數與形如何從建構走向融合

辯課地點：唐山市萬達小學

教學內容：人教版六年級上冊第八單元《數與形》

辯課人員：河北省名師杜曉虎工作室 杜曉虎 王東青劉冬梅 馬向葵 孫雪靜

唐山市萬達小學 魏曉晨 朱 妹

編者按：“辯課進行時”是本刊在2019年重點推出的新欄目，同時也是《河北教育》專注新課程改革實施，專注一線課堂教學的新舉措。本欄目以“課堂展示”+現場“辯課”+“專家評價”的形式呈現辯課的具體內容、研討成果和研究價值。我們將持續走進不同地區的不同學校將“辯課”進行到底。第四站，本刊編輯部走進唐山市萬達小學，實地參加由河北省名師杜曉虎工作室組織的以“數與形如何從建構走向融合”為主題的教學展示及研討活動，精心整理后，我們將相關內容呈現出來，希望能給老師們一些啟發，同時也希望聽到你們的聲音。本欄目互動郵箱：hbjy?zh01@126.com

●課堂展示1

【實錄】

一、由形想數

1.出示圖形。

師：仔細觀察這組圖形，你能用“數”或“算式”來表示在“形”中發現的規律嗎？

2.交流。

（1）1，4，9，16。

師：結合圖形，1、4、9、16這四個數表示什么意義？誰來給大家講解一下。

生：這四個數分別表示每幅圖形中包含的小正方形的數量。

（2）1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16。

生：每幅圖形橫豎都是由相同數量的小正方形組成，所以用乘法算式來表示每幅圖形中包含的小正方形的數量。

（3）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7。

生：1表示第一幅圖形里面有一個正方形；后面圖形是在前一幅圖形的基礎上，逐漸增加3、5、7個小正方形。

師：為了更清晰地表示出這種規律，我們把這些加數所對應的的小正方形用不同的顏色標識一下。

二、由數想形

師：如果我們按照剛才發現的規律繼續思考，看這個式子“1+3+5+7+9”，你會想到什么？

生：我想到“1+3+5+7+9”等于5的平方。

生：我會想到邊長為5的正方形。

師：我們思考一下，這五個加數的和等于52，同時又想到它對應著邊長是5的正方形，你有新的發現嗎？

生：加數有幾個，就等于幾的平方。

師：看見72，100，你又會想到什么？

（學生想到正方形和從1開始的連續奇數數列。）

師：看看剛才我們剛才研究的過程。

生：都是從1開始的，而且還是連續的奇數。

師：像這樣從1開始，n個連續奇數相加的和等于——

生：n的平方。

三、鞏固練習

1.請你根據剛才發現的結論算一算：1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）。

生：把這個算式分成兩部分，前面“1+3+5+7+9”等于52，后面“7+5+3+1”等于42，它們加起來就等于41。

師：再看這個，5+7+9=（ ）。

生：我可以在“5+7+9”的前面加上“1+3”，然后用52減去22就是“5+7+9”的和，等于21。

2.每幅圖最外圈各有多少個小正方形？

生：第一幅圖有8個。可以用“32-1”求出最外圈有8個小正方形。

生：第2幅圖可以用“52-32”來求，第3幅圖用“72-52”求。

師：那么不畫圖，第5幅圖最外圈有多少個小正方形？

生：有40個小正方形。按照剛才的規律，112-92=40。

生：我發現了第幾幅圖最外圈就有幾個“8”，所以第10幅圖最外圈有十個“8”，共80個小正方形。

3.出示：（a+b）×c=ac+bc。

師：乘法分配律的確可以利用長方形的面積來理解它的算理。這樣一來理解它的算理就變得直觀了。

4.出示沙漏動畫。

師：仔細觀察，你能通過三個正方形的面積關系，聯系到直角三角形三條邊的關系嗎？

生：老師，我知道——a2+b2=c2。

師：上面兩個較小的正方形的面積加起來正好等于大的正方形的面積，也就是兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方。這就是著名的勾股定理。

四、總結

師：今天我們一起對“數與形”進行了研究，通過研究我們可以感受到數與形之間的關系密切，數中有形，形中有數，彼此不可分割。像1、4、9、16、25這樣的數既是我們熟悉的“平方數”，又被古希臘的畢達哥拉斯學派稱為“正方形數”。除此之外，他們還研究過“三角形數”“五邊形數”。大家課下可以繼續研究，相信同學們能夠找到更多的規律。

●課堂展示2

【說課】

一、教學分析

把數與形結合起來可使復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。

本課通過數形結合，讓學生探索從1開始的連續奇數之和與平方數（即正方形數）之間的關系。在學生發現規律后，讓學生應用規律解決問題。在解決實際問題的過程中，體會數與形之間的密切聯系，感受數學知識的奧妙，激發學習數學的興趣。

二、教學過程

（一）知識鏈接，感悟思想。

1.直面課題，回憶舊知。

師生通過對話對以往數與形的知識進行簡單回顧。

2.揭示課題，體會魅力。

師：數形結合解決問題的例子還有很多，它能使問題更形象、更直觀。再次走進數與形，體會數形結合的魅力。

設計意圖：課前通過談話喚起學生對數與形的感知，明確學習內容，感受數形結合的魅力。

（二）探索規律，深化思想。

1.快速計算，尋找規律。

出示算式1+3、1+3+5、1+3+5+7，學生計算并觀察算式中加數及結果的特點。

引導學生根據發現的規律列出算式并計算。

2.引“形”解題，體會結合。

從數的角度分析了數與式之間的關系，不妨換個角度，借助圖形再來研究它們的關系：看到“4、9、16…”或“22、32、42…”能想到什么圖形，為什么？在此從學生的已有知識經驗出發，引導學生由平方數想到正方形，初步體會以形解數，感悟數形結合。

看到“4、9、16…”或“22、32、42…”能想到正方形，1+3、1+3+5、1+3+5+7……這樣的算式是否也有與之相對應的正方形呢？

學生組內交流想法，獨立完成畫圖。交流中引導學生發現1個小正方形、3個小正方形、5個小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大正方形，通過圖形的規律理解“平方數”和“正方形數”的含義。

3.思維碰撞，發現規律。

通過對數的分析和形的理解，能否很快計算這樣連續奇數相加的結果？再次計算“1+3+5+7+9+11”；如果是“1+3+5+7+9+11+13+15+17+19”呢？只是72，你又能想到哪個算式？什么圖形？

“你們的計算越來越快，是發現了什么規律嗎？”引導學生逐步總結出“從1開始，幾個連續奇數相加，和就是幾的平方”。

設計意圖：在題型的模仿、類型的強化中，學生漸漸明晰數的規律并嘗試用自己的語言總結規律。在思考與解決問題中體會數與形這種完美的結合，體驗成功的喜悅。

4.運用規律，思維強化。

出示“1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1”，學生計算引發爭議，在計算與圖形的直觀演示中，再次深化對“從1開始，幾個連續奇數相加，和就是幾的平方”這一規律的理解。

設計意圖：通過解決問題讓學生體會數的問題也可以用形來幫助解決，形的問題中包含數的規律，通過數與形的對應關系，互相印證。

（三）解決問題，提升思想。

出示課件，觀察圓點的排列規律并計算圖中圓點的數量。

思考：如果按照這樣的規律，排到第10行共有多少個圓點呢？學生討論計算方法。

師：我們能不能再利用圖形，找到簡便的算法呢？

師生交流，借助平行四邊形和梯形的面積計算公式，探索求連續自然數和的計算方法，從而體會圖形問題蘊藏著有趣的數的規律。

設計意圖：通過幾個層次的練習，引導學生解決問題，體會數形結合的規律，培養學生的抽象思維能力。

（四）回顧整理，探究拓展。

帶領學生認識三角形數和正方形數，領略五邊形數、六邊形數及多面體數的神奇，為學生擴大探究的領域，發展數學思維，提高分析問題、解決問題的能力。

●辯課進行時

【現場】

杜曉虎（河北省名師工作室主持人）：數學教學的重要任務是提升學生的數學素養，促進學生思維的深度發展，數形結合思想是學生思維發展的重要載體。數與形是數學中兩個最古老、最基本的學習元素，它們在一定條件下，可以相互轉化。由數思形、見形想數，數形結合考慮問題是一種常用的思想方法。今天我們就結合兩節《數與形》談談如何讓數與形從建構走向融合。

話題一：數形結合既能培養學生的形象思維能力，又能促進邏輯思維能力的發展。數與形的教學我們應該從幾方面去建立數與形之間的連接，讓學生的思維動起來？

王東青：讓學生思維動起來要促使學生產生內在的學習需要，即激趣。

內在學習需要的建立，要讓學習內容立足于整個小學數學教材體系，學生感覺熟悉親切。孫老師有意識在引入環節設計了退位減法、韋恩圖、分數、植樹問題等數形結合的展示，幫助學生回憶相關內容；馬老師則是在課后用面積模型幫助學生理解乘法分配律，并延伸到勾股定理。這種梳理，立足教材整體建構知識體系，對激發學生的興趣大有裨益。

內在學習需要的建立，還要有意識地創設能夠激發學生認知沖突的學習活動。教學要讓學生在研究、爭論、質疑中展開。這兩節課都注意到了這一點，學生在研究、討論的過程中逐漸逼近數形結合問題的本質。教師引導學生交流時，又引導學生想象數和算式表示的形是什么，學生不僅發現形的面積表達方式有多種，而且感受到形的面積與數、算式的緊密聯系。基于此，教師接下來有意識地引導學生寫算式，通過算式和數想象圖形，從“形中藏數”到“數中找形”，巧妙地建構起數形之間的聯系。

劉冬梅：我同意東青的觀點。馬老師的課堂上，激發學生的興趣這一點做得很好。尊重學生已有經驗和認知規律，直接以“數”示眾，強化認知對比，放手讓學生自主探究規律。形與數的思維切換，極大地激發了學生的學習興趣，這有利于發展學生的想象力、思維力、合作力與創造力。學生興致盎然，完全融入“數形結合”的思維挑戰中。

馬向葵：促進學生思維動起來，我覺得還要尊重學生的主體地位。孫雪靜老師在整個課堂教學中，逐步引導學生發現“數”中的規律、學會學習、懂得思考問題的方法，激發了學生學習數學的參與熱情，并體會到了數與形的密切聯系，真正促進了學生思維的發展。

孫雪靜：我也能從馬老師的課上發現這一點。他借助正方形圖，以形助數，發現規律，讓學生親歷了從“形”到“數”的過程，并直觀地發現“形”與“數”的關系。學生在交流中不斷進行思維的碰撞，理解規律，總結規律，并應用規律解決問題。正是因為這樣的思維碰撞，學生學會了數形結合的解題方法，體會和掌握了數形結合的數學思想。

朱妹：讓學生思維動起來，也離不開教師嚴謹的教學。在教學時，馬老師引導學生思考：“1+3+5+7”下一個應該加幾？學生很快答出“1+3+5+7+9”。馬老師又引導學生“你會想到什么”，學生聯系第四幅圖，推斷出“1+3+5+7+9”就是第五幅圖，即邊長為5的正方形。以此類推，學生在形中發現了數的規律，又用數的規律印證了形的奧秘，構建與融合相互交織，最終學生發現了“從1開始，幾個連續奇數相加，和就是幾的平方”的規律。

話題二：核心素養背景下，倡導深度備課，能夠以系統化的思維把握知識本質。數與形部分如何深度備課才能激活學生的思維，體現數形結合的思想價值？

王東青：深度備課要研讀課標。數形結合是一種數學思想方法，這離不開觀察、數學思考和推理歸納，因此需要聚焦在數形之間的轉化，讓學生通過以形想數、由數到形的過程來明晰這一思想方法。馬老師先是通過觀察讓學生發現“形中藏數”，接下來通過想象和驗證發現“數中有形”，二者巧妙融合，促使學生不斷地思考、探究、推理、歸納；孫老師則是引導學生由數構造形，體驗形的助力作用，接著又從形回歸到數，感受數形融合的價值，數形在相攜相行的過程中，學生知其然也知其所以然，親歷知識形成過程，促使學生的思維動起來。

馬向葵：我覺得深度備課要清晰小學階段的數形結合思想內容。我在備課時，發現小學階段的數與形思想細分為三方面：一是體會形是抽象數量關系的可視化，幫助理解數和算式，進而為直觀地解決數學問題提供思路和方向，甚至可以直接看出結論；二是體會形也離不開數和算式，借助具體的運算進行判斷并得出結論；三是在解決問題的過程中自覺運用數形結合方法，體會作為問題解決策略的數形結合的益處。簡言之，既凸顯“形幫數”，也能感受“數助形”。

孫雪靜：深度備課還要理清小學階段“數與形”在各個年級及不同版本教材中滲透的點，能幫助教師找準生長點，抓住發展點，為學生后續學習積累活動經驗。小學中滲透的數形結合思想方法，首先體現在根據數學問題中數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規律來分析解決問題，化抽象為直觀，易于發現問題的內在聯系。

劉冬梅：另外，還要注重橫向教材的對比，豐富備課的認知。兩節課對三角形數、平行四邊形數的拓展都借鑒了其他版本的教材內容。

朱妹：我認為馬老師善于引導學生從不同角度發現數形結合的規律，這也是深度備課才能實現的。

話題三：數形結合思想對小學生而言，在之前的學習中都有應用，但這種應用只是滲透在某個教學環節中。那么，在教學中如何讓數與形從逐步建構走向深度融合？

劉冬梅：孫老師的課堂上，當學生對于加數的結構規律初建模型之后，再次將思維拔節——換個角度由數思形。“看到22，32......你想到了什么圖形？畫在方格圖上。”在學生的動手操作中對數的思考再上新高——平方即面積。而學生繪制的圖形也是精彩紛呈：有用數方格形式呈現的，有用面積“2×2”“3×3”表示大正方形的，有用依次疊加分層描繪“1+3+5+7”的……就在幾分鐘的操作中，學生卻創造出了不同思維角度的作品，將抽象的數學語言變為了直觀圖形，將“數”形象化，使抽象思維演繹成了形象思維，規律顯而易見。

可見，在知識的建構過程中，數與形的不斷積累，并不是知識的簡單疊加或量變，而應是對知識的突破、深化、超越或質變。

王東青：見形思數，使“數”直觀化。馬老師用“三次思考”給我們進行了示范。課伊始，出示一組圖形：“你能用“數”或“算式”來表示在“形”中發現的規律嗎？”學生興致盎然，完全融入“數形結合”的思維挑戰中。此為學生“一思”。練習中，馬老師追問：“在‘1+3+5+7’后再加，你會加幾？你會想到什么圖形？那7的平方表示哪些數相加呢？又想到什么圖形？那100呢？”學生由問題見數想形，引發逆向思維的深入思考。抽象思維與數形結合融合運用，相互轉化，此為學生“二思”。最后的鞏固練和拓展練，由數的運算到最外圍正方形個數的問題解決，再到勾股定理的簡單滲透，無不彰顯著數與形分析的密不可分。借助幾何直觀，讓抽象邏輯更具模型，此為學生“三思”。

在新知的生成與發展過程中，馬老師準確把握滲透數形結合思想的時機，以問題引導學生觀察、思考、驗證，讓學生深刻經歷著數與形從建構走向融合的過程。

馬向葵：六年級的《數與形》這堂課就是讓數形結合思想從幕后走到臺前。但數與形的融合并不是一節課就能實現的，前面的建構是基礎，這節課幫學生建立一種意識，積累了數形相融的活動經驗，期待學生看到“數”會想到“形”，看到“形”能夠去思考對應的“數”，發展運用數形結合的思想方法去解決問題的能力。

孫雪靜：對，之前數形結合思想在很多內容中都有滲透。比如說分數算理的分析中的應用、在應用題分析中畫圖方法的應用、在立體幾何中的應用、在函數問題中的應用等等，都是我們幫助學生從建構走向融合的素材，我們要重視起來，并指導學生加以應用。

●專家點評

抓本質 促融合

杜曉虎

本次辯課活動，工作室選取了《數與形》作為研究內容，我們想與更多的教師探討：數與形如何從建構走向融合。數形結合思想在集合問題、方程、不等式、數列等很多問題中都有著廣泛而有實效的運用。見形思數，見數想形，以形助數，實質就是以數化形、以形變數的結合。本次辯課活動，馬向葵老師和孫雪靜老師執教的是人教版六年級上冊數學廣角《數與形》的例題1，本例題旨在揭示數與形的內在聯系，培養學生幾何直觀的意識和能力。

1.數形結合，起點在哪里？

兩位教師在深刻理解教材的基礎上，采用了兩種策略：馬老師由圖形入手，讓學生觀察圖形，用數或算式表達形中發現的規律；孫老師從算式入手，在學生充分觀察算式及運算結果的基礎上，思考如何與圖形建立聯系。

馬老師的設計相對貼近教材，整個教學主要包括三個環節。孫老師從算式和運算結果的規律入手，引導學生用圖形表達所發現的數的規律，滲透了構造思想。

2.數形結合，過程如何做？

馬老師的課堂——

引入環節：上課伊始，讓學生讀課題，思考課題中的數和形分別指什么。開門見山，以談話式引入，直奔主題，尊重學生的已有認知，用自己的思考來解讀題目中的字義，簡明扼要。

新授環節組織了兩項數學活動：“由形想數”和“由數想形”。

a.由形想數。

出示一組圖形，提出問題：“仔細觀察這組圖形，你能用數或算式來表示在形中發現的規律嗎？”讓學生從形入手，展開聯想，理解同一事物可以有多種刻畫方式。研究過程凸顯以生為本，關注學生的學習過程，體現了學生在課堂上的主體地位。教學過程層層遞進，逐步展開，引導學生關注形與數兩者之間的聯系。馬老師在此環節充分利用多媒體輔助教學，利用課件將不同顏色的小正方形拼組，幫助學生發現形的變化規律，借助形來直觀感受與數之間的關系，體會形與數能夠相互解釋，并能借助形解決一些與數有關的問題，突破本課數形結合的難點。

b.由數想形。

通過第一個環節的研究，學生已初步感受到正方形與“從1開始的連續奇數的和”有關，而這樣的數列和恰好是一個完全平方數，初步建立了平方數、“從1開始的奇數數列的和”及正方形的聯系。這一環節，教師引導學生轉換思考角度，提升思維深度：如果給出算式，能否聯想到數和形？如果給出數，能否聯想到算式和形？從而建立三者之間的聯系。由淺入深，引發學生不斷地思考，學生樂此不疲。教師語言樸實精煉，清晰、直觀地引導學生不斷發現規律，感受歸納推理的探尋過程，從多個角度體會數與形的關系。

孫老師的課堂——

新授部分分為兩個環節：

a.快速計算、尋找規律。

教師出示教材上的“1+3，1+3+5，1+3+5+7，…”，讓學生計算，并發現計算的規律。

b.引“形”解題、數形結合：在發現運算規律的基礎上，引導學生換角度看問題，提出“看到‘4、9、16…’或‘22、32、42…’能想到什么圖形”的要求，充分尊重學生的已有知識經驗，培養學生思維能力，滲透構造思想。

3.數形結合，如何真正融合？

學習的過程就是融合的過程，鞏固練習環節呈現了學習效果。當然，數形融合不是一節課就可以實現的目標，但兩位教師均精心設計了多層次練習題，幫助學生向這個方向努力。

習題層層遞進，學生不斷地接受挑戰，激發了學生的學習熱情，主動地深入思考與學習，將所學知識進行拓展。其中證明乘法分配律那個練習題，隱含的思考是：平方數與正方形通過面積公式建立了聯系，由此可以聯想，“二次”與面積有關。這個練習不僅拓展了學生的知識，同時給出了乘法分配律的一個證明方法。馬老師的最后一個練習，需要利用平方數與正方形的關系進行思考，通過圖形的直觀演示，使學生初步認識勾股定理，不僅拓寬了學生的視野，也為初中學習勾股定理及證明做了良好的鋪墊。

4.數形結合，其實是殊途同歸。

細品兩位教師的課堂，都給人以樸實、深刻的感覺。教學思路流暢、嚴謹，教學環節清晰、合理，學生思維獲得深度發展。整節課沒有華麗的辭藻，但總能以恰當的問題引發學生思考；教學課件精美實用，交互性強，對教學的輔助作用顯而易見。兩位教師充分調動學生的學習熱情，不僅完美呈現了教材內容，而且對教學內容進行了拓展延伸，把教學內容放在整個數學的知識體系中去研究，用發展的眼光培養學生，關注與后續學習的銜接，為學生的后續學習打下良好的基礎，切實提升了學生的數學素養。