雙負超穎材料中的聲學界面波

張 峰，劉豐銘

(1.湖北工業大學理學院，武漢 430068; 2.中國地質大學(武漢)數理學院，武漢 430074)

1 引 言

過去的十年里，經典波在超穎材料中的傳播已經吸引了許多關注。聲學超穎材料作為一類新型人工復合材料，憑借其局域共振結構可以使等效質量密度和體模量同時為負[1-5]。Ambati等[6]指出聲學超穎材料中可以存在由負的材料參數引起的界面共振模式，并且他們還給出了這界面共振模式存在的必要條件。然而，他們僅僅提出一些虛擬的體系而不是現實可行的體系來研究這個問題。Park等[7]實驗展示了具有負等效質量密度的聲學超穎材料平板可以被用來實現亞波長成像。但是在他們的工作中，只有等效質量密度是負的，因此只有倏逝波參與了超透鏡的成像過程，從而使得聲學超穎材料平板的厚度相比于背景材料中的聲波長必須足夠的小[8]。

在本文中，提出了一個具有低頻共振的真實的聲子晶體體系，該體系可以被視為聲學超穎材料并可以使用等效介質理論[2]來描述。在某些頻率范圍，歸功于散射體中的共振，該聲學超穎材料的等效質量密度和體模量可以同時為負。通過使用超胞方法，發現在雙負等效材料參數的頻率范內出現的這些界面模式存在于非完全禁帶中，因而可以被用來加強倏逝波的透射從而實現亞波長成像。同時所提出的雙負等效參數的超穎材料在實現亞波長成像時倏逝波和傳播波都參與其中，這將使得超穎材料平板的厚度沒有限制。

2 構成超穎材料的聲子晶體的帶結構和相應的等效材料參數

本文中考慮的聲學超穎材料是由橡膠圓柱按正方晶格排列放置于水介質中構成。晶格常數用d來表示，橡膠圓柱的半徑設為R=0.27d。橡膠的密度[9]為ρ=1.3×103kg/m3，水的密度為ρ0=1.0×103kg/m3。橡膠的拉梅常數為λ=1.225×108N/m2和μ=5.3248×106N/m2而水拉梅常數為λ0=κ0=2.22×109N/m2。

圖1 研究界面模式使用的超胞結構示意圖Fig.1 Supercell for calculations of interface modes

這里我們將使用超胞方法結合多重散射理論來研究界面模式的色散關系和本征場。超胞方法的主要思想是假定一個由晶體層和水層交替組成的輔助無限周期超結構，然后應用Bloch定理，將無限周期結構的問題轉化到單一周期進行求解。圖1給出了輔助無限周期超結構的示意圖。超胞由虛線標出，其長度為L=24d，內部包含了16根圓柱。這是一個可以用來精確地計算界面模式的色散曲線的合適樣品，因為水層和晶體層必須足夠厚以避免在任何兩個相鄰的晶體-水界面處的界面模式之間的耦合。在這樣的極限下，超結構中的表面模式的色散曲線將會收斂到半無限晶體的表面模式的色散曲線。

圖2 (a)二維聲學超穎材料的體模帶結構；(b)由等效介質理論給出的二維聲學超穎材料的等效質量密度ρeff(虛線)和等效體模量κeff(實線)；所有等效參數已經用水的聲學參數進行歸一；ν0代表水中的聲速Fig.2 (a)Bulk band structure of the 2D acoustic metamaterials；(b)the effective mass density ρeff (dashed line) and bulk modulus κeff (solid line) of the acoustic metamaterials extracted according to effective medium theory；all the effective parameters have been normalized to the acoustic parameters of water；the quantity ν0 is the velocity of water

圖2(a)給出的是二維聲學超穎材料的體模帶結構。因為橡膠的波速要低于水的波速，位移場主要局域于橡膠中，橡膠圓柱中存在著顯著的單極和偶極共振。因此等效質量密度和等效體模量可以為負[2]。等效質量密度ρeff和等效體模量κeff可以使用下面的等效介質理論方程而得到[10]:

(1)

(2)

3 界面波的色散曲線

圖3 帶結構的放大圖中給出的界面模式的色散曲線(點線)；界面模式出現在非完全禁帶中且該頻率范圍內體系的等效材料參數為雙負值；虛線表示的是水基體的色散線；灰色點區域表示的是體模的帶結構在Г-Χ方向的投影；ky是沿著晶體和水交界面的波矢量；底部圖給出的是此界面模式在超胞中的壓力場分布和抽出的中軸線縱界面的壓力場線分布Fig.3 Interface mode dispersion curve (dotted line) in an enlarged view of the band structure；the interface mode occurs in an incomplete band-gap within the double-negative frequency range；dashed line is the dispersion line of water host；grey point region is the projected bulk bands on Г-Χ the direction; ky is the wave vector along the crystal-water interface； the bottom panel shows the pressure field distribution of the interface mode in a supercell and the extractive line profile of the pressure field at the middle axis

圖3為界面模式的色散曲線以及投影在Г-Χ方向的體模帶和水基體的色散線?？梢钥吹竭@個界面模式出現在非完全禁帶中，因而它傳播常數的最大值受到兩條體模帶交叉的限制。其次，在這個界面模式存在的很窄頻率范圍內有ρeff,κeff<0,|ρeff|<ρ0以及κeff>ρeffκ0/ρ0，這與文獻[6]的結論一致的。最后，可以看到在完全禁帶的頻率范圍內沒有界面態存在，這是因為在這個頻率范圍內等效質量密度為正值。圖3中的底部圖為此界面模式在超胞中的壓力場分布?？梢钥吹綁毫鲋饕拗圃谧钔鈱拥?個晶體原胞中，大部分的聲能量都集中在橡膠圓柱中。

4 亞波長成像

在超聲裝置的設計中界面聲波可以有著很多重要的應用。通過由負的等效材料參數引起的界面模式來實現亞波長成像。應用時域有限差分方法(FDTD)，在圖4a中繪制平板透鏡成像的壓力場分布。該平板透鏡縱向有5個晶體周期厚，橫向有50個晶體周期寬，整個數值模擬區域四周有完美吸收邊界包圍以此來模擬無限自由空間。圖中工作頻率設為ω=0.308(2πν0/d)，處于界面模式的頻率范圍內。在圖4(a)中可以看到一個像出現在平板透鏡的上半部。盡管傳播常數的最大值受到體模帶束縛而使得被增強的倏逝波的范圍受到限制，但像的橫向尺寸小于衍射極限。此外，為了討論材料耗散的影響，在圖4(b)中給出了材料在有耗散和沒有耗散時像在成像平面的橫向場分布?？梢钥吹讲牧虾纳㈦m然損害了成像質量，但是亞波長成像仍然可以實現。

圖4 (a)平板透鏡成像的壓力場分布，工作頻率設為ω=0.308(2πν0/d)；一個點源位于平板透鏡的底部；虛線表示平板透鏡的邊界；(b)平板透鏡在考慮材料耗散(虛線)和不考慮耗散(實線)時像在成像平面的橫向場分布對比Fig.4 (a)The numerically simulated pressure field distributions of imaging by a flat five-layer-thick lens for ω=0.308(2πν0/d)； a point source is located at the bottom side of the flat lens；dashed lines indicate the boundary of the flat lens；(b)transverse field distribution at the image plane for two cases: imaging without dissipation (solid line) and imaging with dissipation (dashed line)

5 結 論

利用超胞方法研究了雙負聲學超穎材料中的界面聲學模式，聲學超穎材料由正方排列的橡膠圓柱放置于水中構成，界面模式存在于雙負頻率范圍里的非完全禁帶中。界面模式的本征壓力場分布明顯的顯示出界面波的基本特征：在垂直于交界面的方向上向兩邊衰減。通過使用時域有限差分方法(FDTD)，這種界面模式可以被用來增強倏逝波的透射從而實現亞波長成像。文中研究的界面模式可以在超聲裝置的設計中有著更多的應用。