在初中視角下談函數(shù)的整體性教學策略研究

彭麗華

【摘要】數(shù)學教育中實踐整體性原則就是要樹立數(shù)學教育觀，其實質(zhì)是數(shù)學的整體素質(zhì)教育.要把師生從數(shù)學知識的微觀教學中解放出來，升華為數(shù)學能力、數(shù)學智慧、人類文化及科學文明教育.

【關鍵詞】數(shù)學;函數(shù);教學

相當一部分學生在進入高中后，由于多方面的因素導致數(shù)學跟不上，其中有個重要的原因就是初中函數(shù)的基礎沒有打好，導致高中的“頭”沒開好.那么，除了高中教師在了解學生的數(shù)學已學知識和心理特征后，做好函數(shù)的銜接教學之外，下面來談一下作為初中教師，又能為學生的后續(xù)學習做好怎樣的準備.

一、函數(shù)概念的整體性教學策略

1.函數(shù)是知識網(wǎng)絡中的“節(jié)點”，有助于產(chǎn)生系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識.利用豐富的生活資源讓學生體會數(shù)學來源于生活，通過勻速行駛的列車等讓學生體會變量與常量，創(chuàng)設大量學生熟悉的實際情況，讓學生探索發(fā)現(xiàn)同類事物的關鍵特征，便可得到函數(shù)的定義.

2.函數(shù)概念的同化與順應.當學生的認知結(jié)構(gòu)中已有函數(shù)的概念，后續(xù)學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)雖然都以“形如”的函數(shù)表達式出現(xiàn)，但我們可以將自變量x取不同的數(shù)，對應的都會有唯一的y值.始終圍繞函數(shù)概念的“唯一”這個關鍵詞，以此使學生形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識概念.另外，函數(shù)的概念可通過反例和變式進一步強化.

3.函數(shù)的概念在實際應用中不斷回歸、反芻.在實際問題中的分段函數(shù)體現(xiàn)了隨著自變量的取值范圍發(fā)生改變，函數(shù)有著不同的表達式.初中函數(shù)的定義采用的是“變量說”，不同于高中的“對應說”，故而沒有明確的函數(shù)三要素：定義域、對應法則、值域之說.但課程標準要求能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值，這與高中的目標是一致的.在實際問題的應用中，對各個變量情況進行初步討論，對照函數(shù)的定義讓學生體會函數(shù)的“唯一”性.

重視對圖形語言的回歸.由于定義采用的是列式表示，幾類函數(shù)在給出函數(shù)的定義后都是通過列表法來描點得到函數(shù)的圖像.在這里列表的過程本身體現(xiàn)了函數(shù)的兩個變量的依賴關系及“唯一”性，那么由此得到的圖像也正是刻畫兩個變量間的這種關系.當直接給出圖像來判斷變量間關系是否為函數(shù)時，依然抓住“唯一”性.

例如，下列圖像表示函數(shù)圖像的是（ ）.

可以取圖像上任意一點向x軸做垂線，若該垂線與圖形有兩個或兩個以上的交點，那么這個圖形就不是函數(shù)圖像;若只有一個交點，則這個圖形就是函數(shù)圖像.這是方法，但要跟學生解釋清楚取圖像上任意一點向x軸做垂線與圖形的交點的橫坐標就是自變量，根據(jù)函數(shù)的定義有“唯一”的因變量與之對應，也就是說只有一個點，所以有兩個或兩個以上的交點，那么這個圖像就不是函數(shù)圖像.

二、單個函數(shù)的整體性教學策略

（一）通過“章頭課”引領整章的教學

以全局觀把握整章學了什么，如何學習，走向何方.“章頭圖”就是激起同學們學習新的章節(jié)的欲望，樹立良好的信心.

以一次函數(shù)為例，蘇科版通過三張“章頭圖”開啟函數(shù)的全新之旅：直角坐標系下一條標有y=kx+b的直線、飛速行駛的列車、彈簧長度與受力大小的實驗.這三幅圖讓我們感受到一次函數(shù)并非冷冰無趣的，而是具有強烈的感召力和富有靈動的.彈簧的長度隨著砝碼的變化而發(fā)生改變，激發(fā)學生找尋百變不離其宗的規(guī)律.逐步引導學生自主以實際問題為背景對一次函數(shù)下定義，并發(fā)現(xiàn)函數(shù)的三種表示方法.通過列表描點進一步研究函數(shù)的圖像，讓學生嘗試編寫教材去設計應用題，體會函數(shù)來源于生活最終回歸生活.讓學生充滿自信地翻開新的篇章.通過這樣一個“章頭課”的設計逐步引導學生建構(gòu)出整章相關知識的框架.

（二）突出函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，強化待定系數(shù)法

初中所學函數(shù)的定義都是從“數(shù)”的角度提出的，故而待定系數(shù)法作為一種“數(shù)”的研究必須強化.要注意不應單純強調(diào)方法，而需引導學生感知要確定一個待定系數(shù)的值（一個未知數(shù)），就需要具備一個已知條件，這一靈魂應貫穿于整個函數(shù)的教學.

當函數(shù)的自變量賦予具體的數(shù)后便有具體的值與之對應，采用列表的形式而后在坐標系中表示出來，便有了“形”.一次函數(shù)的圖像是一條直線，反比例函數(shù)的圖像是一條雙曲線，二次函數(shù)的圖像是拋物線.反過來，當我們判斷一個點是否在函數(shù)的圖像上時，從“形”上直接描點無法精確，此時，仍需回歸到數(shù)，將橫坐標作為自變量帶入求出函數(shù)值，檢驗與縱坐標是否一致來判斷是否在圖像上.

二次函數(shù)從代數(shù)角度來說明問題：從非負性的性質(zhì)來確定函數(shù)的自變量和因變量范圍;從平方根的概念尋找函數(shù)的對稱軸;從變量變化發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性;理解配方的意義.而這些從二次函數(shù)的圖像即“形”的角度亦可觀察得來.

三、多個函數(shù)之間的整體性教學策略

初中所學的函數(shù)類型，在一次函數(shù)這個支架搭好的基礎上，把凌亂的多個函數(shù)串在一起，使它們成為有序的群體.學生不僅能掌握好獨立的每個函數(shù)，也有利于產(chǎn)生不同函數(shù)類型間的聯(lián)系與區(qū)別.在一次函數(shù)的教學中按照概念表示法、圖像、性質(zhì)及應用這樣一條脈絡行走的，當學生掌握好一次函數(shù)后便可按圖索驥來學習后續(xù)的反比例函數(shù)及二次函數(shù).

反過來，后續(xù)函數(shù)的學習亦可對之前所學函數(shù)進行鞏固提升.以圖像的平移為例，在二次函數(shù)的教學中，教材安排了幾組函數(shù)討論了函數(shù)的上下及左右平移.而在一次函數(shù)中教材只是涉及了上下平移，這是由于學生當時的思維層面決定的.但是，在初三學完二次函數(shù)之后，再讓學生體會一次函數(shù)的左右平移便水到渠成.另外，可以讓學生大膽的嘗試對反比例函數(shù)進行上下左右的平移，于是便有了一次分式函數(shù).作為初高中教材的真空地帶，對學有余力的同學可以拓展研究，讓學生體驗到自我發(fā)現(xiàn)一類新函數(shù)的成功與喜悅.

四、函數(shù)與方程、不等式的整體教學策略

函數(shù)與方程（不等式）作為中學階段重要的思想方法，從方程、不等式到函數(shù)的正遷移，讓學生有了塊狀的數(shù)學思想方法統(tǒng)領，優(yōu)化整體的知識結(jié)構(gòu)，提高教學效率.“搭小魚”這個材料前后4次貫穿其中，并不斷深入研究.

兩個一次函數(shù)的圖像有一個交點，那么交點的坐標就是相應的二元一次方程組的解，反之亦然.根據(jù)平面直角坐標系內(nèi)一條直線與x軸的交點，在x軸上方和下方部分的所有點的橫坐標滿足的特征，便很好地把一次函數(shù)圖像與一元一次方程、不等式建立了聯(lián)系.同樣的，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖像與x軸交點的個數(shù)即為一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）實數(shù)根的個數(shù)，反之，亦可根據(jù)方程根的情況判斷函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)，交點橫坐標即為方程的根.教材中讀一讀的引申便指向高中要學習的一元二次不等式，形成了知識的系統(tǒng)性，也為高中學習零點做好鋪墊.

綜上所述，在函數(shù)教學中注意知識橫向和縱深發(fā)展結(jié)合，對知識的整體性教學進行有效整合，不是簡單的零件組裝，要充分挖掘教材、層層設計、統(tǒng)籌兼顧.數(shù)學教育中實踐整體性原則就是要樹立數(shù)學教育觀，其實質(zhì)是數(shù)學的整體素質(zhì)教育.要把師生從數(shù)學知識的微觀教學中解放出來，升華為數(shù)學能力、數(shù)學智慧、人類文化及科學文明教育.

【參考文獻】

[1]李霞.初高中函數(shù)銜接教學問題探究——二次函數(shù)課“代數(shù)說理”的數(shù)學嘗試[J].福建基礎教育研究，2015（2）：29-30.

[2]李樹臣，高耿海.整體把握函數(shù)內(nèi)容，宏觀設計教學策略——以青島版《義務教育教科書·數(shù)學》對“函數(shù)”的設計為例[J].中學數(shù)學，2014（16）：29-33.