妙用三角 巧解物理

董越洋 王洪娜

摘 要：在高中物理的力學學習中，活用三角解題往往能更加直觀快捷地把握題目，作者將自己在高三一輪復習中使用的三角知識解決的物理問題進行了分類總結，以期幫助學生準確解題。

關鍵詞：高中物理；三角和三角函數；解決物理問題

物理是一門精密科學，與數學有著密切的關系。無論是在物理學習的過程中，還是應用物理知識解決問題的過程中，或多或少要進行數學推導和數學運算。在《考試大綱》中關于物理學科要考察的“應用數學處理物理問題的能力”有這樣的一段敘述：能夠運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析。其中應用最為廣泛的圖形便是三角形。以下是筆者總結的一些用三角形知識解決物理問題的典例，希望大家有所收獲。

一、 三角形在“速度的合成與分解”中的應用

（一） 在“速度的合成”方面

速度作為最基本的矢量之一，在進行運算的時候經常用三角形定則來進行計算，在速度的合成過程中代表著兩個分速度的有向線段首尾相連組成矢量三角形的第三邊即為合速度。

最典型的例子就是小船過河問題。小船過河的問題涉及兩種情況，第一是船速大于水速，當小船以最短位移過河的時候，如圖一所示，將船速作為斜邊，水速作為一個直角邊，另一條直角邊作為合速度，垂直于河對岸行駛，使得渡河位移最短。但當船速小于水速的時候，由于三角形的斜邊永遠大于兩個直角邊，所以船速不能作為斜邊合成三角形，也就意味著小船在河中的位移不能垂直于河對岸。解決這個問題的時候，就要將水速作為斜邊，然后以船速大小為半徑以水速的矢量端點為圓心畫弧，此時過另一個矢量端點的圓弧的切線就是最短位移時的合速度。（如圖二所示）

（二） 在“速度的分解”方面

在進行速度分解的時候，通常要根據物體的實際運動狀況，將物體的速度進行合理的分解，組成矢量三角形，如下面這道例題。

（2018·湖北龍泉中學、宜昌一中聯考）某人用繩子通過定滑輪拉物體A，A穿在光滑的豎直桿上，人以速度v0勻速向下拉繩，當物體A到達如圖所示位置時，繩與豎直桿的夾角為θ，則物體A實際運動的速度是（ ）

A. v0cosθB. v0cosθ

C. v0sinθD. v0sinθ

解析：將A的速度以運動效果分解為沿繩方向（改變速度的大小）和垂直于繩方向（改變速度的方向）的速度，如圖所示，拉繩的速度等于A沿繩方向的分速度，根據三角形定則得，實際速度v=v0cosθ。

二、 三角形在“力的合成與分解”中的應用

（一） 三角函數的使用

在力學問題的研究過程中，使用最多的就是三角函數。三角函數經常用于對物體進行受力分析和最值的求解，在受力分析以后進行正交分解，將未知力用已知力和三角函數表示出來，在進行最值求解的時候要利用“一角一函數”對力的表達式進行化簡，然后求出最值，如下面這道例題。

（2011·上海二模）如圖五所示，水平地面上放置一個質量為m的物體，在與水平方向成θ角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面運動，物體與地面間的動摩擦因數為μ。若物體以恒定加速度a=5m/s2向右做勻加速直線運動，求維持這一加速度的拉力F的最小值。（已知m=10kg、μ=0.5）

解析：對物體進行受力分析，可得：Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=ma

整理得F=μmg+macosθ+μsinθ=μmg+ma1+μ2sin（θ+α），利用“一角一函數”化簡得

α=sin-111+μ2，當sin（θ+α）=1時，F有最小值，Fmin=μmg+ma1+μ2=405N。

（二） 相似三角形的使用

在進行動態分析的時候經常使用三角形的相似來解決問題。若題目已知一個力的大小和方向以及另一個力的大小，求解剩余一個力的變化過程，此時要利用三力合成的矢量三角形與幾何三角形有相似關系，得出結果，如下面這道例題。

如圖六所示是一個簡易起吊設施的示意圖，AC是質量不計的撐桿，A端與豎直墻用鉸鏈連接，一個滑輪固定在A點正上方，C端吊一個重物.現施加拉力F緩慢將重物P向上拉，在AC桿達到豎直前（ ）

A. BC繩中的拉力FT越來越大

B. BC繩中的拉力FT越來越小

C. AC桿中的支撐力FN越來越大

D. AC桿中的支撐力FN越來越小

解析：如圖七所示，做出C點的受力示意圖，由圖可知力的矢量三角形與幾何三角形相似。由此可得FTBC=FNAC=GAB，解得BC繩中的拉力為FT=GBCAB，AC桿中的支撐力為FN=GACAB，由于重物P向上運動時，AB、AC長度不變，BC長度變小，故FT減小，FN不變。選項B正確。

（三） 正弦定理的使用

正弦定理在使用的時候，題目中往往會給出一個大小方向確定的力和兩個有固定夾角的力，由于兩個力的大小方向都在改變，所以要利用正弦定理找出確定力和不確定力之間的關系從而得出結論，如下面這道例題。

（2017·全國卷Ⅰ）如圖八，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N.初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>π2）。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中（ ）

A. MN上的張力逐漸增大

B. MN上的張力先增大后減小

C. MO上的張力逐漸增大

D. OM上的張力先增大后減小

解析：將重物向右上方緩慢拉起，重物處于動態平衡狀態。將重物的重力沿兩繩方向分解，畫出分解的動態圖，如圖九所示。在三角形中，根據正弦定理有G/sinγ1=FOM1/sinβ1=FMN1/sinθ1，由平行關系得，γ=180°-α不變。

因sinβ（β為FMN與G的夾角）先增大后減小，故OM上的張力先增大后減小。

因sinθ（θ為FOM與G的夾角）逐漸增大，故MN上的張力逐漸增大，故選項A、D正確。

三、 結語

以上是筆者為大家簡單總結的一些利用三角形有關知識解決物理問題的方法，希望能給大家帶來一些幫助。

參考文獻：

[1]教育部考試中心.2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2017.12.

[2]弼盛，優化探究.高考總復習[M].物理.濟南：濟南出版社，2018.1.

作者簡介：

董越洋，王洪娜，山東省青島市，山東省青島第五十八中學。