運用正余弦定理破解三解形問題

曾光

解三角形這部分知識是高考重點考查內容，每年都會有一道選擇填空題，或一道解答題. 考查的形式主要分為兩大類，第一類為直接給出邊角，第二類給出一個等式. 總體來說第一類難度較第二類小. 雖然難度不算大，可是有些同學還是感到心里沒底，尤其是遇到第二類有時能解對，但有時又解不出來. 歸納原因，還是對解題的規律沒摸透. 下面我們一起來看看今年高考題中考查解三角形知識的題目，一起找到解題的規律.

第一類：已知條件直接給出邊和角的值.

【思路】根據正余弦定理，對于三角形的三邊三角，我們只要知道三個條件（不包括三角）就可以求其它的邊和角，我們簡稱“知三求三”.

【2018年全國Ⅱ卷文7】 在△ABC中，BC=1，AC=5，則AB=（ 【小結】第一類的問題主要是根據已知條件合理選用正余弦定理解題，情況有以下四種：

已知兩邊和一邊對角，求另一對角，用正弦定理.

已知兩邊和一邊對角，求第三條邊，用余弦定理.

已知兩邊和夾角，用余弦定理.

已知三邊，求角，用余弦定理.

第二類：已知條件不給出邊和角的值，而是給出含有邊和角的等式，需要對這些等式進行整理化簡后才能得到角和邊的信息.

此類問題通常從兩個解題思路入手：

【1】如果等式兩邊都有正弦函數，往往考慮運用正弦定理進行邊角互換.

【2】如果等式出現三角形的三邊的平方關系，可以考慮運用余弦定理進行化簡.

【2018年全國Ⅰ卷文16】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為________.

【分析】本題給出的兩個條件等式都有明顯的特點，bsinC+csinB=4asinBsinC，式子兩邊都有正弦函數，根據第一點思路，可以運用正弦定理進行邊角互換. b2+c2-a2=8式子的左邊是三邊的平方關系，根據第二點思路，可以用余弦定理化簡.

【2018年全國Ⅲ卷文11】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 若△ABC的面積則（? ? ? ）

【分析】已知條件出現了三角形的三邊的平方關系，根據第2點思路，可以考慮用余弦定理進行化簡，然后再觀察.

【解析】根據余弦定理cos對比前面兩個式子得sinC=cosC，因此C，答案選C.

【2018年北京卷文14】若△ABC的面積為2+c2-b2），且∠C為鈍角，則∠B=_______;的取值范圍是_________.

【分析】本題的已知條件同樣出現了三角形的三邊的平方關系，根據第2點思路，可以考慮用余弦定理進行化簡，然后再觀察.

【小結】兩邊的比例關系往往可以轉化為角的關系求范圍.

【2018年天津卷文16】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知bsinA=acos（

（Ⅰ）求角B的大小;

（Ⅱ）設a=2，c=3，求b和sin（2A-B）的值.

【分析】本題給出的條件等式兩邊皆有邊，可運用正弦定理進行邊化角。對于第二問，已知兩邊一角，可運用余弦定理求解.

【解析】根據正弦定理， bsinA=acos（B-）， 即 bsinA=

，所以sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=【總結】縱看以上今年6個涉及解三解形的高考題，分布在不同的試卷，范圍廣，有的是全國Ⅰ卷，有全國Ⅱ卷，也有北京卷浙江卷等，因此，熟練解決以上問題意義重大. 請同學們好好體會兩類問題及其對應的解題思路！