基于協(xié)方差匹配SL0算法的MIMO雷達(dá)DOA估計

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(1.南京信息工程大學(xué)氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心， 江蘇南京 210044；2.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院， 江蘇南京 210044；3.南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院， 江蘇南京 210044)

0 引 言

近年來提出的多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output, MIMO)雷達(dá)系統(tǒng)是一種新體制雷達(dá)，由于其存在諸多優(yōu)點[1]，已經(jīng)成為雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點。MIMO雷達(dá)發(fā)射的信號是相互正交的，在接收端經(jīng)過匹配濾波后能夠分離出各發(fā)射信號。因此，MIMO雷達(dá)可以產(chǎn)生大量的虛擬陣元，擴展虛擬陣列孔徑[2]，提高參數(shù)估計的性能。

波達(dá)方向角(Direction of Arrival, DOA)估計是陣列信號處理和雷達(dá)應(yīng)用領(lǐng)域一項重要的研究內(nèi)容，現(xiàn)如今有關(guān)MIMO雷達(dá)的DOA估計方法已經(jīng)數(shù)不勝數(shù)，例如多重信號分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[3-4]、基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)算法[5-6]等。隨著復(fù)雜的電磁環(huán)境以及信號的實時處理都將對硬件提出更為苛刻的要求，傳統(tǒng)的MIMO雷達(dá)DOA估計方法已不能滿足實際應(yīng)用的需求。而壓縮感知理論[7]的出現(xiàn)使得這一問題得以緩解，該理論指出：若信號可壓縮或具有稀疏性，便能夠以遠(yuǎn)低于Nyquist的采樣頻率，用隨機采樣獲得的數(shù)據(jù)通過非線性重建算法高概率地恢復(fù)出原信號[8]。使用該理論不僅可以減少傳輸和存儲的成本，降低采樣數(shù)，而且能夠提高參數(shù)估計的精度，克服了傳統(tǒng)DOA估計方法的不足。在稀疏理論的框架下，MIMO雷達(dá)的DOA估計問題可以轉(zhuǎn)化為求解l0范數(shù)最小化問題。由于該問題是一個非確定性多項式(NP-hard)問題，可將其轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)最小化問題來進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[9]通過建立稀疏重構(gòu)模型，采用二階錐規(guī)劃的方法構(gòu)造出陣列流型的冗余字典，結(jié)合l1范數(shù)凸優(yōu)化方法和奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)，提出了l1-SVD算法。加權(quán)l(xiāng)1-SVD[10]算法通過降維和SVD分解降低了稀疏信號重構(gòu)的復(fù)雜度，并且構(gòu)造加權(quán)矩陣提高了多測量向量問題中MIMO雷達(dá)DOA估計的精度。然而l1范數(shù)最小化問題是凸優(yōu)化問題，通常采用線性規(guī)劃進(jìn)行求解，這使得加權(quán)l(xiāng)1-SVD算法的計算量巨大，進(jìn)行實時處理較為困難。文獻(xiàn)[11]則將l0范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化為平滑函數(shù)極值求解問題，提出了一種平滑l0范數(shù)(Smoothedl0Norm, SL0)算法，該算法的運算效率較高，在保證相同精度的條件下，能夠比基追蹤算法的重構(gòu)速度快2～3倍。因此，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于加權(quán)SL0算法的MIMO雷達(dá)DOA估計方法，該方法對降維后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行矢量化運算，并利用噪聲和信號子空間的正交性理論來構(gòu)造加權(quán)向量，從而將MIMO雷達(dá)DOA估計問題轉(zhuǎn)化為加權(quán)平滑函數(shù)極值求解問題。然而，在信號傳播的過程中，由于同頻干擾和多徑效應(yīng)會導(dǎo)致入射到陣列中的信號存在相干信號源，相干信號源的存在將會導(dǎo)致數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩產(chǎn)生退化。因此，利用加權(quán)SL0算法來對MIMO雷達(dá)的相干信源進(jìn)行DOA估計時，協(xié)方差秩的退化會導(dǎo)致稀疏重構(gòu)模型存在一定誤差，構(gòu)造的加權(quán)向量無法提取出有效的噪聲子空間，從而影響加權(quán)SL0算法的DOA估計性能。

針對加權(quán)SL0算法處理相干信源的不足，本文提出一種基于協(xié)方差匹配SL0算法的MIMO雷達(dá)DOA估計方法。該方法根據(jù)協(xié)方差匹配準(zhǔn)則建立目標(biāo)函數(shù)，并將其轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題，利用凸優(yōu)化方法進(jìn)行求解，使得協(xié)方差矩陣恢復(fù)Toeplitz特性，利用修正后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行MIMO雷達(dá)的DOA估計，以達(dá)到解相干的目的。此外，利用協(xié)方差逆矩陣的高階冪來近似噪聲子空間，在計算加權(quán)向量時無須預(yù)知信源數(shù)目。仿真分析表明，本文算法能夠有效地對相干信源進(jìn)行DOA估計。

1 相干信源下的MIMO雷達(dá)信號模型

假設(shè)系統(tǒng)為窄帶單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，該系統(tǒng)有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元，陣元間距分別為dt和dr，為形成最大孔徑的低冗余虛擬陣列，本文選取dt=Nλ/2，dr=λ/2，其中，λ為工作波長。假設(shè)有P個遠(yuǎn)場相干信源，其入射角度分別為θ1,θ2,…,θp。MIMO雷達(dá)的接收陣列信號經(jīng)匹配濾波后，在t次快拍時的接收信號為

x(t)=[at(θ1)?ar(θ1),…,at(θp)?ar(θp)]·

s(t)+n(t)

(1)

X=AS+N

(2)

式中：X=[x(1),x(2),…,x(J)]∈CMN×J為接收信號矩陣；S=[s(1),s(2),…,s(J)]∈CP×J為信號矩陣；N=[n(1),n(2),…,n(J)]∈CMN×J為高斯白噪聲矩陣。由式(2)可以得到信號的協(xié)方差矩陣為

RX=E(XXH)=ARSAH+RN

(3)

式中：(·)H為共軛轉(zhuǎn)置運算；E(·)為取數(shù)學(xué)期望；RS為信源的自相關(guān)矩陣；RN為噪聲的自相關(guān)矩陣。在實際應(yīng)用中，通常選取有限的采樣點，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣采取近似估計，即

(4)

若所有的信源都不相干時，信號的相關(guān)矩陣RS是一個對角陣，其秩與信源數(shù)目相等，而當(dāng)存在相干信源時，RS的秩將會退化，從而影響矩陣RX的秩，即協(xié)方差矩陣的秩將少于信源數(shù)目。此時，若采用加權(quán)SL0算法[12]進(jìn)行MIMO雷達(dá)DOA估計時，將會使得MIMO雷達(dá)的稀疏重構(gòu)模型失配，同時由于無法有效提取噪聲子空間而使得加權(quán)向量計算失效，從而導(dǎo)致該算法的DOA估計性能惡化。

2 基于協(xié)方差匹配SL0算法的MIMO雷達(dá)DOA估計方法

為了解決加權(quán)SL0算法在估計MIMO雷達(dá)相干信源DOA估計時的問題，本文采用協(xié)方差匹配準(zhǔn)則對協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理。基于協(xié)方差匹配準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)[13]為

(5)

式中：‖·‖F(xiàn)為Frobenius范數(shù)；(·)-1為求逆；tr(·)為求跡；RX為信號協(xié)方差的理論值。文獻(xiàn)[14]指出，若信號與噪聲是不相關(guān)的，則RX可寫為

RX(θ,ξ,τ)=E(XXH)=

A(θ)RS(ξ)AH(θ)+RN(τ)=

D(θ,ξ)+RN(τ)

(6)

(7)

(8)

式中，{ξ,τ≥0}為向量ξ和τ中的元素都大于等于零。式(8)是非線性函數(shù)，故不能直接對其進(jìn)行求解，可將其轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題：

(9)

(A*?A)vec(RS)+vec(RN)

(10)

式中：vec(·)為對矩陣向量化；(·)*為矩陣共軛；?為Kronecker積。由文獻(xiàn)[12]可知，式(10)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

y=(A*⊙A)ys+yn

(11)

(12)

(13)

(14)

進(jìn)一步推導(dǎo)，得

(15)

式中：m為任意正整數(shù)；λi(i=1,2,…,P)為信號特征值。由文獻(xiàn)[15]知，式(15)中τ2/λi<1，因此，當(dāng)m→時，有所以當(dāng)m趨近無窮大時，式(15)趨近于噪聲子空間。于是，本文采用如下的加權(quán)向量：

(16)

式中：rw=[rw1,rw2,…,rwL]T為加權(quán)向量,rwi(i=1,2,…,L)為矢量rw中的第i個加權(quán)系數(shù)。加權(quán)SL0算法通過構(gòu)造加權(quán)平滑函數(shù)來逼近式(12)中的l0范數(shù)，即

(17)

(18)

本文算法步驟總結(jié)如下：

步驟4 采用SL0算法求解稀疏表示模型：

初始化：

1) 設(shè)初始值v0=BT(BBT)-1y；

2) 選取一組合適的序列[σ1,σ2,…,σK],且σk+1=ρσk,0<ρ<1，σ1=4max{|v0|}。

算法迭代：

Fork=1,2,…,K

1) 令σ=σk；

b) Forq=1,2,…,Q

3 仿真結(jié)果及分析

仿真實驗1 設(shè)置兩個相干信源的DOA分別為-30°和20.6°，信噪比為0 dB。圖1為本文算法、MUSIC算法、m-CAPON算法以及加權(quán)SL0算法的譜估計圖，其中，快拍數(shù)J=50。由圖1可知，本文算法在真實目標(biāo)角度處存在較尖的譜峰，因此本文方法能有效實現(xiàn)相干信源的DOA估計，而其他算法均無法估計相干信源的DOA。

圖1 各種算法的DOA估計譜圖

仿真實驗2 圖2為各種算法的均方根誤差與信噪比的變化關(guān)系，其中，CRB[16]是DOA估計方法有效性能的一種評價標(biāo)準(zhǔn)，是任何無偏方向估計方差的下界。設(shè)置兩個相干信源的DOA分別為-30°和20.6°，令信噪比由-5～20 dB變化，進(jìn)行200次蒙特卡羅實驗，快拍數(shù)J=300。由圖2可知，本文算法通過協(xié)方差匹配技術(shù)把相干信源的協(xié)方差矩陣的秩進(jìn)行了恢復(fù)，達(dá)到了解相干的目的，因此其DOA估計精度明顯高于其他算法，且其估計性能最為接近CRB。

圖2 各種算法的DOA估計均方根誤差與信噪比的變化關(guān)系

仿真實驗3 圖3為各種算法的均方根誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系。設(shè)置兩個相干信源的DOA分別為-30°和20.6°，信噪比為5 dB，進(jìn)行200次蒙特卡羅實驗，快拍數(shù)J由50～350變化。由圖3可知，隨著快拍數(shù)的增加各算法的DOA估計精度均有不同程度的提高，而本文算法的DOA估計性能始終保持最優(yōu)，表明其具有良好的相干信號處理能力。

圖3 各種算法的DOA估計均方根誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系

4 結(jié)束語

在相干信源的條件下，MIMO雷達(dá)協(xié)方差矩陣的秩將退化，即信號子空間的維數(shù)少于信源數(shù)目，使得稀疏重構(gòu)模型失配以及加權(quán)向量計算失效，從而導(dǎo)致加權(quán)SL0算法的DOA估計性能惡化。本文提出了一種基于協(xié)方差匹配SL0算法的MIMO雷達(dá)DOA估計方法，該方法通過協(xié)方差匹配技術(shù)估計出新的滿秩協(xié)方差矩陣，達(dá)到了解相干的目的，同時不再采用特征值分解而采用協(xié)方差逆矩陣的高階冪構(gòu)造加權(quán)向量。仿真分析表明，本文算法可以有效地解決MIMO雷達(dá)相干信源的DOA估計問題。