解析幾何誕生的意義

摘 要：17世紀笛卡兒和費馬通過把坐標系引入幾何中，將幾何的“形”與代數的“數”對應起來，從而將幾何問題轉化為代數問題。解析幾何學的誕生在數學史上具有非常重要的意義，它為微積分奠定了基礎，使一些命題證明變得簡單，同時，它還促進了幾何圖形在生活中的應用。

關鍵詞：解析幾何；數學發展；定理證明；圖形應用

一、 引言

解析幾何誕生于17世紀的法國，數學家笛卡兒和費馬通過把坐標系引入幾何中，將幾何的基本元素——點，與代數的基本研究對象——數對應起來，從而將幾何問題轉化為代數問題。解析幾何學的產生可以說是數學發展史上的一次飛躍。它為17世紀數學最重要的成就之一——微積分的創立奠定了基礎；解析幾何把變量引入數學，因此完成或者簡化了其他學科中一些定理的證明；同時，通過對圖形方程的建立和研究將幾何圖形更好的應用到我們的生活中。

二、 解析幾何學的誕生是數學發展的需要

公元前146年，羅馬人征服了希臘本土。公元前47年，凱撒縱火焚毀停泊在亞歷山大港的埃及船隊，大火延及該城，并無情地將圖書館兩個半世紀以來收集的藏書毀于一炬。羅馬統治者推崇的基督教的傳播，迅速地以強烈的宗教狂熱淹沒了豐富的科學想象，使希臘數學蒙受了更大的災難。查封學園，禁止學習研究數學，使歐洲數學進入了漫長的黑暗時期。15世紀，隨著拜占庭帝國的瓦解，難民們帶著包括古希臘文化在內的財富逃亡到意大利，從15世紀中期到16世紀末，這段時期在歐洲稱為文藝復興時期。在這一時期，歐洲開始出現了思想大解放、生產大發展、社會大進步，包括數學在內的科學文化開始復蘇并繁榮起來。到17世紀，從封建社會內部產生出來的資本主義生產關系，處于它的上升時期，促進了社會生產力的迅速發展，遠洋航行、礦山開采、機械制造以及資本的對外擴張，向自然科學提出了大量的問題，例如天體運行、鐘表擺動、炮彈彈道、透鏡形狀等，所有這些，都已超出歐幾里得幾何學的范圍。費馬和笛卡兒創立的解析幾何學解決了以上問題，解析幾何是代數與幾何相結合的產物，通過把坐標系引入幾何中，將幾何的“形”與代數的“數”對應起來，從而將幾何問題轉化為代數問題，它把變量引入數學，使得人們借助數學對運動變化規律進行定量分析成為可能。美國著名數學史家莫里斯·克萊茵指出：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”17世紀上半葉，數學家們已經積累了微積分的大量知識和方法，解析幾何的出現為微積分的創立奠定了基礎。正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數；有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。”

三、 向量運算簡化了定理的證明

在解析幾何中，我們可以通過構造向量完成一些定理的證明，或者簡化一些定理證明過程。

利用空間解析幾何中的數量積、向量積以及混合積運算，對一個向量與三個不共面向量的分解式進行混合積運算，之后在空間右手直角坐標系下應用混合積的坐標表示，代入四個向量的坐標以后可以證明線性代數中解線性方程組的重要定理——克萊姆法則。

通過數量積的定義和空間直角坐標系下數量積的坐標表示式可以證明數學分析中的重要不等式——柯西—施瓦茨不等式；還可以利用雙重向量積的計算公式證明數學分析中的兩個重要等式——拉格朗日恒等式和雅可比恒等式。

在三角形中構造向量以后，可以運用數量積的定義和運算律證明三角學中的余弦定理，還可以利用向量積模的定義證明三角學中的另一定理——正弦定理。

通過構造向量還可以證明歐式幾何的一些重要定理，例如三角形中位線定理、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形、平行四邊形對角線平方和等于它各邊的平方和……

四、 方程的建立促進了幾何圖形的應用

幾何圖形在生活中有著廣泛應用，很多的幾何圖形都被用在建筑中。解析幾何通過引進坐標系，建立方程與圖形的關系，對于方程，可以根據滿足方程的點的特征性質作出圖形；對于幾何圖形，可以根據圖形上點的特征性質構建方程，再通過方程進一步討論圖形的其他性質，最終將圖形用到我們的生活尤其是一些建筑中。例如位于廣東省廣州市越秀區二沙島的星海音樂廳（圖1），它是以人民音樂家冼星海的名字命名的，其屋頂設計采用的是解析幾何中的雙曲拋物面（馬鞍面）。在空間解析幾何中雙曲拋物面是由所在平面互相垂直，有公共頂點和軸，開口方向相反的兩條拋物線，其中的一條拋物線平行于自己且使頂點在另一條拋物線上滑動生成的，空間解析幾何討論了雙曲拋物面的方程及其構成，還討論了它的直母線，由此知道雙曲拋物面是由直線構成的，因此可以將其運用到建筑中。

還有位于中國廣州市海珠區（藝洲島）赤崗塔附近的廣州電視塔（昵稱小蠻腰），該圖形在解析幾何上被叫做單葉雙曲面，由空間解析幾何中對單葉雙曲面方程的探討知道單葉雙曲面同樣存在直母線，它也可以看成是由直線構成的。

類似這樣的幾何圖形在建筑中的應用還有很多，它們中的絕大多數都是通過解析幾何中對方程的探討，了解其構成以后才能進一步運用到建筑中的。

五、 結束語

解析幾何的誕生在數學史上具有重要意義，它使得代數與幾何結合在一起，加快了數學發展的步伐，使我們的近代數學越來越完善，同時也促進了數學在生活的廣泛應用。

參考文獻：

[1]朱家生.數學史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011（5）：99.

[2]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006（5）.

作者簡介：江獻，云南省曲靖市，曲靖師范學院教師教育學院。