淺談動力剛度法的歷史和發展

(重慶交通大學 重慶 400074)

一、動力剛度法的歷史

動力剛度法是一種適宜于計算機分析的精確計算方法，該方法是將結構看作無限自由度體系，最初是通過經典力學自由振動控制微分方程來推導出精確的單元動力剛度矩陣(需提前給定一個試探頻率)，然后再按照與靜力剛度矩陣類似的方法拼裝成整體動力剛度矩陣，在這個步驟中其實與結構動力學教材中的動力直接剛度法類似，而此時的剛度矩陣中的剛度系數是試探頻率的超越函數，這樣的問題無法像有限元一樣采用子空間迭代法或者Lanczos法求解。但是通過Wittrick-Williams算法就可以求解廣義特征值問題。Wittrick-Wiliams算法是動力剛度法精確求解結構自由振動問題的核心算法(以下簡稱W-W算法)，它利用Sturm序列的性質和Rayleigh約束定理(也叫特征值隔離定理)，在1970年由Wittrick和Williams提出的Wittrick-Williams算法[1～2]，提出之后很快就被應用于桿系結構的振動分析[3～5]和穩定分析[6～7]，后來胡海昌[8]給出了更富于技巧性的簡潔證明方法，把約束系統推廣到了更一般的場合。該方法可以將特征值收斂到一個極小的區間之中，從而得到工程師滿意的解答。由于有限元法中單元位移函數相對于振動問題是近似的，因為原本就是靜力位移函數，要進行更高階固有頻率的計算，就需要加密單元來提高精度，但是動力剛度法的位移函數是由振動控制微分方程的通解構成，相當于位移函數是“精確”的，因此無論多高階的固有頻率，都可以只使用一個單元來計算，其計算成本相比有限元法會大大減少，而且也是一種對應于此力學模型下的精確算法。

二、動力剛度法的發展

國內最早開始與Williams合作研究動力剛度法的是清華大學的袁駟團隊[8]，由于動力剛度法的振型計算方法一直滯后，缺少一個與頻率計算方法Wittrick-Williams算法相稱的高效、可靠、精確的算法。所以首先袁駟與Williams合作開發出了一種新型有效振型算法——導護型牛頓法，實現了振型的求解，而且該方法具有二階收斂性，實際上由于使用Wittrick-Williams算法后，問題從超越特征值問題轉化回了線性特征值問題了。其次，該團隊對該方法運用在不同形式結構上做出了很大的貢獻：利用動力剛度法求解了變截面桿的振動以及穩定及Sturm-Liouville問題[9]，平面曲梁面內面外自由振動[10]，薄壁桿系結構的自由振動問題[11]，以及最新發表的旋轉殼[12]，中厚圓柱殼[13]和中厚橢球殼[14]，其形成精確動力剛度矩陣的方法均是利用了剛度矩陣的性質，強制讓某個節點位移變成單位位移，而其它位移為零，利用求解精度和效率都十分出眾的常微分方程求解器COLSYS求解微分方程組邊值問題得出對應位移下的所有節點力，也就得出動力剛度矩陣相應的一列，最后拼裝成精確動力剛度矩陣。并與EEP(單元能量投影法)法凝聚格式的自適應算法和該法結合，建立了桿件動力分析的自適應求解方案、實施策略和具體算法[15]。

國內另一個比較早開始研究動力剛度法的是大連理工大學齊朝輝[16～18]，他注意到了動力剛度矩陣合同變換對角化過程中的物理意義，合同變化為對角陣之后，最后一個對角元稱之為最后的能量范數，利用能量范數的性質，將超越特征值問題轉換為常微分方程的初值問題，因此可以用很多解決常微分方程初值問題的數值方法來求解固有頻率，比如4階的Runge-Kutta法。該方法同樣高效穩定。國內還有其它學者也研究這個方法，張靜[19]將動力剛度法應用于計算受拉結構的固有頻率上，湖南大學的晏班夫將動力剛度法應用在了拉索的參數識別上[20～21]，熊學玉將動力剛度法應用在體外預應力梁的固有頻率計算上[22]。

國外為動力剛度法的研究做出重要貢獻的是倫敦城市大學(City University London)的Banerjee團隊。他們使用動力剛度法研究了各種問題，如單雙自由度彈簧元件問題[23～24]，帶剛體的問題[25]，錐形梁[26～27]和移動梁[28]的問題，以及夾層梁[29]，功能梯度梁[30]，矩形板的一般情況[31]，復合材料層合板[32]。

三、結語

動力剛度法的求解精度極高，但是由于現有的有限元程序沒有使用該方法的程序，一般研究者都是自己使用MATLAB或者Mathematica軟件編程來達到使用該法的目的。而且在面對一些帶有孔洞的特殊結構時，通用性不及有限元法。本文希望借此論文能夠讓更多的研究者了解此方法，應用此方法去研究結構的振動問題和穩定問題會更加精確。也可以嘗試將此方法應用在Levinson梁，Reddy高階梁板理論結合，為進一步用精確算法求解結構固有頻率帶來方便。