超冗余移動機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)快速求解的兩種方法比較

馬影 陳麗 高其遠(yuǎn) 鄧宇翔

摘要：超冗余移動機(jī)械臂的逆運(yùn)動學(xué)求解一直是機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，特別是逆運(yùn)動學(xué)求解過程中導(dǎo)致的計(jì)算量大、機(jī)械臂的位形偏移量大及能耗大等問題還未得到有效解決。因此本文給出基于幾何方法的超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)快速求解算法，并分析了兩種關(guān)節(jié)位置更新策略的能耗。第一種關(guān)節(jié)位置更新策略為“關(guān)節(jié)落在連線上”，即更新后的關(guān)節(jié)位置落在該關(guān)節(jié)的目標(biāo)點(diǎn)和與其相連的前一個關(guān)節(jié)的連線上;第二種關(guān)節(jié)位置更新策略為“關(guān)節(jié)落在軸線上”，即更新后的關(guān)節(jié)位置落在前一時刻的該關(guān)節(jié)和與其相連的前一個關(guān)節(jié)的軸線上。從運(yùn)動過程中關(guān)節(jié)跟蹤角度變化范圍多少出發(fā)，比較超冗余移動機(jī)械臂在這2種關(guān)節(jié)更新策略下運(yùn)動特點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，方法1具有關(guān)節(jié)移動范圍小，移動距離短的特點(diǎn)。方法2具有各個關(guān)節(jié)都有相似的運(yùn)動軌跡，機(jī)械臂的末端跟隨效果好的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：超冗余移動機(jī)械臂;逆運(yùn)動學(xué);幾何解析法;關(guān)節(jié)更新策略

0引言

超冗余移動機(jī)械臂是由桿件、關(guān)節(jié)、末端執(zhí)行器組成的互相連接互相依賴的運(yùn)動機(jī)構(gòu)。相對于固定機(jī)械臂而言，超冗余移動機(jī)械臂具有作業(yè)范圍大、靈活性高和廣闊的應(yīng)用前景。因此移動機(jī)械臂廣泛應(yīng)用在搬運(yùn)、焊接、災(zāi)后救援、探測、等惡劣環(huán)境中。但是對于冗余型移動機(jī)械臂而言，逆運(yùn)動學(xué)求解計(jì)算量大且不唯一、機(jī)械臂運(yùn)動位形偏移量大、逆解求解速度緩慢等是需要攻克的難題。

近年來，求解機(jī)械臂逆解的方法主要有數(shù)值迭代法、智能算法。目前，也相繼涌現(xiàn)出一系列的研究成果。朱經(jīng)緯等人提出了一種自適應(yīng)粒子群算法求解機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)，以正向運(yùn)動學(xué)方程為基礎(chǔ)，將冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)解問題轉(zhuǎn)化為等效最小值問題。張熙峰等人提出了基于遺傳算法的機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解，將種群定義為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角軌跡層面。利用連續(xù)性函數(shù)來實(shí)現(xiàn)算法的初始化算子、交叉算子和變異算子。張?jiān)品宓热颂岢隽嘶诟倪M(jìn)QPSO-NN（粒子群優(yōu)化）的冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)算法，以冗余機(jī)械臂末端位姿為輸入，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法求得其逆解。李梅紅提出了一種動態(tài)變步長果繩算法求冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)解，在果繩算法的基礎(chǔ)上，通過適應(yīng)度值對果繩種群進(jìn)行動態(tài)規(guī)劃，此后2個子群按照不同的公式進(jìn)行搜索步長的計(jì)算并完成位置更新。上述智能算法能很好地求出逆解，但由于中間過程需要搜索、判斷、尋優(yōu)過程，因此計(jì)算量大，導(dǎo)致求解速度較慢。

本文提出了基于幾何推導(dǎo)的解析算法，可以快速完成逆運(yùn)動學(xué)的求解。根據(jù)桿的長度約束可以唯一地確定出關(guān)節(jié)移動后的具體位置。給出了2種關(guān)節(jié)更新策略：關(guān)節(jié)落在連桿上的方法（方法2）和關(guān)節(jié)落在連線上的方法（方法1），仿真分析了2種方法的各種特點(diǎn)。

1 超冗余移動機(jī)械臂結(jié)構(gòu)和工作空間分析

1.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)介紹

文中的超冗余移動機(jī)械臂主要由基座、臂桿、關(guān)節(jié)、末端執(zhí)行器和驅(qū)動裝置組成，整體結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示。其中，基座裝在可移動的平臺或者直線導(dǎo)軌上，與移動基座固接的部分為可伸縮機(jī)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)基座豎直或水平方向上的移動。規(guī)定基座的最大進(jìn)給距離為60cm，機(jī)械臂的連桿共9節(jié)，由10個關(guān)節(jié)相連，單模塊由連桿和關(guān)節(jié)組成，長度為5cm，機(jī)械臂總長為80cm。機(jī)械臂的目標(biāo)工作空間為lOOx100cm²的平面，具體連桿參數(shù)定義如圖1（b）所示。

單模塊參數(shù)定義如下：p_i為模塊i的關(guān)節(jié)位置，l_i為模塊i的連桿長度，θ_i為模塊i和前一模塊i-1的相對轉(zhuǎn)角。

1.2 末端執(zhí)行器的可達(dá)空間分析

根據(jù)機(jī)械臂的長度和底座最大進(jìn)給量，通過正運(yùn)動學(xué)推導(dǎo)確定出末端執(zhí)行器的運(yùn)動區(qū)域。借助拉丁超立方抽樣獲得工作空間的采樣點(diǎn)，拉丁超立方取樣對樣本數(shù)量的節(jié)省上效果尤為顯著，適合冗余機(jī)械臂的工作空間分析。首先根據(jù)幾何關(guān)系，推導(dǎo)各個關(guān)節(jié)位置關(guān)系如下：

x_i=x_i-1+l_i-1cosθ_i-1（1）

y_i=y_i-1+l_i-1cosθ_i-1

（2）

其中，p_i-1（x_i-1，y_i-1），p_i（x_i，y_i）分別表示模塊i-1的前后兩個關(guān)節(jié)的位置坐標(biāo)，θ_i為連桿i和連桿i-1的相對轉(zhuǎn)角，通過式（1）、（2）即可迭代求出末端執(zhí)行器的平面位置。在關(guān)節(jié)角度運(yùn)動范圍內(nèi)取樣點(diǎn)個數(shù)為2000，圖2給出末端執(zhí)行器的可達(dá)運(yùn)動區(qū)域。其規(guī)則有效區(qū)域約為lOOx40cm²的平面區(qū)域。

2 移動冗余機(jī)械臂末端跟隨算法設(shè)計(jì)

本文提出的幾何分析方法進(jìn)行的運(yùn)動學(xué)逆解就是根據(jù)機(jī)械臂的目標(biāo)位置，把該目標(biāo)點(diǎn)作為機(jī)械臂末端的更新位置。在滿足連桿長度的前提下確定前一時刻關(guān)節(jié)更新位置。以此類推實(shí)現(xiàn)多個關(guān)節(jié)的位置更新。在該方法中所選擇的關(guān)節(jié)更新策略不同，就會得到不同的運(yùn)動軌跡。下面針對本文所采用2種跟蹤方法設(shè)計(jì)實(shí)施步驟，擬展開研究詳述如下。

2.1 方法1：關(guān)節(jié)在連線上更新策略

2.2 方法2：關(guān)節(jié)在軸線上的更新策略

3 原理分析及實(shí)驗(yàn)比較

3.1能耗計(jì)算

機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動需要消耗關(guān)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)動動能，同時機(jī)械臂連桿位置的改變需要克服自身重量的勢能變化。因此機(jī)械臂運(yùn)動過程所消耗的能量包括重力勢能和轉(zhuǎn)動動能。下面給出理論上機(jī)械臂運(yùn)動的能量推導(dǎo)過程。如圖6所示，圖中h₁、h₂、h₃分別對應(yīng)機(jī)械臂的某一連桿的初始位置、方法2和方法1更新后位置的重心高度。

由于w₁、w₂，無法解析求解，需要調(diào)用數(shù)值模擬計(jì)算，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證2種方法的能耗結(jié)果。

由于機(jī)械臂的運(yùn)動為反復(fù)運(yùn)動，整個過程中重力做功可以部分抵消，因此這里忽略重力做功。再者由于機(jī)械臂的各個關(guān)節(jié)的輸出力矩是變化的，在沒有進(jìn)行動力學(xué)分析情況下，采用關(guān)節(jié)角度改變的多少間接衡量2種關(guān)節(jié)更新策略的優(yōu)劣。其定義為。

3.2 實(shí)驗(yàn)仿真圖

仿真為機(jī)械臂在同一平面內(nèi)走出一個半徑為8cm的圓，分別用上述2種關(guān)節(jié)更新方法展示執(zhí)行效果。運(yùn)動跟蹤過程分10跟蹤階段完成。圖7和圖8給出軌跡跟蹤過程中機(jī)械臂在每一階段下的狀態(tài)結(jié)果。

在只要求末端執(zhí)行器跟蹤目標(biāo)軌跡的前提下。可以看出方法1的運(yùn)動軌跡保證了末端關(guān)節(jié)直接接近目標(biāo)，而其余關(guān)節(jié)的位置則脫離目標(biāo)軌跡，縮短了非末端關(guān)節(jié)的中間移動距離。因此該方法達(dá)到總體上較短的跟蹤路徑：而方法2的運(yùn)動軌跡各個關(guān)節(jié)更接近于實(shí)際軌跡，前端關(guān)節(jié)趨向于跟隨末端關(guān)節(jié)的運(yùn)動，機(jī)械臂的運(yùn)動軌跡更光滑，機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)相對于前一關(guān)節(jié)的相對轉(zhuǎn)角變化不大，機(jī)械臂整體的位置的移動距離變大。

方法1的能量消耗變化詳見圖9.從圖9（a）可以看出，隨著關(guān)節(jié)號的增加（關(guān)節(jié)1與基座相連，關(guān)節(jié)10為末端），關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角度位置顯著增加，距離基座越近，關(guān)節(jié)運(yùn)動范圍越小。從圖9（b）可以看出，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度大小隨向前的運(yùn)動距離增加而增加（stepl為第一階段，stepll為跟蹤的最后階段）。通過公式（13）計(jì)算，在運(yùn)行整個軌跡后，機(jī)械臂的各個關(guān)節(jié)總的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動范圍為4.1285rad。

同時，研究又得到方法2的能量消耗變化詳見圖10.從圖10（a）可以看出，隨著關(guān)節(jié)號的增加，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角度位置顯著增加，在跟蹤最初階段距離基座越近，關(guān)節(jié)只有移動沒有轉(zhuǎn)動，例如關(guān)節(jié)2是在第9步開始轉(zhuǎn)動運(yùn)動，關(guān)節(jié)4是在第7步開始轉(zhuǎn)動運(yùn)動。當(dāng)跟蹤到穩(wěn)定階段，各個關(guān)節(jié)達(dá)到相同的運(yùn)動范圍。從圖10（b）可以看出，每條線表示運(yùn)動到該步后，各個關(guān)節(jié)總的轉(zhuǎn)動范圍。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度大小隨向前的運(yùn)動距離增加而增加。在第11步，各個關(guān)節(jié)的運(yùn)動范圍達(dá)到最大。通過公式（13）計(jì)算，在運(yùn)行整個軌跡后，機(jī)械臂的各個關(guān)節(jié)總的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動范圍為18rad。相比方法1.方法2的關(guān)節(jié)總的移動范圍增加。

比較圖9（a）和圖10（a）可以看出，采用方法1在跟蹤的每一階段，各個關(guān)節(jié)都在運(yùn)動，距離基座近的關(guān)節(jié)運(yùn)動幅度小。采用方法2時，初始是部分關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動，距離基座近的關(guān)節(jié)只有平移。當(dāng)跟蹤到穩(wěn)定階段，各個關(guān)節(jié)達(dá)到相同的運(yùn)動范圍。可以看出各個關(guān)節(jié)的末端跟隨的效應(yīng)。比較圖9（b）和圖10（b）的同一運(yùn)動階段具有可比性，例如在共同跟蹤最后階段的stepll可以看出，方法l的各個關(guān)節(jié)角度移動范圍依次減小，而方法2的各個關(guān)節(jié)角度移動范圍基本相等。

綜上所述，可知方法1具有關(guān)節(jié)移動范圍小，移動距離短的特點(diǎn)。方法2各個關(guān)節(jié)都具有相似的運(yùn)動軌跡，其末端跟隨效果更好。

4 結(jié)束語

本文給出基于幾何方法的超冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)快速求解算法，并分析了2種關(guān)節(jié)位置更新策略的能耗。在本研究中，方法1為“關(guān)節(jié)在連線上”，方法2為“關(guān)節(jié)在軸線上”。通過控制末端跟隨同一目標(biāo)運(yùn)動。從能耗和運(yùn)動平穩(wěn)性兩個角度來比較2種幾何方法的優(yōu)劣。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析后可知，2種方法都可以實(shí)現(xiàn)超冗余度機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)的快速求解，實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)任務(wù)要求選擇相應(yīng)的關(guān)節(jié)更新策略。