抽屜原則

李秋月

摘要：本文簡單闡述了抽屜原則的簡單形式，以及衍生出來的各種方便計算的推廣形式，主要介紹了抽屜原則在初等數學第一階段，第二階段當中的應用以及衍生的簡便運算，著重強調了抽屜原則在生活當中的應用，巧用小定理解決大問題。

關鍵詞：抽屜原則;初等數學;應用

一、抽屜原則的形式

談到學生的教育問題，一度風靡一時的一檔湖南臺綜藝《爸爸去哪兒》相信大家都不陌生，在這部綜藝當中多次出現一個游戲——搶凳子，這個游戲的規則非常的簡單，假設場中有7個人，那么場中放置6個凳子，音樂響起，大家隨著音樂舞動，當音樂停止的時候，大家開始爭搶凳子，沒有搶到椅子的人淘汰，隨即進行下一輪游戲，依次重復，直至場中只剩下一個人坐在凳子上，這個人即為獲勝者。作為一個數學學習者，不僅要習慣用數學知識去解決生活中遇到的的實際問題，同時也要學會用帶有數學的眼光去看待生活中的各種相關事務，搶凳子雖然是生活中一個尋常的小游戲，但實際上體現了數學中一個重要的解題思想——抽屜原則。

200年前的16世紀，抽屜原則由德國書著名數學家狄利克雷（P.G.T.Dirichle）正式命名，因此抽屜原則在使用的時候也可以被稱為狄利克雷原理。抽屜原則可以簡化概括為以下內容：

“有十雙鞋，但是現在只有九個鞋盒，那么必定會有一個鞋盒當中放有兩雙鞋”，這一生活中常見的現象，就可以體現抽屜原則的主要內容。如果將每一雙鞋看成一個元素，每一個鞋盒看成可以放置元素的集合。那抽屜原則就可以表述為：“如果將n+1個元素放到n個集合中去，那么至少有一個集合里會含有不少于兩個元素。”

從上文的表述中可以就可以看出來，抽屜原則的應用非常廣泛，不僅僅可以應用于數學當中，在生活中抽屜原則同樣也發揮著重要的作用。本文主要從抽屜原則的簡單表述入手，淺談抽屜原則在初等數學以及在生活中的應用。

數學知識并不是一成不變的，隨著社會的發展和歷代科學家的探究，抽屜原則衍生出很多推廣形式，例如在組合數學當中由陳景林、閻滿富編著可以稱為里程碑式的作品《組合數學與圖論》對現階段抽屜原則的應用就進行了概括，分類為以下三種形式：“

原理1.把多于n個的元素按任一確定的方式分成n個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素;

原理2.把m個元素任意放到n（m>n）個集合里，則至少有一個集合里至少有k個元素，其中

原理3.把無窮個元素按任一確定的方式分成有限個集合，則至少有一個集合中仍含無個元素[1]。”

隨后，盧開澄又將抽屜原則（書中稱為鴿巢原理）進行推廣，正式表述在《組合數學》（第三版）：“

鴿巢原理：設k和n都是任意正整數，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少k+1只鴿子。

推論1.有m只鴿子和n個鴿巢，則至少有一個鴿巢中有不少于+1只鴿子。

推論2.若將n（m-1）+1個球放入n個盒子里，則至少有一個盒子有m個球。

推論3.若m1， m2…mn是n個正整數，而且r=，則m1， m2…mn中至少有一個數不小于r。[2]”

二、抽屜原則在數學當中的應用

2.1抽屜原則在初等數學第一階段中的應用

抽屜原則在初等數學中的應用比較朦朧，并不時以專門的定理公里的形式正式出現在教材中，初等數學的學習，主要是使學生開始接觸、學習、能簡單掌握數學這門學科的思維，重點是強調從生活中看數學，以數學知識解決生活中的實際問題，可以說整個初等數學的學習過程是一個從生活中具體實物到初步的數學語言，從實際問題到簡單問題數學問題的過程，教師主要的教學目標是使學生掌握基礎的數學運算，能理解完成簡單的數學問題，因此對于抽屜原則這一抽象性數學思想并不做具體講解，抽屜原則一般只能在一些拔高練習冊或者是試卷的附加題上見到，且此時表述尚不明顯，教師對也不會明確指出，此時的學生還不具有獨立分析問題的能力，因此抽屜原則在初等數學第一階段的應用尚不明朗，例如班級里有17為同學，分為四組做游戲，那么必有一組是至少有5個人。在解決這類問題的過程中，并沒有系統的公式，也不是傳統的求總和，平均分等等，只要求學生可以將正確答案的思路完成的表述出來，然而這恰恰是處于數學入門學習階段的同學的弱項，我們可以采用建立模型，分門別類的來解決這樣的數學問題。

模型一：至少......有....的問題

例1.藍天小學二年級四班共有學生25人，那么班級里一定有三個人是相同的生肖。

證明：眾所周知，我們共有生肖12種，將12各生肖看成12個小組，將25人平均分成12組，25÷2=2…1，每組兩個人，剩余一人，也就是說必有一個小組是3個人，命題得證。

分析：這種類型的題目，在初等數學當中多數以附加題或者是腦筋急轉彎的形式出現，教師在講授這樣的題目，一般是分析問題，采用學生能理解語言解釋答案，并不會具體講解用了什么樣的數學思想，學生只是知其然，而不知其所以然，因此只有部分同學在腦海中有大致朦朧的思路。實際上，在本題的是抽屜原則應用的一個非常鮮明的例子，25位同學相當于25個元素，而12個生肖則相當于12個集合，此時問題即轉化為平均分配的問題，將25個元素平均分入12個集合，剩余的一個與元素可以任意進入其中一個抽屜當中，因此，至少有一個抽屜當中有3個元素，命題得證。

2.2抽屜原則在初等數第二階段的應用

當同學進入中階段，隨著學生能力的提升，抽屜原則應用的范圍也隨之加大，此時抽屜原則的應用主要分別兩個方面，一方面是教師應用抽屜原則對書本上的定理，公理加以解釋，使學生對所學知識能掌握的更加的融洽，另外一種情況是同學進入中學階段，各種數學競賽層出不窮，對于有能力接受完整系統的抽屜原則的同學，教師會對其加以詳細的講授，以提升學生的能力。無論是哪種情況，從教學大綱規定的所學知識的層面考慮，抽屜原則仍然可以歸屬為“課外知識”，需學生自身具有較強的歸納總結的能力，才能融匯貫通，但由于中學課業任務較大，筆者建議學生只需要掌握基本的抽屜原則的思想即可。

例2.證明.任意給定五個正數，一定存在從里面選定三個數，這三個數的和能被3整除。

證明：無論任何數，被3整除都只能存在三種情況：被3整除、不能被3整除，余數為1;不能被3 整除，余數為2。因此根據余數的不同，構造出P、Q、M三個抽屜。

1.若將五個數填滿是三個抽屜，無論怎樣放置，只有保證各個抽屜中都有元素存在，從三個抽屜中各拿出一個元素來，因為余數為1、2，而1、2相加之和能被3正數，因此三個數之和也能被3整除，此種情況成立。

2.若五個數只能分布在兩個抽屜里，由抽屜原則可知，一定存在這種情況，有一個抽屜含有三個元素，無論是存在哪個抽屜當中，因為余數相同，三個數之和一定為的倍數，因此三個數之和也能被3整除，此種情況成立。

3.若將五個數放入統一個抽屜里，同上述情況2，余數相同，三個數之和一定為的倍數，因此三個數之和也能被3整除，此種情況成立。

綜上所述命題成立。

三、抽屜原則在生活中的應用

在生活中人事選定、物品分配、事項安排、評定職位等等都可以發現抽屜原理的規律，由此可見，抽屜原理不僅廣泛應用于數學研究中，在我們的實際生活中，抽屜原則的巧妙使用對于社會的發展也起到了重要的推到作用。

依照風靡一時的古裝劇《羋月傳》的情節發展，導致秦國政治分崩離析的主要原因是“七公子之亂”，惠后為了推舉無名無分卻聽其命令的一位皇子為王，召集諸位皇子進宮，宴會上宦官進獻三個晶瑩剔透的“仙桃”，一個由惠后品嘗，一個給了王叔樗離子，另外一個，惠后說應該給最優秀的皇子，大殿之上諸位皇子為了爭搶所謂的“仙桃”證明自己是最優秀的皇子，而大打出手，導致“七公子之亂爆發”。

獲得飛天獎最優秀電視劇的作品《瑯琊榜》中有片段，梁國與楚國聯姻修好，梁國靖王不想娶異國公主連夜求助智者，智者回答楚國人最信占卜之術，若不想與之婚配，只要“八字不合”即可，時至今日，仍有些人對星象之術即“算命”深信不疑，所謂算命就是把一個人的的出生年、月、日作為基數，帶入特定的算法，將得出的結果根據一定的依據得出一個人所謂的“命數”，實際上，按照中國的12生肖，共有抽屜12×360×60=259200個，，把人看做是要放進抽屜的物品，抽屜的總數是固定的，而人在不斷的演變，社會在不斷的進步，橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳，貌相同，而味不同也，世事無常，又怎么能以單純的“八字”來定論一個人的命數呢？

四、總結

抽屜原則雖然在我們學習的課本中沒有完整明確的表述，但它在數學的學習當中是不可避免的。我們學習一條定理，不僅僅要明確它的含義，懂得應用定理解題的方法，更要了解他所蘊含的思想，只有全方位的掌握他本身所具有的知識，才算學會的定理。知識的學習不應是簡單的背誦，也不是會解題只了解皮毛，應該做到融會貫通，最終提高我們的數學素養。本文舉例介紹了抽屜原則在數學幾個學習的階段的簡單應用，仍然比較片面，抽屜原則產生距今已經有200多年的歷史了，不僅僅是在數學當中，在物理等學科以及在人們的日常生產生活中發揮著重要的作用，需要我們不斷進行學習和探索。

參考文獻：

[1]陳景林，閻滿富.組合數學與圖論.北京中國鐵道出版社出版，2000.04

[2]盧開澄.組合數學（第3版）.北京清華大學出版社，2002.07

[3]濮安山.“高等代數中抽屜原理的應用”.《哈師大自然科學學報》，2001.06

[4]王向東，周士藩等.高等代數常用方法[M].1989.11.

[5]楊子胥.近世代數.北京.高等教育出版社.2003.12