地下鐵道方向本科生有限單元法授課方式探討

金浩 周順華 楊新文

[摘 要]針對地下鐵道方向本科生有限單元法的教學問題，筆者根據國內外工作學習經歷及教學經驗，對比同濟大學和科羅拉多大學博爾德分校（美國）等高校的教學方式，提出了可供借鑒的授課方式：（1）板書融合多媒體（PPT）教學，經濟條件允許下，亦可采用大型觸摸屏進行教學;（2）小組模式，包括小組學習、小組討論及小組復習，充分調動學生學習積極性及利用學生課余時間;（3）現場教學，讓學生能切身感受有限單元法模擬的實物，更好地理解有限單元的計算原理。

[關鍵詞]鐵道工程;本科生;有限單元法;授課方式

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）02-0051-03

1960年，Clough在平面彈性論文中首次采用“有限元法”這一名稱。隨著個人計算機及超級計算機處理能力的逐年提高，有限單元法能夠解決的問題越來越廣、越來越復雜，其已然是工程界使用最為廣泛的數值計算方法之一。如：采用有限單元法對軌道結構進行建模，并耦合車輛多剛體模型，計算車輛運行下軌道的動力加速度等，對軌道減振措施等進行性能評估[1]。諸如此類復雜工程問題，過去往往采用子結構法配合工程經驗，現如今則可以進行基于系統的計算。因此，有限單元法在地下鐵道方向處于越來越重要的地位。

教育的根本目的是為國家培養各行業所需的人才[2]。因此，有限單元法教學成為工科大學的重要課程之一，但主要以研究生為主。根據行業需求等綜合考慮，同濟大學交通運輸工程學院城市軌道與鐵道工程系在大三設置了有限單元法選修課。

針對地下鐵道方向本科生有限單元法授課存在的諸多問題（學生力學基礎要求高，授課內容須緊密結合工程等），筆者通過近幾年的授課實踐，對地下鐵道方向本科生有限單元法的授課方式進行了探討。

一、課程特點

（一）前續課程難

本科階段進行有限單元法的授課，與研究生階段授課不同。本科階段在大三學習力學，主要為理論力學、材料力學和結構力學。在有限單元法內容講解前，必須安排彈性力學基本知識的講授。否則，學生無法真正理解有限單元法的內涵。

（二）授課內容廣

有限單元法是一種用于解決實際工程問題的數值計算方法。因此，其可應用于各工程領域，包含內容眾多，從物理場的角度，可以分單物理場問題和多物理場耦合問題;從研究對象角度，可以分為固體力學問題和流體力學問題;從荷載角度，可以分為靜力學問題和動力學問題。總之，有限單元法能夠涉及各方面問題，能夠講授的知識點眾多。

（三）綜合性強

有限單元法是常規計算方法的補充和升華。因此，對于有限單元法的應用，學生不僅需要掌握有限單元法理論，更需要對工程問題進行理解及對常規計算方法進行掌握。通過幾種知識的互相驗證，才能真正解決特定工程問題，否則，容易出現“輸入垃圾、輸出垃圾”的窘境。

二、培養目標

通過學習有限單元法，希望畢業的本科生能夠達到如下層次：

（1）對于本科畢業進入工作崗位的學生，能夠利用學習的有限單元法基本理論及有限元軟件操作技巧，對工程問題進行數值分析。筆者通過不同途徑，接觸過不少設計院的工程師，他們在使用商業有限元軟件進行工程問題分析時，僅僅知道軟件的操作（如同游戲操作），而不知道其所以然，因此在碰到有限元軟件計算錯誤或無法計算時，往往只能束手無策，無法找到錯誤原因。

（2）為繼續讀研的學生在研究生階段進一步學習非線性有限單元法進行鋪墊。

三、授課內容

本課程的授課內容包括三部分，彼此層層遞進，力爭使得學生能夠掌握有限元法基本理論，具有解決地下鐵道工程一般問題的能力，如圖1所示。

第一部分為彈性力學基本理論。主要內容：（1）平面問題基本理論，包括平衡微分方程、幾何方程、物理方程;（2）空間問題基本理論，與平面問題基本理論類似，主要對三大方程進行推導和講解;（3）能量原理。

第二部分為常用有限單元及其在地下鐵道工程中的應用。主要內容：（1）桿、梁結構的有限元分析，包括桿、梁單元推導和典型工程案例;（2）平面問題的有限元分析，包括3節點三角形單元、4節點矩形單元和典型工程案例;（3）空間問題的有限元分析，包括4節點四面體單元、8節點長方體單元、參數單元和典型工程案例。

第三部分為地下鐵道工程復雜問題求解。這部分內容為能力提升部分，主要內容：（1）車輛-軌道耦合動力計算，重點為采用有限單元法對軌道結構進行建模;（2）盾構隧道結構內力及變形計算，重點為采用實體單元對盾構隧道結構進行建模;（3）車站受力計算。

四、授課方式

（一）板書融合多媒體

筆者曾經在北京交通大學、奧地利因斯布魯克大學、紹興文理學院、美國科羅拉多大學博爾德分校以及同濟大學學習和工作過，深感板書和多媒體在工科高等教育中發揮著重要作用。能否合理使用二者，協調二者之間的關系，直接影響到最終的教學質量。

傳統板書最大劣勢就是無法動態展示，因此近年來有慢慢弱化的趨勢。但是，板書也有其不可取代的優勢。板書往往是教材的提煉和概括，具有區分層次、梳理思路的作用，能夠建立學生的認知系統，能夠引導學生的學習思路，培養學生的邏輯思維能力。另外，板書有利于學生做筆記，甚至是“強迫”做筆記，有利于學生集中精力。因此，板書具有避免出現學生“坐課堂”的作用[3-4]。

相比于傳統板書，現代多媒體技術的引用，使得課堂更加的生動[5]。尤其對于一些用文字和語言無法準確傳達的工程問題，現代多媒體技術不可不說是完美的教學手段[6]。因此，多媒體教學能夠加深學生對工程問題的理解。同時，多媒體教學方式能夠增加教學信息量，對于課程內容特別豐富的課程，可以提高課堂教學效率[7]。

對于地下鐵道方向有限單元的授課，應該將板書與多媒體二者有機結合起來。對于彈性力學基本理論的授課，可以采用板書的形式，如果采用多媒體（PPT），就會讓學生“丈二和尚摸不著頭腦”。因為，PPT所帶來的信息量遠遠大于傳統板書。授課老師往往會形成“翻頁”模式，忽略學生能否跟上這一問題。

有限單元內容的授課，尤其是案例的授課。應該結合多媒體，將一些工程問題體現出來。如筆者首先會用PPT介紹工程背景（照片或者視頻），抽象出我們需要研究的力學問題。而后，采用有限單元進行計算求解。

有限單元法授課場景

筆者2016年在美國科羅拉多大學博爾德分校工作時，旁聽了有限單元法這一課程。筆者認為，他們采用大型觸摸屏的授課方式，是對傳統板書和多媒體（PPT）的有機結合，如圖2所示。采用觸摸屏的形式，既可以在白屏上書寫，推導公式，又可以進行多媒體的播放。因此，在經濟條件允許下，推薦使用該教學方式。

（二）小組模式

有限單元法的學習，后續進入提升（有限單元及其在地下鐵道工程中的應用、地下鐵道工程復雜問題求解）階段，宜采用小組學習、討論、復習的模式。小組模式包括：

（1）小組學習。通過小組學習的方式，首先能夠培養學生的合作精神。根據筆者近幾年的教學，發現大部分本科生為獨生子女，普遍存在溝通能力弱的現象。因此，通過小組學習，可以充分培養學生的團隊精神。另外，能夠充分利用學生們的課余時間。目前，通識教育所占比重越來越大，專業課所占的學分和學時普遍被壓縮，很多課程都存在課時不夠用的現象。因此，如何調動學生的課余時間，對于廣大教師來說，是一個突出的課題。通過小組學習，可以使學生們在課余時間完成部分知識的自主學習，從而達到課程教學的目的。

（2）小組討論。在學習完有限單元法基礎理論知識后，學生在許多問題上形成了自己的一套看法，具備了一定的反思能力。此時，針對特定的工程問題，可以采用小組討論的模式，讓學生們自由發言，抒發自己的看法，教師僅起到“糾偏”作用。小組討論能夠培養學生的能動性，有利于提高學生的邏輯思維能力，能夠更好地鞏固所學知識。

（3）小組復習。小組復習和小組學習相輔相成，并結合小組討論，形成閉環。學生的學習分課前、課中、課后三個時間段。在前兩個時間段基礎上，采用小組復習的模式，完成教師布置的作業，最終達到鞏固知識的作用[8]。

小組模式也有其弊端，如何真正調動課堂氣氛是難點。中國的學生普遍比較“害羞”，課堂討論氛圍不如國外高校，往往會發生教師“唱獨角戲”的現象，學生彼此間討論不熱烈，互相“干瞪眼”。而小組學習和復習，缺乏教師的監督，如果學生不夠自覺，則往往起不到預期的效果。

（三）現場教學

地下鐵道方向有限單元法的教學，和一般有限單元法教學不同。為使學生能夠更好地利用有限單元法解決地下鐵道工程問題，在多媒體無法準確傳達問題，無法讓學生理解問題的核心時，現場教學是最好的方式，如同學生實習所起到的作用[9]?，F場教學能夠讓學生看到、摸到實物，能夠更好地理解如何對工程問題進行抽象（簡化），并利用有限單元法進行求解。

案例：筆者在進行第三部分（地下鐵道工程復雜問題求解）教學時，采用現場教學的方式，進行盾構隧道結構內力及變形計算的講解。近幾年，筆者所講授的有限單元法課程，學生一般為30人左右，可以將其分為5～6個小組，每個小組5～6人?，F場教學不適宜采用大班形式，因為無法照顧到每一個學生。同時，如果學生眾多，也不能真正看到、摸到、體會到實物。小組人數可以根據授課教師自身時間及授課內容進行調整。如圖3所示，筆者利用盾構隧道結構試驗室的真實管片，向學生講解管片結構的知識，包括管片的幾何尺寸、管片的零部件、管片的用途，針對管片的有限單元法建模，現場講解其難點。管片結構復雜，管片和管片直接通過平頭或者凹凸榫接觸，另外通過螺栓進行聯結，如果要真實還原管片的各細部結構，不但建模較難，更主要是收斂困難，無法得到計算結果。因此，需要對管片結構進行簡化。如何進行簡化？比如在有限元模型里，不設置凹凸榫。又比如在有限元模型里，簡化螺栓孔以及螺栓，采用同等力學性能的非線性彈簧進行模擬。這些，都可以通過現場教學的方式，讓學生從感官角度，更加深入的理解數值模型進行的簡化。

現場教學的弊端[10]亦顯而易見，最主要是需要任課教師花費自己的時間。另外，不管是在實驗室還是真正進入工地現場，都需要一定的條件。因此，現場教學可以根據所在單位實際情況采用。

五. 結語

筆者根據國內外工作學習經歷及教學經驗，對比同濟大學和美國科羅拉多大學博爾德分校等高校的教學方式，提出了地下鐵道方向本科生有限單元法的授課方式：（1）板書融合多媒體（PPT）教學，經濟條件允許下，亦可采用大型觸摸屏進行教學;（2）小組模式;（3）現場教學。三種教學方式配套，可為同類型課程提供借鑒。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 金浩，劉維寧，周順華. 板下減振墊對橡膠浮置板軌道減振性能的影響[J]. 鐵道科學與工程學報，2016（2）： 245-249.

[2] 周順華，金浩，肖軍華.論“一帶一路”新形勢下我國的鐵道工程教育——以同濟大學為例[J].大學教育，2018（3）：21-24.

[3] 權威，馬春龍，柳在華.關于改進高校課堂教學的幾點思考[J].現代教育科學，2010（1）：29，41.

[4] 崔杰.高校多媒體與板書的關系[J].教育教學論壇，2015（28）：234-235.

[5] 王建祥，葛倚汀.多媒體與板書相結合的工程力學課程教學實踐[J].實驗科學與技術，2018（1）：57-60.

[6] 吳雙群，趙丹平.高校課程中多媒體教學手段的合理使用[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2012（5）：133-135.

[7] 梁智平.高校多媒體教學與板書教學關系的辨證思考[J].湖南工程學院學報（社會科學版），2011（1）：116-119.

[8] 羅斌.高校無領導小組討論教學法探究[J].吉首大學學報（社會科學版），2009（6）：166-169.

[9] 印大秋，孫長嵩.高校實習質量保證體系的探討[J].黑龍江高教研究，2002（2）：115-116.

[10] 郭嘉.高校小組討論式教學中應注意的細節[J].繼續教育研究，2007（2）：128-131.

[責任編輯：鐘 嵐]