探討音樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系

王斯文

【摘要】在現(xiàn)如今社會(huì)經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展的時(shí)代下，音樂(lè)無(wú)論是在制作方面還是在作曲方面都與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)，而且在音樂(lè)當(dāng)中不止有變換、數(shù)列等數(shù)學(xué)知識(shí)在書寫音樂(lè)樂(lè)譜與制作所需樂(lè)器的過(guò)程中也存在很多數(shù)學(xué)的蹤跡。所以現(xiàn)如今開(kāi)始有越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家對(duì)音樂(lè)進(jìn)行研究分析，音樂(lè)家也不斷的在音樂(lè)中摸索數(shù)學(xué)的意義并且也都在分析音樂(lè)與數(shù)學(xué)兩者之間的關(guān)系。本文主要針對(duì)音樂(lè)與數(shù)學(xué)兩者之間的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)分析。

【關(guān)鍵詞】音樂(lè) 數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】J60-05 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）05-0211-02

在古希臘的時(shí)期里有位數(shù)學(xué)家曾意外發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與音樂(lè)兩者之間有著非常微妙的關(guān)聯(lián)，使用數(shù)學(xué)當(dāng)中的比例將音樂(lè)與數(shù)學(xué)聯(lián)系到一起并開(kāi)始使用數(shù)學(xué)對(duì)音樂(lè)進(jìn)行解釋使用音樂(lè)當(dāng)中的弦一數(shù)學(xué)計(jì)算方式計(jì)算音程當(dāng)中的度數(shù)。這位數(shù)學(xué)家還將音程分成兩種，一種是協(xié)和另一種是不協(xié)和，而且其始終都堅(jiān)持所有事物原則就是數(shù)的原則，但是這位數(shù)學(xué)家的堅(jiān)持觀點(diǎn)到現(xiàn)在為止還可以影響到對(duì)音樂(lè)的解釋。另外在音樂(lè)當(dāng)中的排列與和聲等都有著“數(shù)”的存在，也會(huì)在形象的不斷變化里進(jìn)行延伸與流動(dòng)的一種線條，由此可以得知“數(shù)”與“形”兩者的融合就是音樂(lè)的基礎(chǔ)。

一、音樂(lè)與數(shù)學(xué)在音排列中的關(guān)系

在音樂(lè)樂(lè)譜的書寫有很多種形式例如簡(jiǎn)譜、五線譜等等，在這其中的五線譜的音列就是上下兩行的音符的排列，如果將五線譜當(dāng)中的所有音符按照上下行的排列順序放到數(shù)學(xué)指定的坐標(biāo)當(dāng)中，然后把所有坐標(biāo)當(dāng)中的音符當(dāng)作點(diǎn)進(jìn)行相連就可以看到所有的音符形成了直線。如果將這條直線上的按照從右到左的順序進(jìn)行延伸，就會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)五線譜當(dāng)中音的音高會(huì)隨著順序延伸出現(xiàn)遞增或者是遞減的狀態(tài)，曾有人使用這種方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)將自己最熟悉的音樂(lè)里音符按照音高的順序與數(shù)學(xué)坐標(biāo)當(dāng)中所對(duì)應(yīng)的地方進(jìn)行相連將整個(gè)音樂(lè)的曲線繪畫出來(lái)，最終發(fā)現(xiàn)這首最熟悉的音樂(lè)與所畫出這首音樂(lè)音高的曲線形狀也異常優(yōu)美。除此之外在聲音的長(zhǎng)短時(shí)值當(dāng)中的記錄里可以發(fā)現(xiàn)，音符的具體時(shí)值與被命名的音符之間所呈現(xiàn)的是反比例，這就說(shuō)明在被命名的音符進(jìn)行不斷加大的時(shí)候音符的具體時(shí)值則會(huì)進(jìn)行不斷減小。而且音符的具體時(shí)值與被命名的音符兩者都形成各自的相等比例數(shù)列例如被命名的音符為：全、二分、四分、八分、十六分、三十二分等音符時(shí)，音符的具體時(shí)值則為：8、4、2、1/4、1/8、1/16等。在音樂(lè)當(dāng)中就是因?yàn)檫@些各不相同但是都有著緊密關(guān)系音符的組成，才可以變成現(xiàn)如今被所有人所聽(tīng)到的音樂(lè)節(jié)奏[1]。

二、音樂(lè)與數(shù)學(xué)在和聲中的關(guān)系

在音樂(lè)當(dāng)中的和聲不僅能夠完美的體現(xiàn)出音樂(lè)的聲響，還能夠很好地突出強(qiáng)調(diào)音樂(lè)和數(shù)學(xué)兩者之間存在的微妙關(guān)聯(lián)，也正是因?yàn)槿绱酥淖髑液榔盏侣艑⒁魳?lè)稱之為可以進(jìn)行流動(dòng)的建筑。在數(shù)學(xué)當(dāng)中的幾何學(xué)里最為主要的理念就是將多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行相組成線，將多條線進(jìn)行相組成面，再將多個(gè)面進(jìn)行相組最終成為種類眾多的立體形狀。在音樂(lè)當(dāng)中與之也有著異曲同工之妙，音樂(lè)是將眾多音符進(jìn)行相組成音線，將眾多音線進(jìn)行相組成各不相同的音面，最終由各不相同的音面所組成立體的構(gòu)造。但是在整個(gè)音樂(lè)的立體構(gòu)造當(dāng)中最為重要的部分就是和聲，因?yàn)樵谝魳?lè)當(dāng)中的和聲就是由幾個(gè)或者是多個(gè)音所形成最終成為和聲，而且在和聲當(dāng)中是需要將多個(gè)音進(jìn)行相連成為和音并將和音持續(xù)進(jìn)行。如果在整個(gè)和音當(dāng)中將最初的和音當(dāng)中存在的所有音當(dāng)成很多各不相同的音線開(kāi)端，然后將連續(xù)并且互不相同的和音中存在的所有音當(dāng)成各種音線之中不一樣的音點(diǎn)，這樣就可以發(fā)現(xiàn)在其中組成很多條音線。通過(guò)各不相同的音線進(jìn)行相互交叉所構(gòu)成音面，而各不相同的音面進(jìn)行相交這樣就逐漸形成了擁有立體結(jié)構(gòu)的音樂(lè)。

在所有不同的音樂(lè)作品當(dāng)中一定會(huì)產(chǎn)生出各不相同的立體結(jié)構(gòu)，正因如此才讓所有作曲家都可以擁有屬于自己的獨(dú)特創(chuàng)作風(fēng)格，但是這樣也會(huì)導(dǎo)致一位作曲家如果在同一個(gè)時(shí)間階段里所創(chuàng)作的作品所具有的立體構(gòu)造都會(huì)有大同小異的狀況，這樣就逐漸將所有音樂(lè)作曲家自身特有的音樂(lè)語(yǔ)言所產(chǎn)生出來(lái)。之前曾經(jīng)有人嘗試著把莫扎特在同一個(gè)時(shí)間階段里所創(chuàng)作的幾首交響曲全部輸進(jìn)到計(jì)算機(jī)當(dāng)中，讓計(jì)算機(jī)對(duì)所有交響曲進(jìn)行分析，然后在使用計(jì)算機(jī)根據(jù)分析得出的結(jié)果進(jìn)行模仿創(chuàng)作，最后被創(chuàng)作出來(lái)的這首交響曲在整個(gè)音樂(lè)界引起了很大的轟動(dòng)，很多的音樂(lè)家以及音樂(lè)方面的專家都相信了這件事。這是一個(gè)具有代表性的事例，但是它卻能足夠體現(xiàn)出音樂(lè)的風(fēng)格是可以進(jìn)行分類，音樂(lè)的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)之間擁有著密切的關(guān)聯(lián)。而且大約在19世紀(jì)里曾經(jīng)有位法國(guó)的著名數(shù)學(xué)家，經(jīng)過(guò)其不斷的研究分析后他提出在音樂(lè)當(dāng)中存在的樂(lè)聲無(wú)論是樂(lè)器的樂(lè)聲還是聲音的樂(lè)聲都可以使用數(shù)學(xué)當(dāng)中按照計(jì)算周期正弦當(dāng)中函數(shù)和的形式來(lái)進(jìn)行詳細(xì)的描述或者是表達(dá)。無(wú)論是樂(lè)器的樂(lè)聲還是聲音的樂(lè)聲都只有三個(gè)性質(zhì)，分別是音量、音高與音質(zhì)，但是在具體的圖形當(dāng)中可以將其清晰的體現(xiàn)出來(lái)，所體現(xiàn)的就是樂(lè)聲的音高和曲線當(dāng)中的具體頻率有著緊密的關(guān)聯(lián)，而音質(zhì)與音量則是和數(shù)學(xué)當(dāng)中按照計(jì)算周期正弦當(dāng)中函數(shù)和的形狀與振幅有著緊密的關(guān)聯(lián)[2]。

三、音樂(lè)與數(shù)學(xué)在節(jié)奏中的關(guān)系

在音樂(lè)當(dāng)中的節(jié)奏就是在三大形成音樂(lè)的要素之一，在音樂(lè)的節(jié)奏當(dāng)中也存在很多有關(guān)數(shù)學(xué)的邏輯思維。在現(xiàn)如今所創(chuàng)作的音樂(lè)當(dāng)中，音樂(lè)作曲家吸收了很多關(guān)于數(shù)學(xué)理論知識(shí)當(dāng)中的思維方式進(jìn)行音樂(lè)的作曲，這種發(fā)展方式就逐漸將以往傳統(tǒng)音樂(lè)節(jié)奏相關(guān)的記譜體系進(jìn)行很大的轉(zhuǎn)變，但這種轉(zhuǎn)變也為音樂(lè)自身所具有的表現(xiàn)能力起到很大程度的提升作用。曾經(jīng)有位法國(guó)的音樂(lè)序列家對(duì)音樂(lè)當(dāng)中的節(jié)奏進(jìn)行理論，這種理論也為很多音樂(lè)作曲家提供了一種新型的思維方法，這位法國(guó)音樂(lè)序列家根據(jù)人體、植物、動(dòng)物等大自然當(dāng)中天然就存在的東西進(jìn)行對(duì)稱最終構(gòu)建起非逆行的節(jié)奏模式，這種節(jié)奏模式不僅可以在音樂(lè)節(jié)奏的片段當(dāng)中展現(xiàn)出來(lái)，還可以在整個(gè)音樂(lè)作品當(dāng)中整體節(jié)奏的變幻當(dāng)中展現(xiàn)出來(lái)。可以挑選一首音樂(lè)當(dāng)中的節(jié)奏片段進(jìn)行觀察，如圖一所示：

這樣就可以清楚的觀察出這種音樂(lè)節(jié)奏的模式不只是將數(shù)學(xué)當(dāng)中有關(guān)于“量”的變換、增減所顯示出來(lái)，還將數(shù)學(xué)當(dāng)中有關(guān)于“形”的對(duì)稱所顯示出來(lái)，這種音樂(lè)節(jié)奏不僅將現(xiàn)如今音樂(lè)當(dāng)中所存在節(jié)奏變換為音樂(lè)自身所存在的表現(xiàn)能力進(jìn)行提升，還將音樂(lè)整個(gè)都遵守了美學(xué)當(dāng)中的原則并沒(méi)有打破這種整體的平衡，就像著名的數(shù)學(xué)家馬諾拉曾經(jīng)在研究當(dāng)中所得出的最終定論一樣：在音樂(lè)當(dāng)中存在的平衡與對(duì)稱的現(xiàn)象里都含有非常明顯的數(shù)學(xué)思維。

在二十世紀(jì)的20年代中有位在哥倫比亞大學(xué)當(dāng)中擔(dān)任音樂(lè)與數(shù)學(xué)方面的教授，他曾經(jīng)將報(bào)紙當(dāng)中挑選了一段起伏非常大的曲線繪畫在坐標(biāo)紙當(dāng)中，然后再將這條曲線當(dāng)中存在最為基本的比例與間隔變換為音樂(lè)的樂(lè)曲，最后使用音樂(lè)樂(lè)器將其演奏出來(lái)，卻在演奏當(dāng)中驚奇的發(fā)現(xiàn)這首樂(lè)曲當(dāng)中的曲調(diào)竟然異常優(yōu)美，甚至都可以與巴赫的音樂(lè)作品進(jìn)行相互比較。因此這位教授最終得出任何與音樂(lè)有關(guān)的作品都可以將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)當(dāng)中的公示進(jìn)行表達(dá)[3]。

四、音樂(lè)與數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)中的關(guān)系

在音樂(lè)當(dāng)中的結(jié)構(gòu)自身就具有非常清晰可見(jiàn)的數(shù)學(xué)方面的推理與邏輯的思維，尤其是在黃金分割0.618點(diǎn)與菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生之后，就更可以將音樂(lè)當(dāng)中的所存在的美與數(shù)學(xué)兩者之間關(guān)聯(lián)到一起。在菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)當(dāng)中具體是按照：1、1、2、3、58、13、21、34、55……的順序所進(jìn)行，在這其中最為規(guī)律的就是從第三項(xiàng)的位置開(kāi)始之后的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)所相加在一起得出的和。在數(shù)學(xué)當(dāng)中所存在的比例之間關(guān)系就是比較大面積的部分和整個(gè)整體進(jìn)行相互比較就等于比較小面積的部分與其進(jìn)行相互比較，在這其中的比例值就是0.618與黃金分割點(diǎn)相同，因此這些與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的思維都和音樂(lè)當(dāng)中的結(jié)構(gòu)有著非常緊密的關(guān)系。另外根據(jù)菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)使用到音樂(lè)當(dāng)中為大眾所體現(xiàn)出現(xiàn)的就是較為短暫的、局部的不平衡與不對(duì)稱，但是這樣卻又將音樂(lè)自身就擁有的某種表現(xiàn)與感召能力。例如在匈牙利有位著名的音樂(lè)作曲家在他的音樂(lè)作品《弦樂(lè)、打擊樂(lè)與鋼片琴音樂(lè)》當(dāng)中的第一篇樂(lè)章里，整個(gè)曲子一共擁有八十九個(gè)小節(jié)，具體是從整首音樂(lè)作品當(dāng)中高潮點(diǎn)的部位進(jìn)行劃分成一個(gè)是55小節(jié)一個(gè)是34小節(jié)，如果按照這位音樂(lè)作曲家對(duì)這首作品當(dāng)中的音色與強(qiáng)度所進(jìn)行的布局開(kāi)始觀察，可以將從作品開(kāi)始一直到高潮點(diǎn)的55小節(jié)部分進(jìn)行劃分成為21+34的小節(jié)，再將從高潮點(diǎn)開(kāi)始一直到作品結(jié)束的34小節(jié)部分進(jìn)行劃分成21+13的小節(jié)。這樣就可以非常清楚的觀察出來(lái)這些劃分出來(lái)的小節(jié)數(shù)字都和菲波那契當(dāng)中所提出的梭子有著非常驚人的相似之處，而且在音樂(lè)作品當(dāng)中對(duì)小節(jié)的劃分順序也都是按照菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)當(dāng)中所存在的規(guī)律而進(jìn)行的。

除此之外在音樂(lè)樂(lè)器的鋼琴上的鍵盤可以看出，從C鍵一直到另外一個(gè)C鍵之中所在的就是音樂(lè)音環(huán)當(dāng)中的八度，在這當(dāng)中一共可以包含鋼琴鍵盤上的13個(gè)鋼琴鍵，這13個(gè)鋼琴鍵又分為8個(gè)白色鋼琴鍵與5個(gè)黑色鋼琴鍵，這5個(gè)黑色鋼琴鍵又分為兩個(gè)小組第一組當(dāng)中存在2個(gè)黑色鋼琴鍵另一組則存在3個(gè)黑色鋼琴鍵，而這種2/3/5/8/13的數(shù)字正好與菲波那契的數(shù)列結(jié)構(gòu)當(dāng)中處于最前面的幾個(gè)數(shù)字。[4]。

綜上所述，通過(guò)以上將音樂(lè)當(dāng)中所存在的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)音樂(lè)當(dāng)中都存在數(shù)學(xué)當(dāng)中的“數(shù)”與“形”的體現(xiàn)，這種體現(xiàn)也將數(shù)學(xué)逐漸形成一種抽象藝術(shù)的體系也將數(shù)學(xué)當(dāng)中蘊(yùn)含的美進(jìn)行展現(xiàn)，例如數(shù)學(xué)當(dāng)中的邏輯美、形式美、對(duì)稱美等的存在。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)整個(gè)世界都可以使用音樂(lè)當(dāng)中的樂(lè)譜進(jìn)行組成還可以使數(shù)學(xué)當(dāng)中的公式進(jìn)行組成，所以音樂(lè)與數(shù)學(xué)兩者之間有著密不可分的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

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[4]常沁怡.音樂(lè)中的數(shù)學(xué)——淺談音樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系[J].藝術(shù)科技， 2017（6）：162.