地球靜止軌道衛星碰撞碎片短期演化風險分析

張海濤，張占月，吳 帥，魏 斌

(1.航天工程大學 研究生院，北京 101416；2.航天工程大學 太空安全研究中心，北京 101416)

0 引言

美國空間監視網2018年6月1日公布的數據顯示：地球靜止軌道(GEO)區域存在850個可探測的空間目標和大量無法探測到的空間碎片，且有大量空間目標以大橢圓軌道穿越GEO區域。

國外許多機構對空間碎片進行了較為深入的研究，開發的模型包括英國的DAMAGE[2]、西班牙的DELTA[3]、美國國家航空航天局(NASA)的LEGEND[4]、法國的MEDEE[5]、德國布倫瑞克大學的LUCA[6]、英國方位研究局的IDES[7]等。這些模型針對現有的空間環境進行演化分析，采用蒙特卡洛[8]仿真對未來的空間環境進行預估，驗證了NASA專家Kessler提出的“凱斯勒現象”[9]。國內許多學者也對空間環境、碰撞風險分析等進行了深入研究，如龐寶君等[10]對空間碎片環境預測算法等進行了研究，白顯宗等[11-12]研究了碰撞預警與態勢，霍俞蓉等[13]提出了基于拉普拉斯變換的碰撞概率計算方法。以上研究主要是觀測當前的空間環境，對空間碎片進行定軌，分析空間碎片對航天器的影響，從而提供預警。

GEO區域存在著大量無法探測到的空間碎片，一旦這些空間碎片與航天器碰撞，就會產生大量新的空間碎片，進一步惡化GEO區域的空間環境[1]，而短時間內人們無法對這些碎片進行定軌。本文運用解體模型仿真解體事件，對新產生的空間碎片與GEO區域現有航天器的碰撞概率進行了計算。

1 空間目標篩選

機構間空間碎片協調委員會(IADC)發布的《空間碎片減緩指南》指出：GEO區域是指海拔高度在(35 786±200) km以內，赤道兩側緯度15°以內的球面約束的環形區域[14]。初始空間目標篩選的目的是通過幾何篩選方法，篩選出以近圓軌道運行在GEO環形區域和穿越該環形區域的空間目標，將其作為研究對象。美國空間監視網公布的GEO航天器指的是：軌道周期為0.99～1.01 d，偏心率小于0.01的航天器。截至2018年6月1日，GEO區域的航天器共850個，空間目標總數為16 996個。其中，850個空間目標是以近圓軌道運行在GEO環形區域的空間目標，另外需從總的空間目標中篩選出穿越該環形區域的空間目標。

當且僅當衛星地心距和星下點緯度同時滿足以下2個條件時，空間目標運行在或穿越GEO環形區域，即

(1)

δ=arcsin(sini·sin(ω+f))∈(-15°,15°)

(2)

式中：a為軌道半長軸；e為偏心率；i為軌道傾角；ω為近地點幅角；f為真近地點角。空間目標篩選的流程如圖1所示。從2018年6月1日公布的16 996個空間目標中，篩選出運行在或穿越GEO區域的1 277個空間目標，其中850個空間目標運行在GEO區域，427個空間目標的軌道穿越GEO區域。

圖1 空間目標篩選流程Fig.1 Screening process of space objects

2 基于弦截法的接近分析算法

接近分析是指給定2個空間目標的軌道根數，分析小于給定門限值的起止時間，計算相對距離、相對速度、接近角等信息。在進行接近分析前，為了提高分析效率，需先對空間目標進行篩選，篩選出所有可能發生碰撞的空間目標，篩選出的空間目標即為GEO區域所有可能發生碰撞的空間目標。

接近分析算法分為解析法和數值法。其中：解析法是對空間目標之間的幾何關系進行分析，建立解析表達式，通過求導獲取空間目標的接近信息，其計算速度快，但對于軌道類型敏感，空間目標的相對距離目前僅針對近圓軌道，在小偏心率假設下存在解析解，無法獲得完整的相對運動解析方程。數值法是利用2個空間目標的位置、速度信息，得到兩者之間距離隨時間的導數，通過求解導數多項式的零點來求解接近時刻和最小距離。相對解析法，數值法編程實現簡單，對軌道類型不敏感，但計算時間更長。

在J2000地慣系下，空間目標p和空間目標t之間的距離

(3)

式中：rt，rp為空間目標p，t的位置矢量。相對距離的平方對時間的導數為

(4)

(5)

因此，求解相對距離函數的極小值問題可轉換為求解函數L(t)的零點問題。一般的軌道類型無法獲得其零點的解析解，運用數值方法可得到滿足一定精度要求的數值解。函數求零點的方法有迭代法、牛頓法等[15]。案例仿真中，運用弦截法求解問題。

選取一定時間步長tstep-tstep-1(step≥1)，考慮時間區間(tstep-1,tstep]，當L(tstep-1)<0且L(tstep)>0時，L(t)在該時間區間至少存在1個零點，該零點是2個空間目標距離的極小值點。選取區間的2個端點tstep-1和tstep作為初始迭代值t0和t1，弦截法的迭代式為

(6)

由式(6)可見，當ti+1與ti的差值小于一定誤差精度時，迭代結束，ti+1為L(t)在該時間區間的零點，即2個空間目標相對距離的極小值點為接近時刻，此時計算2個空間目標的相對距離，得到相對距離的極小值，該值即為接近距離。

弦截法的收斂階為1.618，其收斂速度比線性收斂的不動點迭代法快，比牛頓迭代法慢。雖然弦截法比牛頓迭代法收斂速度慢，但其計算過程中不需要對距離求二次導數，即無需求解空間目標的加速度，從而規避了分析空間目標受攝動力這一問題，并降低了不收斂的風險[16]。

對于GEO區域空間目標的接近分析問題，從所研究時間區間的起點開始，選取一定的時間步長，對每一個時間步長區間進行接近分析，可得到接近時刻。時間步長一般取2個空間目標中較小軌道周期的1/5[17-18]，可保證在1個時間步長內，2個空間目標的相對距離只存在1個極小值，且在運用弦截法迭代求解時無法收斂到相對距離的極大值點。

3 軌道演化與近似碰撞概率計算

軌道數據采用TLE兩行軌道根數，由于TLE軌道數據是在去除攝動短期項后的平軌道根數，SGP/SDP模型比高精度預報模型HPOP[19-21]預報精度更高，因此本研究進行軌道預報時采用SDP4模型。

目前，國內外對于空間目標碰撞概率的研究已較為成熟，通常分為數值法和解析法。其中，解析法計算速度快，但對軌道類型敏感，僅對特殊軌道在一定假設下存在解析解[22-24]，在僅作短期演化風險分析，不作長期連鎖碰撞研究時，進行以下假設：

1) 2個空間目標的位置服從三維高斯分布，且相互獨立。

2) 2個空間目標接近持續時間非常短，認為接近期間2個目標的相對運動為線性相對運動，且速度沒有不確定性。

3) 2個空間目標的形狀為半徑已知的球體。

4) 2個空間目標的位置在軌道坐標系RSW下沿3個坐標方向的標準差相等，即2個空間目標的協方差矩陣為

(7)

在假設1～3下，2個空間目標的碰撞概率是2個空間目標半徑之和Ra與相對距離r的函數。碰撞概率為

(8)

(9)

4 算例仿真

假設實際比能EP=mpv2/(2mt)，臨界比能EP*=40 kJ/kg，則當EP≥EP*時，碰撞發生完全解體，當EP

解體模型選取NASA標準解體模型，并考慮質量守恒和動量守恒對解體模型進行修正[26]。空間碎片質量分別取不同值，使衛星發生完全和非完全解體。假設2個空間目標只在距離的極小值點才可能發生碰撞，2個空間目標距離大于等于20 km時不會發生碰撞，分別就2種來源的碎片與目標衛星發生完全和非完全解體碰撞進行仿真，對每種情形進行4次仿真實驗，計算在72 h內最接近的時刻、接近距離、碰撞概率。解體產生的空間碎片用“361060001～361069999”進行編號。

4.1 完全解體仿真

4.1.1 情形1

假設該衛星與來自“閃電”軌道的碎片發生碰撞，碰撞相對速度為2 980.6 m/s，假設碎片的質量為25 kg，碰撞發生完全解體，對該過程進行仿真，2018年6月1日0時，空間碎片開普勒軌道根數見表1。

表1 空間碎片1的軌道根數

分析新產生的空間目標和現有空間目標組成的整體間的碰撞概率，4次仿真實驗3 d內分別出現1 972，2 039，2 066和2 030組距離小于20 km的接近。每次仿真實驗接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小的時刻、最小距離、碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表2，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法，即前2位表示年份，后3位數字表示該年按順序排列的天數，小數部分表示1 d中的小數部分(下同)。

表2 在情形1下所用空間目標間接近分析

對于4次仿真實驗，碰撞解體后總的空間目標間最接近時的距離按從小到大排列，如圖2所示。從圖中可以清晰地看出3 d內空間目標間的最接近距離小于某一值的次數。例如：從圖2(a)中可以看出，3 d內有200次空間目標間的最小距離小于2 km，有800次空間目標間的最小距離小于6 km。

圖2 在情形1下所有空間目標間的接近距離Fig.2 Distance of closest approach between all space objects in situation 1

由4次仿真實驗結果可得：新產生的空間碎片與原有的空間目標分別存在169，201，201和187組小于20 km的接近。每次仿真實驗新產生的空間目標與原有空間目標間接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小的時刻、最小距離、碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表3，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

表3 在情形1下空間碎片與原有空間目標碰撞分析

對于4次仿真實驗，碰撞解體新產生的空間碎片與原有空間目標最接近時的距離按從小到大排列如圖3所示。

圖3 在情形1下新產生的空間碎片與原有空間目標的接近距離Fig.3 Distance of closest approach between new debris and original space objects in situation 1

當編號為36106的衛星與來自“閃電”軌道的空間碎片碰撞且完全解體時，4次仿真實驗顯示(見圖2，3)，3 d內分別有1 487，1 512，1 601和1 597次空間目標間最小距離小于10 km的現象發生，其中分別有112，131，142和118次發生在新空間碎片與原有空間目標間，分別有1 375，1 381，1 459和1 279次發生在新產生的空間碎片間。其中，112，131，142和118個原有空間目標在軌正常工作的航天器分別有11，7，9和6個，可見該種情形下新的空間碎片對GEO區域的環境影響十分大。

4.1.2 情形2

假設該衛星與運行在GEO附近的碎片發生碰撞，碰撞相對速度為802.6 m/s，假設碎片的質量為320 kg，碰撞發生完全解體，對該過程進行仿真，2018年6月1日0時，空間碎片開普勒軌道根數見表4。

表4 空間碎片2的軌道根數

分析新產生的空間目標和現有空間目標組成的整體間的碰撞概率。由4次仿真實驗可得，3 d內分別出現2 324，2 280，2 125和2 260組距離小于20 km的接近。每次仿真實驗接近距離最小的2個空間目標的編號，距離最小時的時刻、最小距離、此時的碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表5，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

表5 在情形2下所用空間目標間碰撞分析

圖4 在情形2下所有空間目標間的接近距離Fig.4 Distance of closest approach between all space objects in situation 2

對于4次仿真實驗，碰撞解體后總的空間目標間最接近時的距離按從小到大排列，如圖4所示。

由圖可見：3 d內新產生的空間碎片與原有的空間目標分別存在165，153，167和141組小于20 km的接近。每次仿真實驗新產生的空間碎片與原有空間目標間接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小時的時刻、最小距離、此時的碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表6，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

表6 在情形2下空間碎片與原有空間目標碰撞分析

對于4次仿真實驗，碰撞解體新產生的空間碎片與原有空間目標最接近時的距離按從小到大排列，如圖5所示。

圖5 在情形2下新產生的空間碎片與原有空間目標接近距離Fig.5 Distance of closest approach between new debris and original space objects in situation 2

當編號為36106的衛星與GEO區域附近的空間碎片碰撞，完全解體時，4次仿真實驗結果顯示(見圖4，5)，3 d內分別會有1 721，1 700，1 587和1 790次空間目標間的最小距離小于10 km，其中分別有103，112，115和101次發生在新空間碎片與原有空間目標之間，分別有1 618，1 588，1 472和1 689次發生在新產生的空間碎片之間。其中，103，112，115和101個原有空間目標中在軌正常工作的航天器分別有9，7，10和8個。可見該種情形下新的空間碎片對GEO區域環境影響非常大。

4.2 非完全解體仿真

4.2.1 情形3

衛星與來自“閃電”軌道的碎片發生碰撞，碰撞相對速度為2 980.6 m/s，產生的碎片質量為10 kg，碰撞發生非完全解體，2018年6月1日0時，對該過程進行仿真，空間碎片軌道根數見表1。

分析新產生的空間目標和現有空間目標組成的整體間的碰撞概率。由4次仿真實驗可見，3 d內分別出現23，24，34和18組距離小于20 km的接近。每次仿真實驗接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小時的時刻、最小距離、此時的碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表7，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

表7 在情形3下所用空間目標間碰撞分析

對于4次仿真實驗，碰撞解體后總的空間目標間最接近時的距離按從小到大排列，如圖6所示。

由圖可見：3 d內新產生的空間碎片與原有的空間目標分別存在14，13，17和9組小于20 km的接近。每次仿真實驗新產生的空間碎片與原有空間目標間接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小的時刻、最小距離、碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表8，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

表8 在情形3下空間碎片與原有空間目標碰撞分析

對于4次仿真實驗，碰撞解體新產生的空間碎片與原有空間目標最接近時的距離按從小到大排列，如圖7所示。

圖6 在情形3下所有空間目標間的接近距離Fig.6 Distance of closest approach between all space objects in situation 3

當編號為36106的衛星與來自GEO區域附近的空間碎片碰撞且發生非完全解體時，4次仿真實驗顯示(見圖6，7)，3 d內分別會有19，17，25和9次空間目標間的最小距離小于10 km，其中分別有11，8，10和5次發生在新空間碎片與原有空間目標間，分別有8，9，15和4次發生在新產生的空間碎片間。原有空間目標中無在軌正常工作的航天器。該種情形下新的空間碎片對GEO環境影響主要體現在新產生的空間碎片有可能發生2次碰撞，進而產生更多的空間小碎片。

4.2.2 情形4

假設該衛星與運行在GEO區域附近的碎片發生碰撞，碰撞相對速度為802.6 m/s，假設碎片的質量為10 kg，碰撞發生非完全解體，對該過程進行仿真，2018年6月1日0時的空間碎片軌道根數見表4。

分析新產生的空間目標和現有空間目標組成的整體間的碰撞概率。由4次仿真實驗可見，3 d內分別出現1，4，0和1組距離小于20 km的接近。每次仿真實驗接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小時的時刻、最小距離、此時的碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表9，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

表9 在情形4下所用空間目標間碰撞分析

對于4次仿真實驗，碰撞解體后總的空間目標間最接近時的距離按從小到大排列，如圖8所示。

圖8 情形4所有空間目標間的接近距離Fig.8 Distance of closest approach between all space objects in situation 4

由圖可見：3 d內新產生的空間碎片與原有的空間目標分別存在1，3，0和1組小于20 km的接近。每次仿真實驗新產生的空間碎片與原有空間目標間接近距離最小的2個空間目標的編號、距離最小時的時刻、最小距離、此時的碰撞概率和每次實驗3 d內碰撞次數的期望(所有可能發生碰撞的碰撞概率之和)見表10，接近時刻的表示方法參照TLE中時間的記法。

對于4次仿真實驗，碰撞解體新產生的空間碎片與原有空間目標最接近時的距離按從小到大排列，如圖9所示。

當編號為36106的衛星與來自GEO區域附近的空間碎片碰撞，非完全解體時，4次仿真實驗顯示(見圖8，9)，3 d內分別會有1，3，0和1次空間目標間的最小距離小于10 km，其中分別有1，2，0和1次發生在新空間碎片與原有空間目標間，分別有0，1，0和0次發生在新產生的空間碎片間，無在軌正常工作的航天器，可見該種情形下新的空間碎片對GEO區域的環境影響相對較小。

表10 在情形4下空間碎片與原有空間目標碰撞分析

圖9 在情形4下新產生的空間碎片與原有空間目標接近距離Fig.9 Distance of closest approach between new debris and original space objects in situation 4

5 結束語

來自“閃電”軌道的空間碎片若與GEO衛星發生碰撞，兩者相對速度較大，則會產生大量的空間碎片。本文在完全解體情形下開展了4次仿真實驗。仿真結果顯示，新產生的空間碎片在3 d內會與原有空間目標平均發生189.5次小于20 km的接近，最小接近距離降低到434.32 m。在不完全解體的情形下，4次仿真實驗結果顯示，新產生的空間碎片在3 d內會與原有空間目標平均發生131.5次小于20 km的接近，最小接近距離降低到214.45 m。因此，來自“閃電”軌道的空間碎片與GEO衛星發生碰撞，無論是否發生完全解體，對GEO區域的影響都非常大。

對于來自GEO區域的空間碎片與GEO衛星發生碰撞的情形，兩者相對速度較小，較大質量的空間目標與GEO衛星發生碰撞，才會導致衛星完全解體。在完全解體情形下，4次仿真實驗結果顯示，新產生的空間碎片在3 d內會與原有空間目標平均發生13.3次小于20 km的接近，最小接近距離降低到1 893.31 m。在不完全解體的情形下，由4次仿真實驗可見，新產生的空間碎片在3 d內會與原有空間目標平均發生1.3次小于20 km的接近，最小接近距離降低到2 766.84 m。GEO區域的空間碎片與GEO衛星發生碰撞，當發生完全解體時，對GEO區域影響較大，當發生非完全解體時，對GEO區域影響相對較小。本文給出了GEO衛星碰撞碎片短期風險分析的方法，解決了GEO區域空間目標碰撞短期無地面觀測數據的問題。下一步將建立專用于GEO區域空間目標的長期軌道預報半解析模型，改進DAMAGE，LEGEND模型中“Cube”(立方體)碰撞概率計算模型在描述空間目標運動特性方面的不足，分析空間碎片與航天器發生碰撞后空間環境的長期狀況。