考慮滿意度的兩階段DEA固定成本分攤方法

張 冉，冉 倫，杜 濤,4，李金林

(1.中國光大集團博士后工作站，北京 100033；2.清華大學五道口金融學院博士后流動站，北京 100083；3.北京理工大學管理與經濟學院，北京 100081；4.延安大學經濟與管理學院，陜西 延安 716000)

1 引言

數據包絡分析(Data Envelopment Analysis, DEA)方法是用來評價具有多項投入和多項產出的決策單元(Decision Making Units, DMU)相對效率的方法，最早由Charnes等[1]提出。由于固定成本可以作為一項投入要素，因此很多學者采用DEA方法來研究固定成本的分攤問題。這類問題有著廣泛的應用背景，如集團公司為各子公司建立統一的信息系統所需要的成本如何在各子公司進行分攤，銀行系統為各分行建立統一的交易系統所需要的花費如何分攤等等。

近年來，DEA方法已被廣泛地應用到固定成本的分攤問題中，并取得了諸多的研究成果。Cook和Kress[2]首次將DEA方法應用到固定成本分攤問題中，將待分攤的成本看做一種新的投入要素，以成本分攤后各DMU的效率不變和Pareto最小性為準則，提出了確定成本分攤方案的方法。Beasley[3]以最大化所有DMU的效率和的平均值為目標，建立了一個非線性的DEA模型。李勇軍和梁樑[4]證明了任何DMU在自我設計方案時，都能找到一組分攤方案使其自身的相對效率值達到最大值1。并給出了在一組公共權重下，可以使得組織整體和各DMU效率同時達到最優的成本分攤方案集。進而利用Nash討價還價博弈模型求得唯一的分攤方案。隨后，李勇軍等[5]將DEA方法與聯盟博弈相結合，定義了聯盟博弈的特征函數,提出了基于核仁解的固定成本分攤模型。Li Yongjun等[6]定義了DMU對分攤方案的滿意度，以最大化最小的滿意度為目標函數建立DEA成本分攤模型，得到唯一的成本分攤方案。Du Juan等[7]提出了一種交叉效率的方法，設計了一個迭代過程得到最優的成本分攤方案。其他的利用DEA方法進行成本和資源分攤的研究可參見Cook和Zhu[8]、雷西洋等[9]。以上這些文獻主要集中在決策單元只有一個生產階段的情況下采用DEA方法進行固定成本分攤。

實際生活中，決策單元可能存在兩個(或多個)生產階段，其中第一個階段的產出又作為第二個階段的投入。例如銀行系統中，第一階段投入人力等資源獲得客戶存款，第二階段再用這些存款進行放貸，最終獲得收益。這樣的兩階段DMU的固定成本分攤不僅要考慮固定成本在各DMU之間的分攤，還要考慮到階段間的成本分攤。目前，兩階段DEA方法的研究較為豐富，如Kao和Hwang[10]、Chen Yao等[11]和畢功兵等[12]，但是利用兩階段DEA方法進行固定成本分攤的研究很少。孫玉華和曾慶鐸[13]考慮兩階段網絡DEA，選取兩階段效率的乘積作為DMU的整體效率，通過最大化DMU整體的效率建立DEA模型。在設計成本分攤方案時考慮DMU各階段存在博弈的情況，建立討價劃價模型確定DMU和各階段的分攤成本。然而，他們的研究只是簡單的將李勇軍[4]的方法從單階段系統平移到兩階段系統中，并沒有給出該方法適用于兩階段串聯系統的證明，也沒有任何的數值算例，使得其研究缺乏理論依據。Yu等[14]選取加法形式的效率，選取兩階段效率的加權和作為DMU的整體效率。將Du Juan等[7]提出的交叉效率的方法應用到兩階段串聯系統中。但很可惜，他們的研究并沒有證明交叉效率迭代方法在兩階段串聯系統可以得到唯一的最優解。而且，數值算例的結果也顯示最終各DMU兩階段的效率并沒有達到最優。

總的來說，現有的考慮兩階段DEA進行固定成本分攤的研究都是簡單的將單階段系統的固定成本分攤方法平移到兩階段系統中。無論是孫玉華和曾慶鐸[13]，還是Yu等[14]都沒有給出方法適用性證明，缺乏理論依據。與這些研究不同，本文將Li Yongjun等[6]的研究拓展到兩階段生產系統中，證明了該方法的適用性。然后，進一步考慮了兩階段存在共享投入的情況下如何進行固定成本分攤。具體地，選取Chen Yao等[11]提出的加性兩階段DEA整體效率，以最大化當前DMU整體效率為目標函數建立DEA成本分攤模型。首先證明了每個DMU都可以找到至少一種成本分攤方案使得其自身整體效率和兩階段效率均為1，即Pareto有效。然后證明了存在至少一種成本分攤方案，使得在一組適當的公共權重下，所有DMU的整體效率和兩階段的效率均是Pareto有效的，并給出了這樣的有效成本分攤方案集。在這個方案集中，考慮各DMU各階段對分攤方案的滿意度，以最大化最小的滿意度為目標，建立最終的DEA成本分攤模型，可以得到一組最為公平的成本分攤方案。將問題拓展到兩階段存在共享投入的生產系統中，這些性質定理同樣成立。數值算例部分選取某銀行的27個分行的投入產出數據，將本文提出的方法與Yu等[14]的研究結果進行了對比，指出了本文提出方法的優越性。然后，將投入數據作為共享投入處理，進一步給出了考慮共享投入下的固定成本分攤結果，并與未將投入視為共享投入的情況下得到的結果進行了對比。利用本文的方法進行固定成本分攤能夠保證各分行的整體和階段效率均為Pareto有效，并且分攤方案充分考慮了各DMU兩階段的滿意度，有利于分攤方案的實際執行。

2 考慮固定成本分攤的兩階段效率評價模型

s.t.

(1)

圖1 兩階段DMU系統

在DEA理論中，當被評價決策單元的相對效率值為1的時候，稱其為Pareto有效。

定理1模型(1)中，對于任意的DMUd，都存在至少一種成本分攤方案，使得其自身整體效率和兩階段的效率同時達到Pareto有效。

證明：對于任意DMUd，令：

這是因為ξ滿足模型(1)的所有約束條件：

定理1說明了每個DMU從自身的角度出發，都可以找到至少一組分攤方案使其自身無論是整體效率還是階段效率都達到帕累托有效。但是從每個DMU自身角度出發得到的成本分攤方案不能保證其他DMU也達到Pareto有效，因此需要尋求一種分攤方案集，使得所有DMU的兩階段效率和整體效率能夠同時達到Pareto有效。

定理2在模型(1)下，至少存在一種成本分攤方案，使得在一組公共的權重下，所有DMU的兩階段效率和整體效率同時達到Pareto有效。

證明：同樣地，令：

(2)

證明：由定理2可知，存在一組共同的權重使得所有DMU的兩階段效率和整體效率均為1，假設這組公共權重為(vi,ur,?i,r)，則有：

(3)

顯然等式組(3)可以轉化為等式組(2)，因此基于(2)的成本分攤方案集Ω，能夠保證在一組適當的公共權重下使得所有DMU的整體效率和階段效率均為1。

定理1至定理3構成了本文的兩階段DEA固定成本分攤方法的理論基礎。它們保證了在一組適當的公共權重下，決策者可以找到至少一組成本分攤方案，使得所有DMU的階段效率和總效率都達到最優，同時系統的總效率也達到最優。定理3中給出的有效成本分攤集中的任何一個成本分攤方案，都能夠找到一組合適的公共權重，使得所有DMU的兩階段效率和總效率都達到最優。

問題(1)是一個分式規劃，通過Charnes-Cooper變換將其轉換成線性規劃問題，令：

(4)

3 考慮滿意度的兩階段固定成本分攤模型

由定理2可知問題(1)存在唯一的最優目標函數值1，但使得其目標函數值最優的解可能存在很多。即可能存在多種權重組合和成本分攤方案，使得DMU的最優效率值為1。為了尋求一組確定的成本分攤方案，考慮各DMU對成本分攤的公平感知，在有效成本分攤方案集中尋找一組最為公平的分攤方案。

(5)

模型(5)有效地將DMU各階段的DEA相對效率與其對分攤方案的滿意程度結合起來。由于采用的是Pareto有效的成本分攤方案集作為約束條件，因此，可以保證由此得到的分攤方案可以使所有DMU整體和兩階段效率能夠在一組公共的權重下同時達到Pareto有效。由模型(5)得到的分攤方案充分考慮了各DMU各階段對分攤結果的滿意度，使得分攤方案更加公平。

(6)

這里我們把n個DMU拆分成2n個DMU，即把每個DMU的每個階段都當做一個DMU，使其最小的滿意度最大。模型(6)轉化為：

(7)

則上述模型中ρj,j=1,2,…,n,是DMUj第I階段的滿意度，ρj,j=n+1,n+2,…,2n,是第II階段的滿意度。Rj,j=1,2,…,n,是DMUj第I階段的固定成本分攤量，Rj,j=n+1,n+2,…,2n,是DMUj第II階段的固定成本分攤量。設計以下步驟獲得模型(7)的最終解。

步驟3：令l=l+1,求解下面的模型：

…

ρj≥β,j∈J2l-3,j∈J2l-2

ur,vi,wf,Rj≥0, ?i,r,j

(8)

上述方法可以保證在有限的迭代過程后得到唯一的最優解。得到的解是使得各DMU各階段的滿意度差別最小的，保證了分攤結果的公平性。同時由于所有的計算過程都是以有效的成本分攤方案集為約束條件的，因此得到的分攤方案可以使得在一組公共的權重下，所有的DMU和各階段效率都是Pareto有效的。

4 考慮兩階段存在共享投入的情況

現實生活中，這些兩階段生產系統往往具有一些共同的投入資源，且該資源很難被清楚地劃分到兩個階段的生產過程中。如Chen等[16]認為銀行的存款階段需要人員、信息技術、固定資產等投入，同樣，在貸款階段也需要人員、信息技術和固定資產等投入。而且，這兩個階段的共同投入很難劃分清楚。因此，考慮共享投入后再依據效率來進行固定成本的分攤更加符合實際，更具有指導意義。因此，將所研究的兩階段生產系統進行拓展，考慮對如圖2所示的決策單元進行固定成本分攤。

圖2 具有共享投入的兩階段DMU系統

對于每個DMUj，其共享的投入在兩階段之間的比例βi2j在理論上的取值范圍是[0,1]，但當βi2j取0或1的時候代表項投入資源要么全部用于第I階段生產，要么全部用于第II階段的生產，因此就不是共享的投入了。而且，在實際中，每個DMU每項共享的投入其在兩階段的占比會有一個大概的取值范圍，參照Chen Yao等[16]的研究，本文設置為[Li2j,Ui2j]。對于任意的DMUd，最大化其整體效率可以建立以下模型：

s.t.

Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2,j=1,2,…,n

(9)

Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2, ?j

(10)

實際上，由于階段I和階段II都參與固定成本的分攤，因此固定成本也是一種共享的投入?？梢哉f，不考慮共享投入是一種特殊情況，共享投入的模型更加具有一般化。因此，是否考慮共享投入不會影響到本文幾個定理的結論。即對于任意的決策單元，總是能找到至少一種成本分攤方案，使得其自身整體效率和兩階段的效率同時達到Pareto有效。并且當對所有決策單元采用一組合適的公共權重來進行效率評價時，能夠找到至少一組成本分攤方案使得所有決策單元的整體效率和兩階段的效率同時達到Pareto有效。

s.t.

υi2Li2j≤γi2j≤υi2Ui2j, ?i2∈I2,j=1,2,…,n

(11)

Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2, ?j

(12)

同樣可以采用第3節中的算法求解模型(12)，由于采用的是Pareto有效的成本分攤方案集作為約束條件，因此，可以保證由此得到的分攤方案可以使所有DMU整體和兩階段效率能夠在一組公共的權重下同時達到Pareto有效。

5 算例分析

為了方便與Yu等進行對比，本文同樣采用Chen Yao等[16]使用的銀行的相關數據對上述建立的考慮滿意度的兩階段固定成本分攤模型進行檢驗。數據中的27個分行隸屬于同一個銀行，并且各自獨立運營。每個分行都以固定資產、IT投入和員工作為第一階段的投入來獲得顧客存款。然后在第二階段利用這些存款作為投入，以貸款回收比例和利潤作為產出。

假設銀行總行要將100萬美元的某項固定成本分攤到27個分行。利用本文提出方法，首先算出每個DMU各階段固定成本均攤的最大值和最小值，然后建立模型(5)，采用本文改進的算法來求解，利用Matlab編程，程序計算1次就滿足了n1+n2+…+nl≥m+g+s，即滿意度最小的決策單元的數量大于6，這時迭代停止，得到的最終的兩階段成本分攤結果、滿意度和公共權重下的效率如表1所示：

表1中第2至5列分別顯示了各DMU兩階段需要分攤的固定成本的最小值和最大值。所有DMU第I階段需要分攤的成本的最小值都是0。而對于DMU的階段II，只有幾個分行的最小值是0，大多數分行的最小值都大于0。這意味著大多數分行的階段II勢必要比階段I分攤更多成本。同樣，通過對比各DMU兩階段需要分攤的最大的成本也可以看出，階段II需要分攤的最大值也普遍比階段I高。這與通過對比最小值得到的結論是一致的。第6和7列是模型最終算得的各DMU兩階段需要分攤的固定成本的最優值，所有DMU兩階段的固定成本分攤的總量為R=100。在這個分攤方案下，可以保證DMU各階段對分攤方案的最小滿意度最大化。第8和9列即是各DMU各階段對該分攤方案的滿意度。其中第 6，8，9，10，11，14，15，16分行的階段I和第3，14，24分行的階段II對分攤方案的滿意度最低，為0.54。其他分行的兩階段對分攤方案的滿意度均高于0.54，最大的滿意度為第20分行的階段II0.75。滿意度最小的決策單元的個數為11大于6，因此模型計算1次即終止。最后3列驗證了在這組公共權重下，各DMU按照上述結果對各階段進行固定成本分攤，可以保證所有DMU的整體和階段效率均為Pareto有效。通過對比第8列和第9列數據還可以發現，同一個DMU在兩個階段之間對固定成本的分攤方案的滿意度也很相近。因此，該分攤方案是較公平的，切實可行的。

接下來，將利用本文提出的方法得到的結果與Yu等[14]的結果進行對比，見表2。

表1 本文方法固定成本分攤的相關結果

表2 本文和Yu等[14]分攤結果對比

續表2 本文和Yu等分攤結果對比

表2中Yu等[14]的結果是通過兩階段DEA交叉效率的方法得到的。本文則是采用公共權重對所有DMU進行效率評價和成本分攤。由于Yu等[14]文中只給出了DMU整體分攤的成本量和分攤后兩階段的效率，因此，這里僅對這幾項結果進行對比。通過對比DMU整體的成本分攤量可以看出，兩種方法的分攤結果存在一定的差別。但從整體的分攤趨勢來看，兩種方法的結果是一致的。如第7、9和18分行的成本分攤量均高于其他分行；第12、16和17分行的成本分攤量均低于其他分行等。通過對比分攤后兩階段的效率，可以明顯看出，本文提出的方法能夠保證所有的DMU兩階段的效率都達到最優值1。而Yu等[14]在分攤后兩階段的效率并非都達到了最優值1，這也說明了該方法存在一定的改進空間。因此，從分攤后各DMU的效率來看，本文提出的方法優于Yu等[14]的方法。

實際生活中，銀行的存貸款兩階段都需要固定資產、IT投入和員工。因此，這些投入是兩階段共享的資源，而且很難進行精確的劃分。針對這種情況，本文參照Chen Yao等[16]的設置，假設不同分行同一種共享投入資源比例的上下界是相同的，設定這三項共享的投入資源用于階段I的比例區間分別為0.4≤βF≤0.6，0.25≤βI≤0.75和0.55≤βE≤0.75。利用第4節中的方法來分攤100萬美元固定成本。將是否作為共享投入處理得到的結果進行對比，如表3所示。

表3 是否視為共享投入的結果對比

表3中第2至7列是未將固定資產、IT投入和員工作為共享投入處理得到的結果。第8至13列是將它們作為共享投入處理得到的結果?？梢钥闯觯瑹o論是否將它們作為共享投入，最終得到的結果，各DMU整體及其兩階段的公共權重效率都為1?？紤]共享投入的情況下，所有決策單元階段I的

表3 是否視為共享投入的結果對比

成本分攤量都變小，階段II的成本分攤量變大。這是因為階段I的投入分出去一部分到階段II，即階段I 的投入減少，與之對應的其應該分攤的成本也隨之減少。同理，階段II的投入增加，則與之對應的其應該分攤的成本也隨之增加。因此，是否考慮共享投入對成本分攤的結果是有影響的。當兩階段存在共享的投入資源時，將這些資源分配到兩階段后再進行計算更加合理。

6 結語

本文研究兩階段DEA固定成本分攤問題。首先從效率的角度出發，證明了每個DMU從自身角度出發都能夠找到至少一組成本分攤方案，使得其自身達到Pareto有效。對各DMU選取相同的投入產出權重時，至少存在一種固定成本分攤方案，使得各DMU的整體和兩階段都是Pareto有效的，并給出了使得DMU的整體和階段效率在公共的權重下都達到Pareto有效的有效成本分攤方案集。然后從公平的角度，定義了DMU各階段對分攤方案的滿意度，在滿足有效成本分攤方案集的前提下，最大化最小的滿意度得到最終的分攤方案。然后將問題拓展到兩階段含有共享投入的情況下，證明了這些定理和性質同樣成立。數值算例部分將本文與Yu等[14]的研究結果進行了對比，驗證了本文方法的可行性和有效性，指出了本文方法的優越性。

本文提出的方法適用于組織采用統一的權重進行效率評價和成本分攤的情況。例如，銀行總行對各分行進行固定成本分攤、連鎖超市對各子超市進行固定成本分攤、集團總公司對各子公司進行固定成本分攤等。本文既考慮了DMU的整體和階段效率，又考慮了DMU各階段對分攤方案的滿意度，兼顧了效率和公平，得到的分攤方案合理可行，能夠為管理者提供一定的決策依據。