縱向一貫，函數教學的一體化研究

周艷

摘 要：函數是研究運動變化的重要數學模型，是中學階段數學知識的重要組成部分。因課時需要，教材中函數被切割成了幾部分，但教師不能局限于教材，而應站在更高的視角，了解知識的來龍去脈，縱向一貫整體把握，幫助學生形成知識脈絡，培養用函數思考問題的意識。

關鍵詞：函數;高觀點;方程;思想

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）01-085-2

“數學并不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體。”菲利克斯·克萊因在《高觀點下的初等數學》中指出。初中數學與高中數學不論從知識結構方面，還是從培養學生的數學能力方面，都有著密切的關系，在教學的時候我們應該把兩者聯系起來，縱向一貫，形成一體化知識進行研究。

以函數教學為例，現有教材初中二年級探討一次函數、反比例函數，三年級研究二次函數、銳角三角函數;高中一年級進一步系統研究了多種基本函數，二年級探討了任意角的三角函數，三年級結合高觀點用微積分知識進一步研究函數。函數始終是貫穿整個數學學習的一條主線，是數學教學的核心之一。初中教師應掌握和了解函數知識形成、發展與完善的過程以及數學教育演化的經過，站在更高的視角來審視和理解初中教材中的函數知識，縱向一貫整體把握，抓住數學問題的本質，即可高屋建瓴，跳出題海，發展學生自覺形成用數學眼光看世界的意識。

本文將以《二次函數與一元二次方程》的教學流程為例，闡述如何在函數教學中進行一體化研究。

一、情境引入，感受新知

一門迫擊炮發射的一發炮彈飛行的高度y（m）與飛行時間x（s）的關系滿足y=115x2+10x。回答下列問題：（1）炮彈飛行高度能否達到120米？若能，需要經過多長時間？（2）高度能否達到125米？若能，需要經過多長時間？（3）高度能否達到130米？

首先，給出實際情境，引導學生思考以下問題：1.三個小問題分別是已知什么？求什么？2.結合圖像找出問題1、問題2在函數圖像上的對應點。

通過問題串的設置幫助學生將實際問題轉變為函數問題，明確題目指向;先計算，從“數”的角度感知，再看圖，從“形”的角度感知方程的解和圖像與x軸交點橫坐標之間的關系，實現思維由靜態到動態的轉變，體會二次函數與一元二次方程之間的聯系。

其次，借助幾何畫板給出函數圖像，要求學生繼續深入思考：為什么飛行高度達到120米，有兩個時間點，飛行高度達到125米只有一個時間點？方程和函數有怎樣的關系？要求學生嘗試用語言描述一下。

通過深入思考重新整理解題思路，不難發現，每一個二次函數的解析式均可看成一個二元二次方程，當給定函數值時，即轉變為一元二次方程，方程的解和函數圖像上點的橫坐標一一對應，方程解的個數直接決定函數圖像上對應點的個數。如果從函數角度出發，函數圖像上點的坐標已知，則可直接得出對應方程的解，進一步感知二次函數與一元二次方程的關系。

教師采用“高觀點”來指導教學，就不會拘泥于僅探究題目的解法，更側重的是數學思想，為后續高年級學習方法做鋪墊，分析問題能從局部到全局，從一個問題衍生到一類問題，拓寬學生思考視角，滲透函數思想。

二、搭建平臺，發現新知

想一想：方程567x2-3867x+6587=0有實數根嗎？為什么？

學生看到題目首先想到的是解方程，很快會發現計算繁瑣，解方程難度大。倒逼學生思考：一定要進行這么繁的計算嗎？學生會主動尋找其他途徑來解決，將方程問題轉化為函數問題，運用函數的思想方法來解方程就會水到渠成。如果方程過于簡單，輕易可以算出根的具體值，學生會覺得從函數角度出發解方程多此一舉，自然也不會去深究問題的“深意”，對即將探討的方法也就無興趣可言。

借助幾何畫板，畫出函數y=567x2-3867x+6587的圖像，發現拋物線和x軸有兩個交點，因此方程567x2-3867x+6587=0有兩個不相等的實數根。進一步觀察還可以發現和x軸兩個交點的橫坐標約為3.3和3.5，從而得出方程的兩個近似根x1≈3.3，x2≈3.5。

借助“想一想”進一步總結出知識點，二次函數的圖像與一元二次方程根的關系：拋物線與x軸交點的個數與相應的一元二次方程的解的情況是相關的;拋物線與x軸交點的橫坐標即為相應方程的解。

三、拓展提升，鞏固新知

例題1：①觀察二次函數y=x2-3x+2的圖像與x軸的交點，直接寫出方程x2-3x+2=0的解。

②觀察二次函數y=x2-3x的圖像與直線y=-2的交點，直接寫出方程x2-3x+2=0的解。

③觀察二次函數y=x2以及一次函數y=3x-2的圖像交點，直接寫出方程x2-3x+2=0的解。

問題①是對上一題結論的直接應用，問題②的設置旨在將函數和方程的關系推廣到函數和方程組的關系，問題③有一定難度，需著重引導學生弄清交點的意義。三個問題的設置一脈相承，層層鋪墊，螺旋上升。讓學生進一步感受函數與方程、方程組的關系，逐步學會從函數的視角來解決問題，滲透函數思想。

學生通常認為這三個問題是不同的題目，然而具有“高觀點”的教師能透過現象看到本質，x軸就是直線y=0，它和直線y=-2，直線y=3x-2本質是一樣的，三個問題均是要尋找使函數值相等的對應自變量值。從函數角度出發，求兩個函數的交點坐標就是求對應方程或方程組的解，反之，求方程的解只需觀察對應函數圖像上點的坐標即可。

四、靈活運用，內化新知

例題2：借助函數圖像，求方程x2-2x-1=0的近似解（保留一位小數），你能找到幾種方法？

這是一道開放題，教學時采取小組合作競爭的方式。經歷了例題1的探索過程，學生的思路已經打開，求方程x2-3x+2=0的根可以利用三種不同的函數圖像，那么本題的方程從函數視角出發又可以如何來解呢？哪種更好操作？

課堂中，指導學生用幾何畫板畫圖，采取觀察、思考、討論、交流等多種形式，梳理新知，鞏固利用函數圖像解方程的方法;通過對多種解法的探討，理清不同函數和對應方程之間的關系。

五、小試牛刀，檢驗新知

1.關于x的方程a（x-3）2+b=0（a≠0）的一個根為1，求另一個根。

2.二次函數y=ax2+bx+c的圖像如右圖所示，

判斷方程ax2+bx+c+2=0的根的情況。

由于定向思維，初接觸第1題時，仍有很多同學習慣性地將根代入一元二次方程，嘗試用待定系數法求解;而從函數角度出發，則可化繁為簡：由拋物線的對稱性可知另一個交點橫坐標為5，即對應方程的另一個根為5。實際教學中，可以讓學生比較兩種解法的難易，拓寬解題思路，滲透函數思想。

第2題題目中已經給出函數的圖像，故從函數角度出發順理成章。求方程的解，可以轉變為相應函數與x軸的交點個數，由已知函數圖像向上平移2個單位即得。此題是對本節課所學內容的總結，可以綜合考察學生對新知的掌握情況。

最后借助兩道小練習完成課堂小結。

在實際教學中，教師需要有用“高觀點”統帥全局的意識，但教學時落點要低，滲透函數思想是一項長期工作，解題時不能做硬性要求，如用方程解法須肯定其正確性，同時引導函數方法，拓寬解題思路。

教師具有了“高觀點”，了解初等函數數學問題的高等數學背景和實質，縱向一貫，對中學函數教材從高處著眼，整體把握，將函數與其他知識點進行有機整合，幫助學生系統掌握和理解知識脈絡，不僅解題更靈活，思維能力也會有質的提升。

[參考文獻]

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