多屬性采購拍賣中風險厭惡投標者投標策略研究

劉文雅

（1.四川外國語大學 國際商學院，重慶 400031；2.重慶大學 經濟與工商管理學院，重慶 400030）

0 引言

拍賣（auction），長期以來都被人們當成一種有效的商品分配機制，而采購（procurement）可以將其視為一種逆向拍賣（或采購拍賣即投標者為賣方，采購者為買方）。采購和拍賣的一個明顯區別在于：拍賣一般來說價格是決定獲勝與否的唯一因素；采購獲勝極少由價格唯一決定，實際采購過程中還需考慮商品的質量、售后服務及交貨時間等因素，因此采購拍賣（或招投標）通常是多維的（multidimensional）。

多屬性采購拍賣理論研究起源于20世紀90年代，Che[1]較早系統地研究多屬性采購拍賣理論，是以美國國防部（DoD）的武器采購系統為研究對象，證明了在一定條件下第一得分（first-score）和第二得分（second-score）采購機制產生的預期效用是相同的。Branco[2]延伸了Che[1]的工作，假設投標者的成本函數中信息因子是隨機且相關的。Asker和Cantillon（2008）[3]討論了一個采購者和N個投標者的招投標模型，投標由價格p和M個非價格因素屬性構成，證明了通過適當的方式將供貨商的多維私有信息轉變為一維信息不會影響采購拍賣均衡分析結果的充分條件。另一方面，對投標者來說，通過拍賣贏取投標會產生一定的風險，如果投標者不喜歡風險或對風險厭惡程度不同，則在不同的采購拍賣規則下的競價策略也會不同[4-6]，從而導致采購者的預期收益會隨采購規則發生變化。因此，有必要對帶有風險厭惡投標者的多屬性采購拍賣的投標策略進行研究。近期Liu等[7]在真實評分（naive scoring rule）的條件下討論了帶有風險厭惡投標者的多屬性采購拍賣模型，所謂“真實評分”意味著投標者在知道采購者的真實偏好情況下進行投標，但實際采購拍賣中采購者一般不愿意公開自己的真實偏好，除非投標者和采購者出現共謀（Collusion）的現象。此外，在多屬性采購拍賣中采購者往往不能準確評估投標者的投標。因此為了更客觀地評估投標，有必要在充分反映采購者偏好的條件下，引入第三方評分（the third-party scoring）。

本文主要在文獻[1，7]的基礎上，通過引入Arrow-Pratt風險相關系統（Arrow-Pratt coefficient of risk-aversion）和第三方評分，研究帶有風險厭惡投標者的多屬性采購拍賣模型。在投標者知道自己效用函數的情況下，給出均衡投標策略的解析表達式，并分析了投標者的風險厭惡程度對投標策略的影響。

1 模型假設與理論分析

本文將給出關于多屬性采購拍賣模型基本的定義和假設。首先假設市場中有某個采購者將購買某一種不可分割的物品(或服務)。該采購者將面對n個投標者，令N代表所有參與投標的投標者集合，則有：

那么i，j∈N將代表不同的投標者。本文假設需要采購的物品包含了一個二維屬性:價格屬性（用p表示）和質量屬性（用q表示），其中q不僅表示采購物品的質量，本文假設它還包含了采購物品其他所有非貨幣屬性。本文主要考慮兩個多屬性采購拍賣模型，即“第一評分拍賣”和“第二評分拍賣”，首先投標者通過密封投標的方式投一個包含(p，q)的標，采購者通過第三方評分的方式對所有投標進行評判。所謂“第一評分拍賣”是指得分最高的投標所產生的(p，q)為獲勝投標；而“第二評分拍賣 "是指得分最高的投標者執行得分第二所產生的(p，q)。顯然第一評分拍賣和第二評分拍賣分別類似于通常意義密封投標拍賣中的第一價格拍賣和第二價格拍賣。

為了更精確地說明q對于采購決策的影響，本文定義V(q)為質量屬性q的量化函數V∶R→R。對于V(q)作下述假設:

假設1①假設1是為保證質量排序的單調性。：量化函數V(q)是一個單調遞增的凹函數且V(0)=0。

本文將獲勝投標者i從合同(q，p)中獲得的效用定義為:

這里Ub是投標者的效用函數，c(q，θi)是投標者i的成本函數。本文假設c(q，θi)關于質量q和成本參數θi是遞增的，而效用函數Ub也是一個單調遞增的凹函數且V(0)=0。

本文假設投標者選擇參與投標時不需要額外支付進場費(entry cost)。投標前每個投標者i都知道自己的成本參數θi，采購者只知道成本參數的分布函數。本文假設投標者的成本參數θi在上獨立且服從同一分布函數F(θ),其中且F(θ)存在連續可微的概率密度函數f(θ)。由于本文假設投標者之間是完全對稱的(complete symmetry),因此在下文的分析中將省略角標i。為了建立更為精確和便于分析計算的數學模型，本文做如下假設:

假設2②假設2保證合同會給所有成本類型的投標者。是關于θ的一個遞增函數。

假設3：采購者一定是通過采購拍賣來采購標的（即使出現最高成本ˉ）。

本文用S(q，p)=s(q)-p代表第三方評價規則，其中s(q)是第三方對于產品質量的評分。本文假設所有的投標者在投標前知道這個評價規則而且采購者承諾該評分規則代表了他的最優偏好。本文假設該評分規則具有如下性質:

假設4 ：這里s(q)-c(q，θ)對于所有的關于q有唯一的極大值，s(.)是遞增的關于q≤argmax{s(q)

本文將引入Arrow-Pratt完全風險厭惡度量（Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion）來定義市場中的風險厭惡投標者。

定義1[8]：本文稱投標者期望效用函數Ub(x)的Arrow-Pratt完全風險厭惡度量有如下定義:

定義2[8]：假如投標者期望效用函數Ub(x)的Arrow-Pratt完全風險厭惡度量A(x)＞0,則稱該投標者是風險厭惡的。

2 模型分析

本文將討論風險厭惡對多屬性采購拍賣投標策略的影響。由于投標具有二維屬性，因此需要分析風險厭惡對于每個指標的影響。首先，本文考慮風險厭惡對于價格屬性投標的影響。由上文可知采購者通過第三方評分的方式來確定投標獲勝者。對于投標者來說，他們競爭中有三種方法可以提高得分增大自己的獲勝概率。這三種方法分別是：（1）提高產品質量得分；（2）降低價格；（3）既提高質量又降低價格。根據假設4和第三方評分規則S(q，p),投標者對于均衡質量投標有如下選擇:

引理1：在多屬性第一和第二評分采購拍賣中，投標者將選擇qs(θ)作為均衡質量投標:

因此，投標者的期望效用為：

上述不等式表明對于投標者來說不存在另一個均衡質量投標。證畢。

上述引理表明在期望效用函數作用下，質量屬性的選擇與價格屬性選擇是獨立的，本文可以通過先求解最優的非價格屬性，本質上將多屬性拍賣轉化為傳統的單屬性拍賣。下面將討論風險厭惡投標者均衡價格的策略。

在多屬性第二評分采購拍賣機制中，投標者的均衡投標價格為：

因此在多屬性第一評分采購拍賣中，投標者的目標函數可以表示為:

本文令G(.)=(1-F(.))n-1,g(.)=G′(.)那么式（10）可以變為：

由包絡定理以及一階最優性條件，有如下微分方程：

通過計算可以知道上述微分方程有積分因子eac(qs(θ)，θ)，因此本文可以將方程（13）變為下述微分方程：

顯然上述方程是一個恰當方程，本文利用邊界條件解方程（14），得到投標者的均衡價格策略為：

對于多屬性第二評分采購拍賣，由文獻[9]命題4的主要結論，可知：

證畢。

上述命題的主要結論表明投標者的風險厭惡對于多屬性第一評分采購拍賣機制的均衡價格產生了影響，而對多屬性第二評分采購拍賣機制的均衡價格沒有產生影響。當投標者知道自己的效用函數時，能夠得到自己均衡價格的解析表達式。通過等式（15），可以知道該均衡價格和參與投標的人數是相關的。在其他條件固定的情況下，均衡價格將隨著投標者人數的上升而下降。接下來將討論風險厭惡程度如何影響多屬性第一評分采購拍賣機制的均衡價格。

命題2：設是另一個效用函數，滿足函數Ub的所有假設，?為的風險厭惡度量。在多屬性第一評分采購拍賣中，如果有那么投標者的均衡價格就有下述關系:

本文令使得上述不等式成立的所有θ構成的集合為S。而當θ=θˉ,可以知道：

因此必然存在θ*=maxS和ε＞0,對于任何θ∈(θ*-ε，θ*+ε)，有：

由于δ(θ)＞0,那么可得：

又由函數γ(.)的定義，可以知道γ′=1+αγ。對于任意t≥0,有γ(t)≥0,進而那么γ(.)是一個嚴格遞增函數。結合歸納假設式（16）可得：

結合不等式（18）和式（19），可得：

另一方面，由文獻[4]知道如果a?＞a，則有：

顯然不等式（20）和式（21）將導出矛盾，即假設是錯誤的。因此有：

證畢。

上述命題的結果說明，在多屬性第一評分采購拍賣中，在其他條件不變的條件下，均衡價格隨著投標者風險厭惡程度增大而降低。

3 結論

在基于第三方評分的條件下，本文研究了帶有風險厭惡投標者的多屬性采購拍賣模型，給出了投標者的均衡投標策略，分析了投標者的風險厭惡程度以及參與投標的人數對于投標策略的影響。本文的主要結果將已有文獻[1，7]中相應結果推廣到更一般的情形。通過對本文主要結果的分析，可得如下結論:當投標者的風險厭惡程度或者投標者人數分別增大時，投標者的投標價格會降低；而對多屬性第二評分采購拍賣不會帶來影響。因此面對風險厭惡的投標者時，采購者選取多屬性第一評分采購拍賣機制獲得的效用優于選取多屬性第二評分采購拍賣機制獲得的效用。