關(guān)于阻力作用下小球上拋和下落的討論

陳雪 韓玉龍 張靜雅 王博

摘 要：豎直上拋和下落是運(yùn)動(dòng)學(xué)中典型的例子，中學(xué)物理易解決不考慮空氣阻力運(yùn)動(dòng)情況的上拋和下落，本文了討論小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到阻力作用下的運(yùn)動(dòng)情況。

關(guān)鍵詞：牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律；阻力；上拋

不考慮阻力情況下，小球上拋過(guò)程中只在重力作用下運(yùn)動(dòng)。小球拋出后，加速度始終為重力加速度g的勻變速運(yùn)動(dòng)，可分為上拋時(shí)的勻減速運(yùn)動(dòng)和下落時(shí)的自由落體兩個(gè)過(guò)程。兩段過(guò)程具有嚴(yán)格的對(duì)稱性，其中包括速度對(duì)稱、時(shí)間對(duì)稱和能量對(duì)稱。

考慮阻力情況下，上述的對(duì)稱性將被打破，本文討論了質(zhì)量為m的小球以初速度v0當(dāng)從地面上豎直上拋，受到阻力情況下，小球落回地面的速度發(fā)生的變化。小球豎直上拋時(shí)，受力分析如圖1所示，圖中v為小球運(yùn)動(dòng)速度，h為小球上拋的最大高度。考慮如下兩種情況。

圖1 受力分析

一、 阻力大小為αmv2（黏滯系數(shù)α為常數(shù)，v為小球速度）

小球豎直向上拋出，受到重力和阻力作用，以地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為y軸正方向，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得受力方程為

-mg-αmv2=mdvdt（1）

進(jìn)行微元變換可得-mg-αmv2=mvdvdy，即

dy=mvdv-mg-αmv2（2）

對(duì)上述微分方程等式兩邊同時(shí)積分∫h0dy=∫0v0mvdv-mg-αmv2，可得小球落到地面的距離h為

h=12αlnmg+αmv20mg（3）

下落過(guò)程，重力方向依然豎直向下，而阻力方向向上，受力方程為

-mg+αmv2=mdvdt（4）

類似的可以獲得下降過(guò)程的高度h表達(dá)式，其中v1為小球落到地面時(shí)的速度

h=12αlnmgmg-αmv21（5）

小球從地面上拋出，上升高度和下落高度相等，因此（3）和（5）式應(yīng)一樣，可得小球落到地面時(shí)速度滿足

v1=v0gαv20+g（6）

二、 阻力大小為αmv（黏滯系數(shù)α為常數(shù)，v為小球速度）

受力分析過(guò)程不變，但是阻力表達(dá)式發(fā)生變化，可得上拋和下落過(guò)程的受力方程分別為

-mg-αmv=mdvdt（7）

-mg+αmv=mdvdt（8）

對(duì)上述方程做同樣的處理，得到微dy的表達(dá)式后對(duì)等式兩邊同時(shí)積分，可以給出上拋?zhàn)畲蟾叨群拖侣涞降孛娓叨人鶟M足的表達(dá)式如式（10）和（11）所示

h=v0α+gα2lngg+αv0（10）

h=-v1α+gα2lng+αv1g（11）

由上拋和下落到地面的距離相等，可知h=v0α+gα2lngg+αv0=-v1α+gα2lng+αv1g，雖然此等式難以獲得小球下落到地面時(shí)速度v1的解析表達(dá)式，但是可以確定的是等式中只有未知量v1，只要給出初速度、黏滯系數(shù)等值，即可以獲得v1的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]《力學(xué)詞典》編輯部.力學(xué)詞典[M].北京：中國(guó)大百科全書(shū)出版社，1990：118，161，277.

作者簡(jiǎn)介：

陳雪，安徽省六安市，安徽省皖西中學(xué)；

韓玉龍，張靜雅，王博，安徽省蕪湖市，安徽信息工程學(xué)院。