數學精神與高等數學教學

劉強 王書臣 周文書

[摘 要] 數學教育在文化的視角下應該是數學文化教育，數學精神是數學文化的靈魂，它包括理性思維、創新精神和數學家集體人格三部分。在高數教學中，要引導大學生建立積極、健康的數學觀，培養他們的理性思維，培養他們的創新精神，優化他們的人格品質。

[關鍵詞] 數學精神；高等教學；教學

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2019） 02-0098-02

數學是一個文化體系，數學活動是一種文化現象，這一點已得到中外專家的普遍認同。文化的本意是“以文化人”，從這個意義上講，數學文化就含有“以數學化人”的意思。數學教育是數學文化的主要傳播方式，因此，數學教育在文化的視角下應該是數學文化教育。

高等數學是大學文理科大部分專業的最為基礎的一門學科，承擔著培養大學生科學素質和人文素質的雙重重任。是大學生在接受了十二年的中小學數學教育之后的高級的數學教育，他們在中小學掌握了一定的數學知識與方法，并且經歷了中考與高考的應試數學教育的鍛煉與折磨，初步形成了數學觀，這其中，很多人的數學觀是片面的，甚至是消極的。他們渴望獲得全新的數學教育，大學也有責任引導他們建立積極、健康的數學觀，接受高級的數學文化的熏陶，提高數學文化素質。然而，傳統的以知識傳授為主，以掌握數學的基本概念、基本技能與方法為目標的高等數學課程是難以完成這個任務的。這就要求我們認識數學文化的內涵，深入思考高等數學課程作為高等數學文化教育的意義，形成理論并付諸實踐。

文化是人類一切物質財富與精神財富的總和，從這個意義上講，數學文化可理解成數學的一切物質財富與精神財富的總和，數學的物質財富就是到目前為止人類所得到的所有的數學結論，它所形成的語言，以及數學應用到所有領域所取得的成果，它是動態的，時時刻刻在積累著，分分秒秒在增加著；數學的精神財富則是指數學的思想、方法、觀念、精神、數學美、數學思維方式、數學的發展與歷史、數學與社會、數學與各種文化的關系等等。

“文化內涵整體至少有 5 個方面：知識、思維、方法、原則與精神”，“精神是文化的靈魂：它是前四者融成一體且上升到形而上的境界”[1]。如此看來，數學精神應該是數學文化的靈魂。什么是數學精神呢？M. kline說過：“在最廣泛的意義 上 說，數 學 是 一 種 精 神，一 種 理 性 的 精神。正是 這 種 精 神，試 圖 決 定 性 地 影 響 人 類 的 物質、道德和社 會 生 產；試 圖 回 答 有 關 人 類 自 身 存 在提出的問題；努 力 去 理 解 和 控 制 自 然；盡 力 去 探 求和確 立 已 經 獲 得 知 識 的 最 深 刻 的 和 最 完 美 的 內涵。”[2]建立數學文化教育觀，教師要把自己當作數學文化的使者，數學文化的傳播者，而非知識的傳授者；學生也非單純的知識的接受者，而是數學文化的感染者，受益者，將來也應是數學文化的傳播者。就是要求我們除了傳統數學教育所關注的數學的實用價值（工具說）和形式訓練價值（思維說）以外，更要關注它文化價值，關注它對大學生人文價值培養的作用。簡而言之，要倡導一種精神，這種精神來自數學精神，它會為人引入一種價值觀，這種價值觀是積極的、健康的、具有理性思維的，也是具有創新意識的，它會對人的發展和社會的發展起著巨大的作用。

數學精神包括以下三個方面。

1 理性思維。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，理性思維首先表現在數學的抽象性上，它從現實世界中抽象出來的數學關系和空間形式，已脫離了對象的具體內容，成為純思維對象，形成數學知識理論，在此基礎之上進一步抽象，形成更高層次的數學知識理論。在此過程中，不斷提煉總結不同層次的抽象方法，逐漸形成了今天我們普遍認同并加以實用的思維方法，如抽象與概括、歸納與演繹、分析與推理、邏輯與直覺等等。

理性思維的另一個表現是，數學家總是力圖用最簡練、最精確、最形式化的語言去刻畫現實自然界與現實社會的每一個現象，它始終追求完美，從兩千多年前人類產生極限的思想和原始概念，到牛頓與萊布尼茲創立微積分，用極限工具解決各種數學問題與物理問題，再到柯西等幾代人把微積分基礎化、理論化，形成精確形式化的極限概念，無不體現數學家追求完美的理性精神；理性思維還表現在數學家不斷地簡化人類改造自然與社會所使用的數學方法，使其一般化、擴大化。從中國古代的雙假設法、孫子算法，到積分計算面積與體積，以及今天的數理統計、大數據分析，都是數學方法一般化的例證。

2 創新精神。數學文化的發展史就是一部創新與發展的歷史，數學家總是向過去挑戰，打破傳統的思維，形成數學的新面貌、新氣象。數系的每一次擴張、數學的每一個猜想的提出、每一個反例的構造、一個個新的數學分支的建立等等，都展示著數學的創新精神，正是這種創新精神，才使得數學不斷地蓬勃發展、更新，形成枝繁葉茂的參天大樹。創新精神是數學發展的不竭動力。

3 數學家的集體人格。數學文化發展史也是數學家集體人格的展示。學習數學、研究數學以及傳播數學會培養人的高貴品質，優秀的氣質。尊重事實、堅持真理、實事求是、勇于懷疑、勇于批判、勇于探索、堅持不懈、敢于創新這些優秀品質，是一代又一代的數學家傳承與沉淀下來的，古希臘的希帕索斯不畏權威、不畏生死，提出不可公度幾何量，從而引發第一次數學危機，這是數學家捍衛真理的典型代表；中國古代數學家祖沖之祖孫幾代人嘔心瀝血，堅持不懈，創造出領先世界的數學成果；挪威數學家阿貝爾在貧窮、饑寒、著人冷落的環境里，堅定信念，忍受孤獨與寂寞，創造出大量的惠及人類的數學成果；數學家為了解決一個猜想，可能幾百年，甚至上千年都不舍不棄，費馬猜想的解決，從1637年到1995年，用了整整300多年的時間；非歐幾何的創立到群論的產生等等，舉不勝舉。

數學精神是人文精神的重要組成部分，在高等數學教育過程中，我們要努力弘揚數學精神、傳承數學精神、貫徹數學精神，引導大學生建立正確的價值觀，形成優良的人文素質。在高數教學中具體的做法是：

1 引導大學生建立積極、健康的數學觀，培養他們的理性思維。受傳統數學教育及應試教育的影響，很多學生在中小學形成的數學觀是片面的、消極的，甚至是不健康的。如他們認為數學只是符號、定理、公式的堆砌；數學只是解題；學數學就是為了考試等等。這種數學觀對大學生的學習與發展是不利的，我們應通過高等數學教育幫助他們修正與重新建立數學觀。教師在教學中，要不遺余力的傳遞數學精神，特別是數學的理性思維的特征與作用，要讓學生感知數學語言、數學思維的力量。如在講解極限定義時，通過極限的自然語言的描述性定義，過渡到形式化的嚴格化定義，讓他們明白兩種語言的區別，知曉形式化語言的必要性。教師可把柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金等人堅持不懈的進行微積分的嚴密化工作，歷經200多年的時間，才得到我們今天見到的這個形式化的極限定義的故事講給他們聽，讓他們感悟到數學家工作意義，領悟數學的真諦；讓他們嘗試用數學語言刻畫與描述各種現象。教師可以通過數學史的大量案例和現代科技與人文科學應用數學而得到飛速發展的典型案例，來闡明無處不在、無處不用的數學，從而，明確學習數學的意義和目的，通過高數學習，發展理性思維，完善人文素質。

傳統的高數教學以掌握基本知識，培養基本技能為主，強調計算，不重視算法的來龍去脈，不重視知識的發生過程，不重視概念形成的過程，不重視嚴格的證明。有些教師把大量的定理證明刪掉了，只留下結論，應用也很少講。這種“掐兩頭，燒中段”的做法是不利于理性思維培養的。今天計算機高速發展，我們應降低對運算能力的要求，提高對推理與證明的要求，加大對其的評價與考核的力度。這樣才能使我們的高等數學教育偏向理性思維的培養，從而提高大學生的科學與人文素質。

2 培養大學生的創新精神。數學精神的靈魂與核心是創新精神，創新精神是一個民族立足的根本，因此，培養大學生的創新精神是高等教育的頭等目標。高等數學教學中，通過數學精神的熏陶與感染，使學生了解數學史上數學創新的經典案例，了解創新的意義與創新的思維方法，讓他們學會創新，并非馬上就有什么創造與發明，而是把學習的主動權交給他們，讓他們自主學習，自主探索，通過教師的教學設計，讓學生積極主動的獲取知識，讓他們發現問題，提出問題，嘗試去解決問題，這樣，很多知識對他們來講就是探索發現的，就是一種初步的創新，長而久之，創新的意識就會逐漸形成，創新精神就會成為他們人格品質中的一部分。如講定積分定義時，首先提出問題：中小學我們求的平面圖形的面積的邊界曲線，除了圓以外都是直線，當邊界曲線是普通的曲線時，如何計算呢？然后通過劃分歸類，歸結為只要解決只有一條邊為曲線的情景，即曲邊梯形的計算，進一步提出問題，如何計算拋物線與直線圍成的面積，傳統的近似計算誤差很大，需要我們尋求新的方法，從而引出分割、近似替代、求和、取極限的方法，再進一步抽象出定積分的概念，有血有肉，學生與教師共同探討，知識是學生主動建構的，而不是填鴨式的灌輸。當學生成為學習的主人時，創新精神的培養才能有效地落實。

3 優化學生的人格品質。數學精神所體現出來的數學家的集體人格是高品質的，它是優秀人格的體現，當代大學生身上缺乏的也正是這種尊重事實、堅持真理、實事求是、勇于懷疑、勇于批判、勇于探索、堅持不懈、敢于創新的優秀品質。在高數教學中，教師可將數學家軼事、經典數學事件（如三次數學危機）、數學猜想的提出與解決、數學分支的誕生等數學文化題材植入到教學過程中，使其與教學融為一體，每一節課的教學設計都有所體現，久而久之，學生得到的不僅僅是熏染，而是實實在在的訓練與培養。當然，人格品質的優化與完善并不是靠學生在課堂上光聽教師講就能完成的，更重要的是學生要參與到數學文化的共同建設中來。一方面我們要加強課堂的雙邊活動，把學生的思維調動起來，讓數學教學真正成為數學思維的教學，學生成為知識的建構者；另一方面關注學生課下的學習環節，特別是高數作業這一重要環節，高數作業是高數教學的延伸，是教學整體的一部分，它是學生整理思維、修正思維、完善課堂學習的不可或缺的步驟，同時也是對學生思維品質、意志品質訓練的好機會。我們設計了很多不同于傳統的高數作業形式，如預案作業、章節總結報告、小組合作作業等[3]，嚴格要求，注重質量。學生做作業時，不是簡單的機械模仿、重復操作，而是要求他們認真思考，查閱資料，反思自問，自主探索，不斷總結。教師除了設計作業以外，課下還以線上指導、現場指導等多種形式幫助學生完成作業。實踐證明，這種做法不僅僅提高了他們的數學成績，更重要的是讓他們學會了學習，學會了思考、學會了探索與專研，這表明數學家的優秀品質正在他們身上發酵，生根發芽，一步一步地優化著他們的人格品質。

參考文獻：

[1]楊叔子. 數學很重要，文化很重要，數學文化也很重要[J].數學教育學報，2014（12）.

[2]王書臣. 民族院校小組合作學習的實踐與認識[J].教書育人（高教論壇），2016（27）.

（責任編輯：張宏玉）