěn)定性較差的缺點(diǎn)，在生產(chǎn)實(shí)踐中，我們往往不是直接應(yīng)用式(1)，而是應(yīng)用低階多項(xiàng)式，通常選用二階多項(xiàng)式：

yt=a0+a1t+a2t2

(2)

式(2)物理意義明顯，系數(shù)a1就是變形體的變形速率，而系數(shù)a2就相當(dāng)于變形的加速度。

在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，當(dāng)有三期及三期以上的觀測(cè)值，我們就可以用線性回歸模型理論建模，通常運(yùn)用最小二乘法求得系數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)。假設(shè)觀測(cè)了n期，則系數(shù)矩陣如下:

(3)

為了便于區(qū)別，我們?cè)谙挛闹惺褂么朔椒ń⒌亩囗?xiàng)式模型稱為經(jīng)典模型。

2.2 加權(quán)改進(jìn)

在式(3)中我們可以對(duì)觀測(cè)值賦予權(quán)，并且認(rèn)為各個(gè)元素間是不相關(guān)的，得到權(quán)陣P，那么式(3)可以改為[4]：

(4)

其中,P為對(duì)角陣，簡(jiǎn)潔記為P=diag(p1，p2,…，pn)=diag(pi),i=1,2,…,n。

可見，式(3)默認(rèn)是所有建模數(shù)據(jù)精度相同，P是單位陣，也是式(4)的一個(gè)特例。

此處必須指出，加權(quán)的目的是調(diào)節(jié)數(shù)據(jù)的重要性，數(shù)據(jù)在變形預(yù)報(bào)中重要性越大，權(quán)就應(yīng)該越大，這和測(cè)量平差中權(quán)有所不同，在平差中權(quán)的作用是將觀測(cè)值等精度化。下面根據(jù)變形量特性及觀測(cè)數(shù)據(jù)距離預(yù)報(bào)時(shí)間的長短來構(gòu)建權(quán)函數(shù)，進(jìn)而得到權(quán)陣。

(5)

實(shí)際使用中，不宜分過多的組，4組左右為宜，因?yàn)橐话阕冃误w的變形可以分為緩慢變形、變形發(fā)展、變形加劇和急劇變形四個(gè)階段[5]；另外也可以從期數(shù)角度考慮，不同期數(shù)可以分為一組，組內(nèi)的各期觀測(cè)值賦予相同的權(quán)。注意權(quán)之比p1∶pi要控制在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)。

2)倒指數(shù)權(quán)。為了改善分段函數(shù)不連續(xù)性的缺點(diǎn)，可以改用倒指數(shù)函數(shù)來構(gòu)造權(quán)，我們知道變形曲線往往可以用倒指數(shù)曲線來擬合，倒指數(shù)曲線函數(shù)關(guān)系式為：

(6)

其中，y為變形量;i為等間隔的觀測(cè)期數(shù)，運(yùn)用可化為一元線性回歸的模型理論求得系數(shù)d和b。考慮到權(quán)是一個(gè)比例系數(shù)，則此法定義得到的權(quán)為:

(7)

3)直線型。距離預(yù)報(bào)時(shí)刻越近的觀測(cè)值賦予越大的權(quán)，直線函數(shù)賦權(quán)最為簡(jiǎn)單，可以直接定義:

pi=i，i為對(duì)應(yīng)的觀測(cè)期數(shù)

(8)

式(8)中是截距為零的直線，考慮最大權(quán)值和最小權(quán)值比不宜過大，可以通過改變直線的截距來改變觀測(cè)值的權(quán)之比。

3 算例分析

本文選用了文獻(xiàn)[6]的觀測(cè)數(shù)據(jù)，截取了其中的前30期數(shù)據(jù)，見表1。計(jì)算策略是利用前20期的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，后10期的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)和檢驗(yàn)。采用了經(jīng)典方法和上述三種加權(quán)方法進(jìn)行了建模和預(yù)報(bào)，結(jié)果也一并列入表1。

為了便于比較基于加權(quán)改進(jìn)模型與經(jīng)典模型預(yù)報(bào)精度的特點(diǎn)，表2給出了這四種方法的預(yù)報(bào)均方差。

分析表1，表2，可以得出結(jié)論：

1)加權(quán)改進(jìn)多項(xiàng)式回歸模型仍然保留多項(xiàng)式回歸模型的優(yōu)良特性，只是對(duì)參與建模數(shù)據(jù)的重要性做了適當(dāng)調(diào)整，結(jié)果依然能夠得到物理意義明確的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)和二次項(xiàng)。無論是何種預(yù)報(bào)方法，隨著預(yù)報(bào)時(shí)間往后推移，預(yù)報(bào)誤差都有明顯的增大趨勢(shì)。

表1 30期觀測(cè)計(jì)算數(shù)據(jù)

表2 四種方法預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì) mm

2)與經(jīng)典模型相比，在所選的相同預(yù)報(bào)時(shí)間內(nèi)，除了第一期經(jīng)典模型預(yù)報(bào)精度略高于三種加權(quán)改進(jìn)的模型外，其他九期，加權(quán)模型都高于經(jīng)典的多項(xiàng)式回歸模型，因此，總的來說加權(quán)改進(jìn)多項(xiàng)式回歸模型能有利于提高預(yù)報(bào)精度。

3)整體來看，三種加權(quán)方法預(yù)報(bào)精度最高的是直線函數(shù)加權(quán)法，倒指數(shù)函數(shù)加權(quán)法次之，分段函數(shù)加權(quán)法最差。這說明不同的加權(quán)方法，賦予觀測(cè)數(shù)據(jù)的重要程度不同，因此，在具體選用何種加權(quán)法時(shí)，要深入研究變形體的特征，以便得到更準(zhǔn)確的權(quán)，從而得到更可靠的預(yù)報(bào)值。

4 結(jié)論與討論

變形監(jiān)測(cè)分析核心問題在于預(yù)報(bào)，對(duì)未來可能的變形做出科學(xué)預(yù)報(bào)，才能達(dá)到防災(zāi)減災(zāi)的目的，也才有可能為今后類似的工程設(shè)計(jì)提供依據(jù)。由于變形體的變形涉及到各種復(fù)雜因素的影響，及時(shí)準(zhǔn)確預(yù)報(bào)變形，一直是學(xué)術(shù)界探討的主題。在眾多預(yù)報(bào)變形的模型中，多項(xiàng)式回歸模型以其考慮因素少，方程階數(shù)低和物理意義明顯的優(yōu)點(diǎn)而受到一線工作者的青睞。在經(jīng)典的多項(xiàng)式回歸模型中，我們把所有的觀測(cè)值重要性看成一樣的，對(duì)預(yù)報(bào)來說，考慮的不盡周全，因?yàn)榫嚯x預(yù)報(bào)時(shí)刻越近的觀測(cè)值，其蘊(yùn)含的信息對(duì)預(yù)報(bào)來說就愈有價(jià)值。因此，可以根據(jù)觀測(cè)值的重要程度，賦予觀測(cè)值一個(gè)權(quán)值，進(jìn)而改善預(yù)報(bào)精度。本文提出的基于分段函數(shù)、倒指數(shù)函數(shù)和直線函數(shù)加權(quán)改進(jìn)的多項(xiàng)式回歸模型，并沒有改變多項(xiàng)式回歸模型的優(yōu)良特性，也沒有對(duì)數(shù)學(xué)建模的方法做實(shí)質(zhì)性的改變，只是通過權(quán)來調(diào)整了數(shù)據(jù)的重要性。實(shí)現(xiàn)加權(quán)改進(jìn)的算法核心是定權(quán)，三種加權(quán)改進(jìn)的方法簡(jiǎn)單易行有效。當(dāng)然在實(shí)踐中，可以根據(jù)本文的思路，基于變形體的變形特征和距離變形預(yù)報(bào)時(shí)刻的遠(yuǎn)近等因素考慮其他的加權(quán)方法。加權(quán)多項(xiàng)式回歸模型幾乎沒有增加算法的復(fù)雜度，但可以有效地提高預(yù)報(bào)精度，為變形預(yù)報(bào)提供了有益的嘗試。

最后需要指出的是權(quán)的給定還存在著明顯的主觀性，如何更加客觀地賦權(quán)，要依賴對(duì)變形體變形的進(jìn)一步研究。同時(shí)，當(dāng)建模存在不等精度觀測(cè)值時(shí)，該如何根據(jù)數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)報(bào)的重要程度賦權(quán)，值得進(jìn)一步研究。