信息光學視角下菲涅耳雙棱鏡干涉的研究

張穎濤，李洪國

(天津理工大學 理學院，天津 300384)

1 引 言

19世紀初，英國物理學家托馬斯·楊實現了雙縫干涉，實驗上觀察到明暗相間的干涉條紋，并測定了光的波長。楊氏雙縫干涉實驗是物理學中最基本、最重要的實驗之一，有助于人們理解光的波粒二向性。與楊氏雙縫干涉類似的雙棱鏡干涉由法國物理學家菲涅耳于1826年實現[1]。 菲涅耳雙棱鏡干涉也是物理學中一個重要實驗。國內前期雙棱鏡干涉實驗研究中主要是關于雙棱鏡的放置方式[2]、虛光源間距的測量方法[3]、裝置調節方法[4]。國際上最近幾年關于雙棱鏡干涉的應用涉及光場的相位和波動性，2013年，Ana Doblas等人研究了菲涅耳雙棱鏡的周期干涉條紋的軸向諧振效應[5]。2017年，Frédéric Chaussard 等人研究了雙棱鏡時域雙光波干涉[6]。2018年，Samira Ebrahimi等人研究了基于雙棱鏡干涉的相襯成像[7]。另外，A.Anand等人研究了雙棱鏡干涉在數字全息顯微術中的應用[8]。為了進一步擴大菲涅耳雙棱鏡干涉在全息顯微相襯成像中應用和理解其中的物理機制， 本文從信息光學角度，基于光場和光學系統的脈沖響應函數之間關系研究菲涅耳雙棱鏡干涉，首先進行菲涅耳雙棱鏡干涉理論分析，接著給出實驗結果，最后進行總結。

2 菲涅耳雙棱鏡干涉理論分析

2.1 雙棱鏡干涉條紋強度

菲涅耳雙棱鏡干涉的實驗裝置示意圖如圖1所示，鈉光燈與雙棱鏡之間放置一狹縫以形成縫光源S[9]， 在接收屏(接收屏與雙棱鏡之間的距離要足夠遠)上可以看到交疊區形成的明暗相間的干涉條紋。設光傳播為縱向記為z軸；與光傳播方向垂直的平面為橫向記為x，y軸。為了討論方便，在接下來推導中只考慮橫向一維x軸。狹縫的透過率函數為[9]:

(1)

其中，x1為狹縫的橫向坐標，b為狹縫的縫寬。

圖1 菲涅耳雙棱鏡干涉示意圖 Fig.1 Scheme of Fresnel biprism interference

考慮雙棱鏡引起的入射光相位變化后，則可將雙棱鏡的透過率函數寫為[6]:

(2)

根據信息光學中的菲涅耳衍射理論可知從狹縫到雙棱鏡自由傳播的脈沖響應函數為[10]:

(3)

其中，z1為狹縫與雙棱鏡之間的距離。

(4)

同理可得雙棱鏡到接收屏的脈沖響應函數為:

(5)

其中，z2為雙棱鏡與接收屏之間的距離。

再由脈沖響應函數的級聯性質，可得從縫光源到接收屏的脈沖響應函數為

(6)

設光源在狹縫處初始光場為E0，則由光場與脈沖響應函數關系，可得接收屏上的光場分布為:

(7)

(8)

考慮實現雙棱鏡干涉需要遠場即狹縫到接收屏的距離要足夠遠，忽略上式中x1的二次項，將公式(1)代入公式(8)積分，可得接收屏上的干涉條紋強度為:

(9)

2.2 干涉條紋模擬和分析

為了更直觀展示雙棱鏡干涉條紋和討論狹縫寬度對干涉條紋的影響，根據公式(9),利用Matlab模擬了不同狹縫寬度條件下干涉條紋強度隨橫向位置的變化,如圖2所示。其中一維圖縱坐標為條紋強度相對于其最大值的歸一化強度I/Im，圖2(a)、2(b)和2(c)選取的狹縫縫寬分別為b=0.02 mm、b=0.04 mm和b=0.1 mm，選取的其他參數為λ=589.3 nm，n=1.52，β=0.013 1，z1=10 mm，x2=640 mm。本文用放置在鈉光燈和雙棱鏡之間狹縫的縫寬(縫光源寬度)來表征光源的空間相干性(縫寬越小，光源的空間相干性越好)。由圖2可以看出，隨著縫光源縫寬的增加即光源的空間相干性變差，干涉條紋的分辨率變差。究其原因干涉條紋是從縫光源發出的光在相遇區相干疊加形成的，而來自縫光源不同橫向位置的光在接收屏上形成的干涉條紋位置不同，導致疊加以后分辨率變差，縫寬越大條紋分辨率越差。這一特點可用于指導實驗中光路調整，即開始時可以將狹縫縫寬調大一些，這樣用于觀察干涉條紋的測微目鏡中視場較亮，看到如圖2(b)或2(c)中的條紋，然后逐漸減小狹縫的縫寬直到看到如圖2(a)中清晰的干涉條紋為止。

為了分析狹縫到雙棱鏡的距離z1對干涉條紋的影響，模擬了干涉條紋在不同z1下的分布情況，結果如圖3所示。圖3(a)、3(b)和3(c)對應的z1分別為10、20和30 mm，其他參數為：z1+z2=650 mm保持不變，縫寬b=0.02 mm，其它與圖2相同。由圖3可看出隨著z1的增加，條紋間距變小，但條紋可見度變化不大，這一結果可通過接下來討論的雙棱鏡干涉與雙縫干涉的等效性來理解。

圖2 不同縫光源寬度條件下的菲涅耳雙棱鏡干涉條紋，右列為左列對應的一維圖 Fig.2 Interference fringes of Fresnel biprism under different widths of slit light source, (Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes)

圖3 不同z1(狹縫到雙棱鏡的距離)條件下的干涉條紋，右列為左列對應的一維圖 Fig.3 Interference fringes of Fresnel biprism under different z1(the distance between single-slit and biprism), (Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes)

(10)

圖4 干涉條紋強度分布. 右列為左列對應的一維圖，(a)含有常數項, (b)不含常數項. Fig.4 Intensity distributions of the interference fringe , Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes. (a) and (b) are the corresponding results for that including the constant item and neglecting constant item of intensity, respectively

3 實驗結果

根據圖1所示裝置，鈉光燈發出的光經過狹縫形成縫光源，隨后入射到雙棱鏡上，在雙棱鏡后面合適的距離處放置測微目鏡。為了便于觀察條紋變化，在測微目鏡的目鏡處再固定一CMOS相機(CMOS傳感器[11-13])，將CMOS傳感器的攝像頭對準測微目鏡以便干涉條紋在CMOS相機顯示屏上清晰呈現。這樣實驗者無需湊近測微目鏡就可以直觀觀測到在CMOS相機顯示屏上實時記錄的干涉條紋。

圖5 干涉條紋圖:(a)合適狹縫寬度;(b)狹縫寬度增加0.02 mm;(c)狹縫寬度增加0.08 mm Fig.5 Interference patterns, (a), (b) and (c) are the corresponding results at suitable slit-width, slit-width increasing by 0.02 mm and 0.08 mm, respectively

圖5為z1=80 mm，其它參數與圖2一致時，不同狹縫寬度下CMOS傳感器記錄的雙棱鏡干涉條紋。其中圖5(a)為某一合適狹縫寬度條件下，記錄的干涉條紋；在此基礎上將狹縫寬度增加0.02 mm后，光場變亮，但是條紋質量變差，如圖5(b)所示；當狹縫寬度增加0.08 mm后，可以看到條紋變模糊，出現亮帶，如圖5(c)所示，與理論分析結果一致。圖6(a)和6(b)為狹縫到雙棱鏡距離分別為8 cm、12 cm條件下的干涉條紋，其它參數與圖5(a)相同。可以看出，隨著狹縫到雙棱鏡距離變大，條紋間距變小，也與前面的理論分析結果一致。

圖6 干涉條紋圖(a)狹縫到雙棱鏡距離8 cm (b)狹縫到雙棱鏡距離12 cm Fig.6 Interference patterns, (a) and (b) are the corresponding results at the distance from the slit to biprism of 8 cm and 12 cm, respectively

最后需要指出的是，雙棱鏡干涉實驗中，傳統方法是利用物像法測等效雙縫間距。根據前面理論分析可知，實驗上也可以用分光儀測雙棱鏡的底角進而計算得出等效雙縫間距。

4 結 論

本文首先從光場和光學系統脈沖響應函數的關系出發，理論推導出了描述雙棱鏡干涉的強度公式，并用Matlab模擬了干涉條紋，討論了狹縫縫寬和雙棱鏡到狹縫的距離對干涉條紋的影響以及狹縫到雙棱鏡的距離和條紋間距的關系，并分析了雙棱鏡干涉與雙縫干涉的等效性。然后進行了實驗研究，實驗結果與理論分析一致。該結果有助于雙棱鏡干涉在相襯成像等領域的應用。傳統基于數字全息顯微的相襯成像需要兩束分立的相干光束(這導致相位穩定性差)，然后兩束相干光束再疊加(比如馬赫曾德干涉儀)，其中需要精確調整兩束光的強度比。而基于雙棱鏡干涉的數字全息顯微的相襯成像，因為激光經過顯微鏡然后入射到雙棱鏡上，雙棱鏡本身可以分開并疊加相干光束，再考慮干涉條紋可見度基本不受光源到雙棱鏡距離的影響，從而基于雙棱鏡干涉的相襯成像具有更好的穩定性。