一道分式方程的解法及常見(jiàn)錯(cuò)誤分析

穆艷華

摘要：分式方程是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一門(mén)知識(shí)，在對(duì)分式方程的實(shí)際解題過(guò)程中，可以綜合運(yùn)用多種方法進(jìn)行。同時(shí)，由于分式方程對(duì)剛剛接觸到它的中學(xué)生而言，有一定的復(fù)雜性，所以要注意解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤。本文從一道分式方程的解題方法入手，對(duì)分式方程解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了探究。

關(guān)鍵詞：分式方程;解法;錯(cuò)誤分析

引言：

在進(jìn)行分式方程的解題過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)分式方程的解法多樣，同時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的位置也不盡相同。在分式方程中，學(xué)生可能會(huì)在對(duì)分母的處理、解題步驟的處理等多個(gè)地方出現(xiàn)錯(cuò)誤。所以通過(guò)實(shí)例對(duì)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，并引導(dǎo)學(xué)生去避免錯(cuò)誤的發(fā)生是分式方程教學(xué)過(guò)程中值得注意的一點(diǎn)。

一、分式方程的解法

分式方程是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)之一，同時(shí)由于其相對(duì)于初中學(xué)生而言，具有一定的難度，所以也是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)之一。在對(duì)分式方程進(jìn)行解答的時(shí)候，通常使用的有去分母和移項(xiàng)的兩種解題方式。

以一道分式方程為例：

2

x+1

-

x

x2-1

=0，在解答過(guò)程中，通過(guò)乘以（x-1）（x+1）的方式可以得到：2（x-1）-x=0.當(dāng)方程進(jìn)行到這一步，我們可以通過(guò)解答目前的等式，得出x=2的結(jié)論，通過(guò)帶入x=2進(jìn)入（x-1）（x+1）時(shí)，可以得出等式不等于零，同時(shí)帶入原方程可以發(fā)現(xiàn)原方程成立，所以x=2為原方程的解。需要注意的是，在進(jìn)行分時(shí)方程解答的時(shí)候，去分母的依據(jù)是，等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)不等于零的時(shí)時(shí)，等式仍然成立，同時(shí)，由于原方程轉(zhuǎn)化為整式方程，所以原本的取值范圍擴(kuò)大，可能會(huì)產(chǎn)生增根，需要進(jìn)行檢驗(yàn)。因而，其完整的解題步驟應(yīng)為：

（1）去分母，通過(guò)方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母（x-1）（x+1）去掉分母。

（2）得到2（x-1）-x=0

（3）解答該方程2（x-1）-x=0

（4）進(jìn)行檢驗(yàn)，將所得的解，代入最簡(jiǎn)公分母中。若最簡(jiǎn)公分母的不為零，則該值為原方程的解成立;若最簡(jiǎn)公分母為零，則原方程無(wú)解，所得到的數(shù)值為原方程的增根。

二、解答分式方程過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析

（1）在步驟上的疏漏問(wèn)題

在方程的解答過(guò)程中，“檢驗(yàn)”步驟是十分重要的一步，通過(guò)檢驗(yàn)步驟，可以確定當(dāng)前的答案是否為原方程的解。同時(shí)，在分式方程的解答過(guò)程中，由于涉及到去分母將分式方程變?yōu)檎椒匠蹋@一過(guò)程中方程的取值范圍會(huì)隨之變大，從而產(chǎn)生增根。所以在進(jìn)行分式方程解答時(shí)，需要注意“檢驗(yàn)”的步驟。

例如：解答方程

2

x+1

-

x

x2-1

=0

1：方程兩邊同時(shí)乘以（x2-1）（x+1）可得2（x-1）-x=0

2：解這個(gè)方程2（x-1）-x=0得：x=2

這個(gè)解題步驟的錯(cuò)誤出現(xiàn)在缺乏檢驗(yàn)步驟，需要進(jìn)行步驟的補(bǔ)足：

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，方程（x-1）（x+1）≠0，所以x=2為原方程的解。

這里我們需要進(jìn)一步明確方程的解題步驟，在解分式方程的過(guò)程中，第一步需要去掉分式方程的分母，將分式方程變形成為整式方程;其次是通過(guò)運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算規(guī)則，來(lái)尋求方程的解;最后需要通過(guò)檢驗(yàn)步驟，來(lái)驗(yàn)證所求得的值是否能讓原方程真正成立，以及該值是否為原方程的解。

（2）常數(shù)項(xiàng)漏算或錯(cuò)算

分式方程中，常常會(huì)涉及到常數(shù)的存在，而在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，可能由于麻痹大意等原因，造成常數(shù)項(xiàng)的漏算或錯(cuò)算的問(wèn)題出現(xiàn)，從而導(dǎo)致解題的失敗。需要明確，由于分式的特質(zhì)存在，所以在進(jìn)行去分母時(shí)，需要對(duì)分式的每一個(gè)項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，才能確保等式的兩邊相等，進(jìn)而確保所求得的值為原方程的解。

例如：在解答

2

x+1

-

x

x2-1

=0該分式方程的時(shí)候，首先進(jìn)行去分母的演算。

方程兩邊乘以（x-1）（x+1）去分母，得：2（x-1）-x=（x-1）（x+1）。

該步驟的錯(cuò)誤在于，在進(jìn)行去分母的過(guò)程中，對(duì)方程右邊常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，0乘以（x-1）（x+1）的結(jié)果應(yīng)為0，由于計(jì)算錯(cuò)誤，所以造成原方程無(wú)解。同時(shí)，若在方程中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，在去分母的過(guò)程中也應(yīng)相應(yīng)地以常數(shù)項(xiàng)乘以或除以（x-1）（x+1），才能最終確保方程的解存在。

（3）對(duì)括號(hào)的理解不夠深入

解方程時(shí)，會(huì)遇到題目出現(xiàn)多個(gè)括號(hào)的問(wèn)題。在進(jìn)行分式方程的解答中，正確地去括號(hào)是保證解題順利的一大因素。同時(shí)，錯(cuò)誤的去括號(hào)會(huì)造成題目從根本上變化，而無(wú)法進(jìn)行正常的解答。在去括號(hào)的過(guò)程中，還需要注意的是分?jǐn)?shù)線的重要性，分?jǐn)?shù)線在分式方程中具有括號(hào)的作用，如果在解題過(guò)程中，忽視分?jǐn)?shù)線的該項(xiàng)作用，也會(huì)導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤。

例如：對(duì)分式方程

2

x+1

-

x

x2-1

=0進(jìn)行解答。

通過(guò)乘以（x-1）（x+1）進(jìn)行去分母操作，得出等式2（x-1）-x =0，并對(duì)該等式進(jìn)行去括號(hào)操作，得出方程2x-1-x=0。在進(jìn)行去括號(hào)的步驟時(shí)，同樣需要將括號(hào)外的項(xiàng)與括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)分別相乘，才能保證等式的成立，從而保證對(duì)分式方程的解答正確。在解題過(guò)程中，還需要注意括號(hào)前的正負(fù)符號(hào)，在去括號(hào)的過(guò)程中，各項(xiàng)應(yīng)當(dāng)進(jìn)行相應(yīng)的變項(xiàng)處理。

（4）約分過(guò)程中的失誤問(wèn)題

分式方程的解答，離不開(kāi)對(duì)約分的需求。在進(jìn)行去分母等的處理過(guò)程中，需要對(duì)該問(wèn)題引起重視，錯(cuò)誤的方式會(huì)導(dǎo)致方程最終解答的錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)過(guò)程中需要注意，在分式的分子與分母為多項(xiàng)式的時(shí)候，需要先進(jìn)行因式分解，其次再進(jìn)行約分處理，從而確保解題正確。這樣的錯(cuò)誤在解題過(guò)程中隨時(shí)可能遇到，需要通過(guò)對(duì)方程約分處理引起相應(yīng)的重視，從而去進(jìn)行對(duì)錯(cuò)誤的規(guī)避。

結(jié)束語(yǔ)：

在進(jìn)行分式方程的解答過(guò)程中，需要綜合應(yīng)用到多方面的知識(shí)，例如方程的基本性質(zhì)、恒等變形、整式運(yùn)算等進(jìn)行結(jié)合。并且在教學(xué)過(guò)程中，要培養(yǎng)起敏銳的感知能力，通過(guò)在實(shí)際的解題過(guò)程中，來(lái)對(duì)分式方程的解法有更深入更細(xì)致的理解。同時(shí)在解題過(guò)程中需要注意檢驗(yàn)的方法，從而達(dá)到良好的解題效果。

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