操作·碰撞·提升

劉娓

重疊問題是向學生介紹一種數學思想方法——“集合”，其實從學生剛開始學習數學時已接觸過這種思想方法，如把相同類型的圖形用圓圈圍起來。盡管如此，學生對今天所學的這種含有重復部分的集合圖，沒有建立系統的知識結構。因此，筆者精心設計教學環節，在點滴中發揮學生的主體性，使學生在操作中體會，在思維碰撞中探求真理，在一次次辯駁中提升認知。

一、腦筋急轉彎，巧問妙答，激發學習愿望

同學們，上課之前老師先來讓大家猜幾個腦筋急轉彎，看看同學們的思維水平怎樣。仔細聽好：①小明排隊買票，從前數起他第3，從后數起他第4，這隊共有多少人？

生1：7個人，3+4=7。

生2：不對，小明多數一次，要減掉一人應該是3+4-1=6人。

生3：我們數一下我們組的人就可以知道了（生數驗證）。

生4：還可以把他畫出來

師：回答正確，再來一題：②照片上有兩個媽媽和兩個女兒，可只有3個人，為什么？

生：因為這是外婆、媽媽和女兒，外婆是媽媽的媽媽，媽媽既是女兒的媽媽，又是外婆的女兒，所以有兩個媽媽和兩個女兒，其實只有3個人。

教學思考：

怎樣才能在開課時先聲奪人，一下子抓住學生的心，喚醒他們的知識經驗？用他們最喜歡的游戲和談話應該是最好的方法。熟悉孩子最感興趣的游戲和話題，才能讓他們跟隨老師的腳步。

二、用身邊熟悉的人作素材，激發學生的學習興趣

（一）談話引入

師：同學們，今天的“數學廣角”請來了兩位客人，看是誰呢？（課件出示姚明和劉翔的照片）你喜歡他們嗎？你喜歡誰呢？

學生回答有只喜歡姚明或劉翔的，也有既喜歡姚明又喜歡劉翔的。

根據回答師板書：只喜歡 ?既喜歡又喜歡

這種喜歡的情況在我們生活中很多，今天我們就來研究這樣的問題。

（二） 呈現材料

老師課前對咱們班部分同學也作了一個喜歡情況的調查。

出示統計表：

從表格中你知道了哪些數學信息呢？

生1：我知道喜歡劉翔的有5位同學，喜歡姚明的有7位同學，比喜歡劉翔的多2人。

生2：我還知道有3位同學兩個都喜歡。（老師馬上請他找出是哪3位同學。）

（三）提出問題，產生矛盾

師：那你知道老師一共調查了幾位同學嗎？

生1：是12位同學，因為5+7=12人

生2：不對，是9人，因為有3人是重復的，應該去掉3人。

教學思考：

老師大膽地制造矛盾，引起學生的爭論，讓學生積極地參與到學習中來，才能呈現出學生思維碰撞的火花。

三、親自操作、經歷探究、體驗集合

（一）學生操作，體驗矛盾

師：同學們的結論都不同，怎么辦？

師：老師準備了兩個橡皮圈，你們想辦法研究。

生：我想到辦法了。我請喜歡劉翔的同學來這集合。生指著紅橡皮圈。我用紅橡皮圈把你們圈在一起。請喜歡姚明的同學到另一邊來集合。我用藍橡皮圈圍住他們。

師：（只有4個人）是這4個人嗎？

有學生喊：不對，董雅萱、余曉曉、李小石你們也是喜歡姚明的，快過去！

（被點名的3位同學疑惑地站到“喜歡姚明”的隊伍里，學生給他們套上綠橡皮圈）

師：喜歡姚明的就這幾個人嗎？（對！）那邊3位同學呢？

生：是喜歡劉翔的同學。

師：都包括進去了嗎？

生：還差董雅萱、余曉曉、李小石。

師：那這幾位同學應該是……

生：只喜歡劉翔的。

師：請董雅萱、余曉曉、李小石快過來。

董雅萱、余曉曉、李小石：我們兩個都喜歡。

師：那怎么辦呢？兩邊都離不開他們，他們又沒有分身術。

生1：把兩個橡皮圈拉得近一些，讓他們站在中間。

生2：把兩個橡皮圈交叉起來，讓他們站在交叉的部分。

（師請學生上來整理橡皮圈）

師：這位同學將紅橡皮圈和藍橡皮圈交叉在一起，讓既喜歡劉翔又喜歡姚明的三位同學站在交叉的小圈里。

教學思考：

真正放手讓學生操作，展示交流，思維碰撞，才能在交流碰撞中提升學生的思維品質。

（二）畫一畫，意外精彩

師：真了不起！同學們想了這么好的辦法，可這些同學（指圈）不能老站在這兒，你們能把它畫下來嗎？

①生試畫，興趣較濃，不一會兒就畫出來了各種各樣的作品，接近集合圖的最多。

②匯報展示：

孩子們畫出來的有分三部分的、圖畫的、符號表示的，其中也包括交集圖形式的，看來學生的創造力是無限的。

③對比作品，優化方法。

師：觀察這幾種設計你覺得哪一個設計最合理，為什么？（大多數學生認為是集合圖，覺得比較清楚完整）展示課件。

（三） 課件演示，深入理解

師：大家真棒！不約而同地畫出了集合圖。很多年前英國的邏輯學家韋恩，就用這樣的圖來分析這類問題（課件展示集合圖），后人就用他們的名字來命名這種圖叫“韋恩圖”，又叫“集合圖”。如果你比韋恩早出世，那它就將用你們的名字命名啦。

（四）理解韋恩圖各部分的含義

師：你們自己創造了集合圖，一定也明白集合圖各部分的含義吧！這幅圖中紅圈里有幾位同學表示什么？藍圈里有幾位同學表示什么呢？中間交叉部分有幾位同學表示什么呢？左邊月牙里有幾位同學表示什么呢？右邊月牙里有幾位同學表示什么呢？

教學思考：

抽象的集合圖在孩子眼中不再陌生難懂，因為孩子們經歷了整個形成過程，有了鮮活的認識，再次認識各部分的意義，使他們的認識從形象上升到了抽象，真正建構了對集合的認識，實現了一個思維上的跨越。

（五）對比前后表

師：我們把統計表變成了這種圖，你覺得怎樣？

（六）數形結合，列式計算

師：是啊！集合圖可以幫助我們更方便地分析和理解這類有重復現象的問題。現在你能借助集合圖用算式解決老師提出的問題嗎？

交流、匯報算法：

①5+7-3=9（人）（請學生解釋各個數字表示的含義）。

②2+3+4=9（人）。

③5+4=9（人）。

④2+7=9（人）。

教學思考：算法多樣化，不只是為了計算或發展學生的發散思維，其實更重要的是學生在計算中更深一步地理解了集合圖豐富的內涵。

（七）揭題

師：同學們太厲害了，其實今天我們研究的這種有重復現象的數學問題我們把它叫作“重疊問題”，我們可以通過畫韋恩圖來幫助理解，解決問題。

（八）小結

師：今天我們知道了重疊問題可以用集合圖來幫助理解，還學會計算重疊問題，并知道計算時要注意重疊的部分只能算一次，重復的部分要去掉。

四、利用生活中的數學問題提升學生運用知識的能力

師：你們現在敢挑戰自己，解決幾道重疊問題嗎？

①在集合圖中填會飛會游的動物。

請學生再次解釋集合圖中各部分的含義。

②統計喜歡吃香蕉和喜歡吃蘋果的同學。

列算式解答統計了幾位同學并解釋算式中各個數字的含義，體現算法多樣化。

③計算一個班有多少人。

④計算三年級有多少人既參加跳繩比賽又參加找籃球比賽？

五、總結教學經驗，進行教學反思

（一）在操作活動中體會集合思想

小學生的思維特點是從形象思維逐步過渡到抽象思維，在學生的成長過程中，形象與直觀是其認識事物的主要方式與方法。本課學生從爭論“老師到底調查了幾個人”開始，發現矛盾后，用不同的橡皮筋操作，用直觀的操作活動體會、理解抽象的集合圖，教會學生利用數形結合理解問題的思想。

（二）在碰撞中提升思維品質

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調要發展學生的思考能力，讓學生學會獨立思考，體會數學基本思想和思維方式，培養創新意識和實事求是的科學態度。本課在學生的探究過程中，發現矛盾時，老師不急于解答，只在旁提供協助與引導，把課堂還給學生，使學生在一次次的思考和調整中、在一次次操作中體會集合思想，掌握了含有重疊部分的集合圖的含義。