基于混合加權(quán)距離的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法研究

曾守楨，穆志民

(1.寧波大學(xué)商學(xué)院，浙江 寧波 315211；2.復(fù)旦大學(xué)管理學(xué)院，上海 200433；3.天津農(nóng)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，天津 300384)

1 引言

距離測(cè)度是最常用的信息測(cè)度工具之一，主要用于反映變量或指標(biāo)之間的差異程度或相似性，目前已在模糊識(shí)別、醫(yī)療診斷、聚類分析、圖像處理和決策分析等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。例如醫(yī)生為病人診斷病情, 需要先查看病人的病情, 再與某種疾病的癥狀進(jìn)行測(cè)度比對(duì), 從而對(duì)癥下藥；再如，在群體共識(shí)中，通常需要計(jì)算個(gè)體偏好值與群體意見之間的距離，然后根據(jù)距離偏差程度確認(rèn)個(gè)體與群體的共識(shí)程度。常見的距離測(cè)度主要是基于加權(quán)平均視角而構(gòu)建的，如加權(quán)平均漢明距離、加權(quán)平均歐氏距離等[1]。而最近基于有序加權(quán)視角的距離測(cè)度方法引起了廣大學(xué)者的興趣，如基于有序加權(quán)平均(OWA)算子[2]的思路，Xu Zeshui和Chen Jian[1]首先提出了有序加權(quán)距離(OWD)測(cè)度，并研究了一種基于OWD的群體共識(shí)達(dá)成法，該方法的特點(diǎn)是專家可以根據(jù)實(shí)際問題的需要設(shè)置OWD測(cè)度的權(quán)重，進(jìn)而增強(qiáng)或者緩解或大或小的差異在集成結(jié)果中的影響，從而能得到較理想的結(jié)果和較快達(dá)成共識(shí)。Merigó和Gil-Lafuente[3]則提出了有序加權(quán)平均距離測(cè)度，研究了其優(yōu)良的特性和特殊形式，并將其應(yīng)用于金融投資方案的決策中。在此基礎(chǔ)上，諸多學(xué)者將OWD方法應(yīng)用于不同的決策場(chǎng)景，如Xu Zeshui和Xia Meimei[4]將OWD方法應(yīng)用于猶豫模糊情形中，提出了猶豫模糊OWD(HFOWD)測(cè)度；Merigó和Casanovas[5]將之與誘導(dǎo)變量相結(jié)合，提出了出了基于誘導(dǎo)變量的有序加權(quán)測(cè)度方法，得到了誘導(dǎo)有序加權(quán)平均測(cè)度，并研究了該測(cè)度方法在群體決策中的應(yīng)用。Zeng Shouzhen和Su Weihua[6]則提出了直覺模糊OWD(IFOWD)測(cè)度及研究了其在金融決策中的應(yīng)用；Zeng Shouzhen等[7]研究了基于概率的有序加權(quán)距離測(cè)度方法及其在區(qū)間多屬性決策中的應(yīng)用。Liu Huchen等[8]研究了基于二維區(qū)間信息的混合OWD測(cè)度并將之應(yīng)用于醫(yī)療故障風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)與分析。Zhou Ligang等[9]從連續(xù)性方面研究了OWD測(cè)度。更多關(guān)于有序加權(quán)測(cè)度的理論和應(yīng)用研究可見文獻(xiàn)[10-15]。

為改進(jìn)傳統(tǒng)模糊集[16]中僅考慮隸屬度的缺陷，Atanassov在文獻(xiàn)[17]中對(duì)傳統(tǒng)的模糊集進(jìn)行了拓展，提出了直覺模糊集的概念，其優(yōu)點(diǎn)是可以同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個(gè)方面信息的直覺模糊集。與傳統(tǒng)模糊集相比，直覺模糊集更符合決策者對(duì)被評(píng)估對(duì)象表現(xiàn)出肯定、否定和猶豫的思維習(xí)慣，在處理模糊性和不確定問題方面更具靈活性和實(shí)用性。近20年來，直覺模糊集引起了眾多研究者的重視和關(guān)注，相應(yīng)的理論和應(yīng)用研究成果也較豐富[18-22]。然而在直覺模糊決策的過程中, Yager[23]發(fā)現(xiàn)專家所給出的方案滿足屬性的隸屬度和非隸屬度之和往往會(huì)出現(xiàn)大于1的情況，此時(shí)，直覺模糊信息將無法正確地描述專家的偏好信息。為此，Yager提出了一種新的模糊集—畢達(dá)哥拉斯模糊集[23]，其特征是允許隸屬度和非隸屬度之和可以超過1, 但其平方和不超過1，從而使得專家不必因重新修改其直覺模糊評(píng)價(jià)值而中斷決策過程。基于此優(yōu)點(diǎn)，眾多學(xué)者從不同角度對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊集進(jìn)行了深入的拓展研究。較具代表性的，如Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊運(yùn)算規(guī)則，并給出了基于畢達(dá)哥拉斯模糊信息的TOPSIS方法；劉衛(wèi)鋒等[25]提出了一系列畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下的擬加權(quán)平均和擬加權(quán)幾何集成方法；Zeng Shouzhen等[26]從平均加權(quán)和有序加權(quán)視角研究了達(dá)哥拉斯模糊距離測(cè)度方法及其在多屬性決策中的應(yīng)用。Peng Xindong和Yang Yong[27-28]分別研究了基于Choquet積分和基于區(qū)間值的畢達(dá)哥拉斯模糊集及其應(yīng)用。Gou Xunjie等[29]從連續(xù)性方面研究了畢達(dá)哥拉斯模糊集的特征及其應(yīng)用。Zhang Xiaolu[30-31]從相似度等方面對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊集進(jìn)行了深入研究。

由以上文獻(xiàn)可以看出，畢達(dá)哥拉斯模糊集理論和應(yīng)用的研究成果日趨豐富，但目前尚未從有序加權(quán)視角研究畢達(dá)哥拉斯模糊距離測(cè)度方法，同時(shí)畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法體系也有待進(jìn)完善研究。為此，本文將從有序加權(quán)視角研究畢達(dá)哥拉斯模糊距離測(cè)度及其多屬性決策方法。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：首先, 提出畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)距離(PFOWD)測(cè)度，并給出了其權(quán)重確認(rèn)方法；其次，在PFOWD的基礎(chǔ)上，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)距離(PFHWD)測(cè)度，研究了其優(yōu)點(diǎn)及其特殊形式；最后，提出了一種基于PFHWD-TOPSIS的畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法, 并通過案例應(yīng)用說明其可行性和有效性。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 畢達(dá)哥拉斯模糊集

定義1[23]。設(shè)X為論域，則稱

A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}

(1)

(2)

表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度。特別地，若πA(x)=0，?x∈X，則A退化為Zadeh的傳統(tǒng)模糊集。為便于表述，稱α=(μα,vα)為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)(PFN)[24]， 其中，

(3)

且設(shè)全體PFN的集合為Ω。

(1)若s(α1)

(2)若s(α1)=s(α2), 則

?若h(α1)

?若h(α1)>h(α2), 則α1>α2；

定義3[24]. 設(shè)α=(μα,vα),α1=(μα1,vα1) 和α2=(μα2,vα2)為任意三個(gè)PFN,λ>0，則其運(yùn)算規(guī)則定義為:

定義4[24]. 設(shè)α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2)為兩個(gè)PFN，則稱

dPFD(α1,α2)=

(4)

為α1和α2的距離測(cè)度。

2.2 有序加權(quán)距離測(cè)度

基于OWA算子[2]的思路，Xu和Chen[1]提出有序加權(quán)距離(OWD)測(cè)度，定義如下：

定義5. 對(duì)于實(shí)數(shù)集A={a1,a2,…,an}和B={b1,b2,…,bn}，記aj與bj之間的距離為d(aj,bj)=|aj-bj|，則

(5)

特別地，當(dāng)λ=1和λ=2時(shí)，OWD測(cè)度分別稱為有序加權(quán)平均(OWAD)[3]測(cè)度和有序加權(quán)Euclidean距離(OWED)測(cè)度：

(6)

(7)

OWD測(cè)度的特點(diǎn)在于它能通過分配或高或低的權(quán)重進(jìn)而增強(qiáng)或者緩解或大或小的差異在集成結(jié)果中的影響。然而，上述有序距離測(cè)度只適用于所給信息為實(shí)數(shù)值時(shí)的情形，下面研究基于畢達(dá)哥拉斯模糊信息的有序加權(quán)距離測(cè)度。

3 主要結(jié)果

在畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)距離定義的基礎(chǔ)上，我們首先定義畢達(dá)哥拉斯模集之間的加權(quán)距離。

(8)

顯然，PFWD測(cè)度僅考慮待集成指標(biāo)的重要性，沒有體現(xiàn)出其所在位置的重要。為此，我們提出畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)距離(PFOWD)測(cè)度，定義如下：

(9)

如何確定與PFOWD測(cè)度相關(guān)聯(lián)的權(quán)重是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題，從定義可以看出，PFOWD與OWA算子和OWD測(cè)度一樣，其實(shí)質(zhì)都是一種有序加權(quán)方法，因此關(guān)于OWA算子和OWD測(cè)度的權(quán)重求解方法同樣適用于PFOWD測(cè)度，如最小二乘法和正態(tài)分布法[32]。根據(jù)PFOWD的特性，下面我們另外給出一種PFOWD的權(quán)重確定方法，設(shè)

(10)

和

(11)

并設(shè)

wj=

(12)

容易證明PFOWD算子具有一般集成算子的數(shù)學(xué)特征，如單調(diào)性、有界性、冪等性和交換性等。

由定義6和定義7可以看出，PFWD測(cè)度與PFOWD測(cè)度的本質(zhì)區(qū)別在權(quán)重向量的確定，前者中的權(quán)重分配側(cè)重于反映評(píng)價(jià)者對(duì)指標(biāo)屬性重要程度的判斷，而后者則強(qiáng)調(diào)待集成數(shù)據(jù)的序權(quán)重。兩者均僅考慮了權(quán)重分配的某一方面，都有一定的片面性。為克服上述缺點(diǎn)，筆者提出畢達(dá)哥拉斯模混合加權(quán)距離測(cè)度，定義如下：

(13)

特別地，當(dāng)λ=1和λ=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的PFHWD測(cè)度分別稱為畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)漢明距離(PFHWHD)測(cè)度和畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)歐氏距離(PFHWED)測(cè)度。可以證明PFWD和PFOWD都是PFHWD的特例。

定理1PFWD是PFHWD測(cè)度的一個(gè)特例。

證明：令w=(1/n,1/n,…,1/n)T和λ=1，則

定理證畢。

定理2PFOWD是PFHWD測(cè)度的一個(gè)特例。

證明：令ω=(1/n,1/n,…,1/n)T, 則

nωj(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ=(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ

定理證畢。

由定理1和定理2可知，PFHWD測(cè)度改進(jìn)了PFWD和PFOWD測(cè)度的缺點(diǎn)，不僅能考慮每個(gè)數(shù)據(jù)的自身重要性程度，而且還體現(xiàn)了該數(shù)據(jù)所在位置的重要性程度。

4 基于PFHWD的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法

則基于PFHWD-TOPSIS畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法步驟如下：

步驟1.構(gòu)造畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣R=(cj(xi))m×n，其中矩陣中的元素cj(xi)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，為決策者給出的方案xi∈X關(guān)于屬性cj∈C下的評(píng)估值。

步驟2. 利用公式(14)和(15)計(jì)算方案的畢達(dá)哥拉斯模糊正理想解A+和負(fù)理想解A-:

(14)

(15)

步驟3. 利用方程(13)分別計(jì)算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負(fù)理想解A-的混合加權(quán)距離PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)。

步驟4. 現(xiàn)有文獻(xiàn)的TOPSIS方法中一般采用傳統(tǒng)的貼進(jìn)度函數(shù)來對(duì)方案進(jìn)行排序[26,33-36]。然而文獻(xiàn)[24,37]指出，傳統(tǒng)貼近值最大的方案有時(shí)并不能同時(shí)滿足與正理想解最近和與負(fù)理想解最遠(yuǎn)。基于此，本文提出一種新的計(jì)算方案xi的貼近度函數(shù)ζ(xi)(i=1,2,…,m):

(16)

其中

及

步驟5. 根據(jù)貼近度ζ(xi)的大小對(duì)方案xi(i=1,2,…,m) 擇優(yōu)排序，ζ(xi)越大，相應(yīng)的方案xi(i=1,2,…,m)則越優(yōu)。

注：Zhang Xiaolu和Xu Zeshui在文獻(xiàn)[24]中提出了一種基于加權(quán)平均距離(PFWD)測(cè)度的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS (PFWD-TOPSIS)方法，即在上述步驟3中利用PFWD來計(jì)算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負(fù)理想解A-的距離。由于PFWD測(cè)度是PFHWD測(cè)度的一種特殊形式，因此Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS方法也是我們本文提出的PFHWWD-TOPSIS方法的一種特殊形式。事實(shí)上，根據(jù)PFHWD的參數(shù)λ和權(quán)重的取值變化，我們可以得到PFHWD的一系列特殊形式，從而可得到一系列基于PFHWD特殊形式TOPSIS方法，如PFWD-TOPSIS方法、PFHWHD-TOPSIS方法和PFHWED-TOPSIS方法等。

5 實(shí)例分析

近年來中國的高速鐵路發(fā)展迅速，由于其快速便捷越來越受到乘客的歡迎，對(duì)國內(nèi)航空市場(chǎng)造成了巨大的挑戰(zhàn)。特別是在2008年全球經(jīng)濟(jì)低迷之后，越來越多的航空公司都試圖通過降低價(jià)格來吸引顧客。但不幸的是，他們很快就發(fā)現(xiàn)這不是一個(gè)雙贏的局面，只有良好的服務(wù)質(zhì)量才是競(jìng)爭(zhēng)生存的關(guān)鍵和基本要素。為了提高國內(nèi)航空公司的服務(wù)質(zhì)量，民用航空局建立了一個(gè)決策委員會(huì)來研究國內(nèi)主要的四大航空公司[24]：北方航空公司(x1)、南方航空公司(x2)、東方航空公司(x3)、廈門航空公司(x4)。假設(shè)委員會(huì)根據(jù)以下四個(gè)主要指標(biāo)屬性來評(píng)估這四大航空公司：訂票與售票服務(wù)(c1)、安檢與登機(jī)服務(wù)(c2)，客艙服務(wù)(c3)和響應(yīng)性服務(wù)(c4)。通過對(duì)四個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)重要性的問卷調(diào)查，確定屬性指標(biāo)的權(quán)重向量為ω=(0.15,0.25,0.35,

0.25)T。由于決策環(huán)境的復(fù)雜性和決策者自身知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的有限性，本文假設(shè)該決策委員會(huì)用畢達(dá)哥拉斯模糊形式來表達(dá)他們對(duì)四大航空公司在其各個(gè)屬性下的評(píng)估值，具體見表1。

依據(jù)上述決策信息，我們首先計(jì)算出畢達(dá)哥拉斯模糊正理想解A+和負(fù)理想解A-:

表1 畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣

A+={(0.9,0.3), (0.9,0.2), (0.8,0.1), (0.7,0.4)}

A-={(0.4,0.7), (0.7,0.6), (0.5,0.8), (0.6,0.6)}

假設(shè)與PFHWD測(cè)度相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量W=(0.1,0.35,0.3,0.25)T，且不失一般性，設(shè)λ=2，則可利用PFHWD計(jì)算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負(fù)理想解A-的混合加權(quán)距離PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)，并在此基礎(chǔ)上利用公式(16)計(jì)算方案xi的貼近度ζ(xi)(i=1,2,…,m)，結(jié)果如下表2所示：

表2 基于PFHWD-TOPSIS方法的評(píng)價(jià)結(jié)果

因?yàn)棣?x4)?ζ(x2)?ζ(x3)?ζ(x1)，故四大航空公司的服務(wù)質(zhì)量排序?yàn)椋?/p>

x4?x2?x3?x1，

即廈門航空公司(x4)為航空服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)最高的航空公司。

下面我們采用Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS(λ=2)方法對(duì)本例題進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如表3所示：

表3 基于PFWD-TOPSIS方法的評(píng)價(jià)結(jié)果

根據(jù)ζ(x3)?ζ(x2)?ζ(x4)?ζ(x1)，航空公司的服務(wù)質(zhì)量排序?yàn)椋簒3?x2?x4?x1，由此可得東方航空公司(x3)為航空服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)最高的航空公司，和本文提出的方法得出的結(jié)果不同。其主要原因是PFWD-TOPSIS方法中的PFWD測(cè)度只考慮了屬性指標(biāo)的重要性，并不能體現(xiàn)屬性指標(biāo)所在位置的重要性，從而得出有偏差的結(jié)果。

我們可進(jìn)一步分析PFHWD測(cè)度中的參數(shù)λ的變化對(duì)貼近度函數(shù)和決策結(jié)果的影響，如圖1所示，隨著參數(shù)λ的變化，方案的貼近度函數(shù)也在變化，從而排序結(jié)果也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。從圖1可以看出當(dāng)λ∈(0,1.55)時(shí)，南方航空公司(x2)可視為航空服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)最高，當(dāng)λ∈[1.55,6.02)，廈門航空公司(x4)可選為最優(yōu)方案，而當(dāng)λ≥6.02，東方航空公司(x3)的貼近度函數(shù)都比其他方案的都大，從而x3可作為最優(yōu)方案。根據(jù)PFHWD中參數(shù)λ的數(shù)學(xué)特征可發(fā)現(xiàn)，λ的大小主要可用于體現(xiàn)決策者決策風(fēng)險(xiǎn)偏好的程度。

圖1 候選方案的貼近度函數(shù)(基于參數(shù)λ的 PFHWD-TOPSIS)

由以上分析可知，本文提出的PFHWD-TOPSIS方法具有良好的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在：(1)該方法不但考慮了集成數(shù)據(jù)的重要性，而且能體現(xiàn)數(shù)據(jù)所在位置的重要性，從而可以增加或減低偏差過大或者過小的數(shù)據(jù)對(duì)集成結(jié)果的影響；(2)提出的新的貼進(jìn)度函數(shù)可以改進(jìn)現(xiàn)有方法的缺陷，能夠同時(shí)滿足最優(yōu)方案距正理想解最近和與負(fù)理想解最遠(yuǎn)；(3)專家可根據(jù)實(shí)際需要和偏好選擇合適的參數(shù)λ，從而為決策者提供了更多的選擇機(jī)會(huì)，與其他方法相比更具決策柔性，其適用范圍也更廣泛。

6 結(jié)語

本文從有序加權(quán)視角研究了畢達(dá)哥拉斯模糊距離測(cè)度方法及其應(yīng)用。首先，定義了畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)距離測(cè)度，該距離測(cè)度能有效地消除過大或過小的不合理信息造成的誤差，從而提高了測(cè)度方法的科學(xué)性與合理性。其次，在有序加權(quán)距離測(cè)度的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)距離(PFHWD)測(cè)度，PFHWD不僅能體現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)的自身重要性程度，而且還突出了該數(shù)據(jù)所在位置的重要程度。再者，提出了一種基于PFHWD測(cè)度的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法(PFHWD-TOPSIS)，其核心是利用PFHWD度量備選方案與正負(fù)理想解的距離，從而得到方案的貼近度，并根據(jù)其大小對(duì)方案進(jìn)行排序與擇優(yōu)。該方法不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，而且拓展了PFHWD的應(yīng)用范圍，豐富了已有的畢達(dá)哥拉斯模糊測(cè)度的研究成果。最后，案例分析結(jié)果也體現(xiàn)了本文所提方法具有很強(qiáng)的決策柔性和靈活性，決策者可以依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好和實(shí)際問題需要調(diào)節(jié)參數(shù)值λ，這一特性使該方法的適用范圍更加廣泛。

值得注意的是，本文提出的PFHWD不僅能有效與TOPSIS方法結(jié)合，改進(jìn)現(xiàn)有TOPSIS方法的缺陷，而且還可廣泛應(yīng)用于各種群體決策與評(píng)價(jià)問題中，具有一定的推廣價(jià)值。如在大規(guī)模群體決策活動(dòng)中，由于專家的知識(shí)背景等差異，往往使得決策難以達(dá)成一致，而本文提出的PFHWD能有效地消除這種差異，幫助決策者快速達(dá)到群體共識(shí)，決策者還可根據(jù)評(píng)價(jià)目的與實(shí)際問題的需要選擇PFHWD中適當(dāng)?shù)膮?shù)進(jìn)行決策分析，從而提高決策結(jié)果的科學(xué)性與合理性。