反以變量代參數解三變量立自參互變法解三變量

俞 泉

南昌市第五中學 江西南昌 330038

有許多高考試題對于三變量函數恒成立的題型沒有清晰的解法，反而用了一種錯誤方法解題，以下面的例題來講：

讀者只要看第二問，很明顯這里有三個參數(k.m.x)，我們先看答案：

首先，我們知道了a＝0，函數f（x）=x-x，題目中f(x)≤kx-m恒成立，其中m≥0，我們先不看后面的問題，直接看題目前半部分，我們可以題目轉化為任意想x∈(0，∞)，任意m∈(0，∞)，有x-x+m-kx≤0恒成立，求參數k的最值？拿到這個題目很多同學就明白了，我們按答案的方法解題我們先把x看成自變量，把k和m看成參數，可以如答案一樣求得k+1≥e-1-m，那么這里就需要注意了，答案認為k+1的最小值最小值就是e的負一減m次方，并把它代入(k+1)m，直接認為h(m)是關于m的函數，把參數k換掉了，最后求出h(m)最大值，但答案忽視了一點，在求得k與m的關系時能不能直接用m代(k+1)的最值，這顯然是不行的。

我們知道在求到k與m關系時，m＞0，這個這個不等式恒成立，在這里，我們要用到變換主元法，把m看成自變量，k為參數，我們可以求得（k+1）的最小值為e分之一，再把（k+1）*m最小值是m乘以e分之一，h（m）無最大值。

或許很多同學還沒認識到答案的錯誤。我們來看，既然k+1≥e-1-m，m＞0，我們得k+1的最小值，而答案居然把k+1最值用m表示，顯然沒有理解恒成立的真諦。如果按答案所說，當m＝1時，h（m）取的最大值，此時k+1的最小值為e方分之一，明顯與k+1≥e-1-m，m＞0，恒成立不符，答案結果只是得到了m在(1，∞)上恒成立范圍，而沒有求到m在(0，1)上恒成立。這里就是用自變量代參數求最值，在就是一個錯題。

同學們，我們恒成立的意思就是無論自變量取什么值，我的參數一定恒大于或等于它的函數值。我們反觀此題，這個題目涉及三個變量，對于這種三變量題，我們應當好好利用我們的自參互變法，所謂自參互變法就是在恒成立中，我們三個字母既可以當自變量，又可以當參數，我們要明白，函數中的自變量或參數只是符號。只要恒成立題中有三個變量求參數范圍或最值題，我們一定用這種方法，我目前還沒有遇到這種方法做不來的題目，并且這是最有用的方法，下面我們用這種方法解兩題。

例題1中，我們發現三個變量(x.a.b)，這就是典型題，我們先把a看成自變量，x和b是參數，我們知道要恒成立，就要求h（a）的最大值，之后我們找到b與x的關系不等式，因為我們要求b的范圍，自然我們把x看成自變量，所以我們只要求f（x）的最大值，最后我們可得參數b的范圍。

例題2中，我們發現三個變量（x.a.m），我們先將不等式變型，把x看成自變量，a和m為參數，顯然我們要恒成立，所以我們先解f（x）的最大值，可以知道a和m的關系，最后再轉化為關于a的一次函數，之后就是恒成立常規題求h（a）的最大值≤0?？梢郧蟮胢的范圍。

我們現在再回顧一下這種題型，是不是發現我們的自參互變法很有用。我們發現首先我們要知道要求最大值還是最小值，之后再找兩函數，這兩函數的自變量為除所求變量外另兩個變量，在這里到底是先求哪個函數呢？我們一定先求最容易知道最值的函數動手，一般情況下（首選一次函數，再二次函數，再分式函數。）不過題目都是設計好的，我們求完一個函數后，另一個函數一定很簡單。