基于“3W”視角的解題教學初探

吳韓興

摘 要：以一道上海高考解析幾何試題為例，基于“3W（What、How、Why）”的視角，通過探析解法源頭，層層剖析問題本源，反思“一題多解”“解題規律”等途徑，闡述了如何在解題教學中引導學生思考問題，如何讓解題思路變得更自然，更合乎情理。

關鍵詞：解題；高考；數學

一、解題研究分析

數學大師波利亞曾說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題的訓練”。關于解題教學，我們一直在研究，且沒有一種固定的教學模式。但無論哪種模式，對解法和解題后的反思的研究都是必然的，只是側重點不同。

縱觀各類試題解法研究，一題多解是最受歡迎的，研究者往往呈現各種不同的解法，但這并不意味著解法越多越好。解法要符合學生的思維習慣，符合學生思維的最近發展區，那些過多重視技巧的解法對學生思維能力的發展作用不大，為減輕學生負擔，我們盡量少講或不講。那些具有普適性的一題多解，可以有效地溝通各知識之間的聯系，鞏固所學知識；同時優化整合學生思維，突破常規，實現創新。筆者認為，一題多解可作為解題反思的一部分。針對給出的自然解法進行反思，反思解法是否可以簡化，得到更簡潔的解法；反思是否還有其他的自然途徑，進而得到創新性解法。解題教學是思維的體操，教會學生如何思考是解題教學的目的所在，所以關于解法研究，我們重點要關注解法的自然性和合理性，教會學生如何解題。

關于解題反思，其重要性不言而喻，所以解題后反思已成為一種常態，但問題是很多教師不知道反思什么，或者說不知道如何反思。很多解題反思流于形式，不夠深刻，大多是泛泛的解題心得反思，缺乏對解題過程或是題目本身深度的思考，反思效果不明顯。基于“3W”（What、How、Why）視角的解題反思，是行之有效且具有操作性的一條研究途徑。“What”是對問題的分析，“How”是對問題的解答，而“Why”是解題反思中最易忽視也最重要的一步，是對問題解答原因的剖析，是對解題思路的厘清，更是問題本質的探源，簡言之就是為何這樣解問題。解題教學中，多問幾個“為什么”，可以讓解題思路變得更自然，更合乎情理。

解題后，能反思的點很多，如對解題過程進行反思，看哪些地方過于繁瑣，是否可以進行優化，查找出不足之處，追求簡潔完美的解法；對題目條件進行反思，看能否對解法進行多角度思考、聯想，探索更多的解題思路；反思解題過程中得到的某些結論，發現一般規律，借助題型歸納通用方法，得到相應結論，提升至理論高度；深入分析題目特點，探求不變的性質，掌握其本質，將題目進行推廣，得到一類變式題目，等等。反思不求多，但求深刻。“讓解法更自然，讓反思更深刻”，這就是基于“3W”視角下的解題教學的核心。

二、解題研究范例

下面筆者就以一道試題作為解題研究的范例，供讀者交流、研究。

1.試題呈現

題目：已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A、B和C、D四點，記得到的平行四邊形ABCD的面積為S。

（1）設A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐標表示點C到直線l1的距離，并證明S=2x1y2-x2y1。

（2）設l1與l2的斜率之積為- ，求面積S的值。

本題是2015年上海市高考理科第21題，本題并不是很難，但是非常典型，我們的課堂就需要這樣難度適中的題目，挖掘試題的背景、深度與廣度等，有利于我們理解解析幾何的本質。

2.探析解法源頭

關于試題的解法研究我們都是力圖尋找最合理、最自然的解題過程，這樣的解題過程有益于學生理解為何這樣解，學生一旦找到思維的源頭，便能沿著源頭順流而下，進而得到問題的最自然解法以及對問題本質的挖掘。限于篇幅，為說明問題，本文僅選擇第（2）問進行研究。

分析：l1與l2的斜率之積為- ，也就是 · =- ，即x1x2+2y1y2=0，而我們要求的是面積，也就是2x1y2-x2y1。

式子中有4個變量，它們是否還有其他的關系呢？學生不難發現，這4個變量都和橢圓有關系，點都在橢圓上，所以有x12+2y12=1和x22+2y22=1。于是問題可整理為：

已知實數x1、y1、x2、y2滿足x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②x1x2+2y1y2=0，③求2x1y2-x2y1的值。

這樣我們用坐標把原問題轉化為了純代數的計算。雖過程復雜，但是思維清晰，自然。

那么接下來就是如何解這個代數問題。我們觀察條件和結論，條件中都帶有平方，且目標結論中帶有絕對值。所以我們可以嘗試把結論進行平方，拉近和條件之間的距離。

平方得（2x1y2-x2y1）2=4（x12y22+x22y12-2x1y2x2y1）。

對比已知條件，若①×②可以出現x12y22和x22y12的結構，不妨按這個想法試試看。

①×②得x12x22+2x12y22+2y12x22+4y12y22=1，

所以x12y22+y12x22= （1-x12x22-4y12y22）。

所以（2x1y2-x2y1）2=4（x12y22+x22y12-2x1y2x2y1）

=4 （1-x12x22-4y12y22）-2x1y2x2y1

算到這里，我們發現后面三個式子可以應用完全平方公式：

4 （1-x12x22-4y12y22）-2x1y2x2y1

=2[1-（x12x22+4y12y22+4x1y2x2y1）]

=2[1-（x1x2+2y1y2）2]

這里計算就很明顯了，可直接利用③式，得：（2x1y2-x2y1）2=2，所以S=2x1y2-x2y1= 。

這樣的解題過程是不是很自然呢？整個解題過程一直在“What、How、Why”中循環往復，并將重心放在了“Why”上面。這才應該是教師要教給學生的思維過程，即學生不僅知道怎么做，更要關注為何這樣做。教師引導學生對解題步驟進行合情、合理的說明，充分暴露思考的過程，教給學生遇到解題障礙時應該怎樣想，讓學生學會思考。

3.尋找解題反思點

前文我們提到的幾種反思路徑，不是每道題目都有同樣的反思路徑，不同的題目反思的點不同，我們要善于觀察題目的特點和自然解法的過程，從中找到反思點。對于本題筆者的反思點有兩個：一題多解和解題規律。

（1）反思點：一題多解

對于一題多解的研究，應該是大多數題目都具備的，可以從自然解法的優化中尋找更簡潔的方法；或是從不同的解題知識源入手，得到不同的創新解法。

觀察本題屬動態題，動態過程的起因是直線，所得答案又是一個定值，所以我們用兩條動直線的斜率來表示上述解法中的x1、y1、x2、y2應該是可以的，于是有了下面的解法。

另解1：設直線l1的方程為y=kx，則l2的方程為y=- x，A（x1，y1），C（x2，y2）。

由y=kxx2+2y2=1得x12= ，y12= ，同理可得x22= ，y22= 。

因為x1x2+2y1y2=0，所以（2x1y2-x2y1）2=4（x12y22+x22y12-2x1y2x2y1）

=4（x12y22+x22y12+x12x22）=4 + +

=4 =2。

所以S=2x1y2-x2y1= 。

一題多解有個作用就是簡化，我們觀察上面兩種解法都有4個變量，雖另解1中用直線的斜率替換了，但是解題過程中4個變量還是參與了運算，那么我們從簡潔這點出發，能不能簡化上述解法呢？觀察題目，我們還有一個條件沒有用上，兩條直線均過原點，所以可以利用直線方程轉化同一點的橫縱坐標，得到新的解法。

另解2：設直線l1的方程為y=kx，則l2的方程為y=- x，A（x1，y1），C（x2，y2）。

由y=kxx2+2y2=1得x12= ，同理可得x22= ，得

S=2x1y2-x2y1=2 +x2·kx1= ·x1x2= =

（2）反思點：解題規律

題目解法求解完畢之后，我們再次觀察條件和結論，已知兩直線的斜率乘積- ，最后求得的面積是一個定值，那么我們肯定會有這樣的想法，這個定值會不會和兩直線的斜率乘積- 有什么樣的關系，如果兩直線的斜率乘積為其他值，這個面積又會是什么情況呢？筆者根據這個想法做了下面的探索：

設k1·k2=α，得到S=2x1y2-x2y1= ，我們觀察，只有α取- 時，這個式子才能是定值。這說明- 是一個特殊的值，一定和橢圓方程有分不開的關系，命題者也正是看到了這一點，才選取了- 這個特殊的值。那么到底有怎樣的關系呢？我們先把橢圓方程化為標準式：x2+ =1，a2=1，b2= ，所以- =- 猜想。

由此我們可以得到題目的一般性變式：

變式：已知橢圓 + =1（a>b>0），過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A、B和C、D四點，記得到的平行四邊形ABCD的面積為S。若l1與l2的斜率之積為- ，求面積S的值。

證明：y=kx + =1得x12= ，同理可得x22= ，從而得到S=2ab。

得到的這個結論，我們可以直接應用于各類高考題中。這是對題目一般性解題規律的歸納，像這樣的解題規律解題過程中時刻存在，教師要注意觀察，引導學生不斷進行探索，發散學生

思維。

三、解題研究感悟

也許很多教師都有過這樣的困惑：講過的題目過一段時間再考，學生還是不會做。學生也有同樣的困惑：這道題明明記得老師講過，可就是想不起怎么做了。產生困惑的主要原因之一就是，無論是教師還是學生都只關注怎樣解，對于為何這樣解關注甚少，更缺少深層次的分析和解題后的反思歸納。這樣不利于學生分析問題能力和遷移能力的培養。所以在日常解題教學中，除了告訴學生題目怎么解之外，更重要的是講解為何這樣解，同時還要進行解題反思，注重解題規律的提煉與數學思想的升華，對題目的背景、解題中閃現的念頭等都可以成為我們反思的對象，分析一題但不限于一題，這也是解題教學必不可少的一步。基于“3W”視角的解題教學，有效地解決了解題教學中對于“為什么”的層層追問與深入，這也符合波利亞“怎樣解題”的相關理論。

解題教學中要抓住這兩個關鍵點，解法自然要求教師把你的解題思維全程展現出來就可以了，或是沿著學生已有的思維障礙的思路進行思考都是自然、合理的解法；關于解題反思，特別是解題反思點的確定，需要教師對題目有深層次的研究，只有深層次的研究才能引導學生進行有深度的反思。

參考文獻：

[1][美]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海科技教育出版社，2011-11.

[2]王紅權.“高考真題分析”習題課的教學實踐與思考[J].中小學數學（高中版），2015（4）.

編輯 趙飛飛