高考數學試題中解析幾何的解題策略

摘要：在高考考場上有這樣一句話：得數學者得天下。在高中數學里，平面解析是一塊很難的部分，此章包含了許多重要的數學思想，在高考中占據了很大的分值，也起到了舉足輕重的作用。所以，在平常的學習中，學生應該特別注重高考數學試題里解析幾何的解題策略，這樣才能讓數學有很大的提升。

關鍵詞：高考數學;解析幾何;解題策略

在高考的備考過程中，解析幾何往往是學生最頭疼的一部分知識點，在全國卷的題目安排里，常規是兩小題和一大題，往往出現在壓軸題，并且經常是特別抽象的題目，沒有任何的圖例，需要學生通過建立坐標系來創建圖形，為了更好地解決這個問題，還需要老師和同學在課后總結幾種基本的解題方法，便于套用。

一、 目前高考解析幾何教學中暴露的問題

現在，解析幾何在高中數學中占據著重要的地位，是各省高考的必定考題，所以大多數考生的得分都很低，這也直接暴露了學生在解決解析幾何方面的能力還有所欠缺。

從學生的角度來說，往往只停留在老師講就懂的層面，僅僅只是對各種概念表面理解，在解題中根本不會靈活運用，還只是生搬硬套，沒有明確的方法。并且，在解析幾何上，常常會運用到計算量很復雜的坐標方法，有時難倒學生的不是解題思路，而是龐大的運算量，但是學生的計算能力往往達不到;還有題目只會做對一部分，而不是全對，就像學生通常會忽略軌跡方程的完整性和多解性;同時，學生也會缺少解題方式上的創新性，不敢嘗試高效的解題方法。更難的是，尤其是在題目聯系生活實際時，學生就會有一種恐懼感，白白浪費時間。

在老師方面，老師雖然很認真地備課，但是忽略了學生的真實感受，學生并不懂老師講的知識點，而老師也只是停留在反復的講解中，指望熟能生巧，為了應試，讓學生刷大量的題，并沒有激起學生對解析幾何學習的興趣，這樣就不能幫助學生在客觀的角度對待學習內容，更不能真正地傳遞數學思想方法。

二、 一些解決解析幾何的基本方法

目前，在高中教學中，老師創建了許多種獨特的解析幾何解法，但也并不是每一種都能適合各種學生，還需要學生在實際做題過程中，積累經驗，找到最適合自己的方法，將題目分類，并把相對應的解法匹配在后面。

（一） 坐標法

“坐標法”適用于許多的平面解析幾何，尤其是在曲線方程中，題目中給的點往往都會滿足曲線方程，所以可以確定點一定是位于曲線上，從而通過聯立多個方程組，便可以把點的坐標求出來，同時要注意多解性，還能用來判斷交點的個數。

[2014·遼寧卷]圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成—個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P。雙曲線C1：x2/a2-y2/b2=1過點P且離心率為3。

（1）求C1的方程;

（2）橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點。若以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程。

解析過程

（1）設切點坐標為（x0，y0）（x0>0，y0>0），則切線斜率為-x0/y0，切線方程為y-y0=-x0/y0（x-x0），即x0x+y0y=4，此時兩個坐標軸的正半軸與切線的交點分別為（4x0，0）、（0，4y0）。故其圍成的三角形的面積S=（1/2）·4/x0·4/y0=8/x0y0。由x20+y20=4≥2x0y0知，當且僅當x0=y0=2時x0y0有最大值，此時S有最小值，因此點P的坐標為（2，2）。

由題意知2/a2-2/b2=1，a2+b2=3a2，

解得a2=1，b2=2，故C1的方程為x2-y2/2=1。

（二） 基于平面性質的解題方法

在高考的解析幾何題目中，也不能一味地只依靠坐標法，有時坐標法并不能幫助我們一下在解決問題，還需要我們密切關注和利用一些特殊的平面性質，這樣的話，在一定程度上，還可以簡便運算，節省學生的時間。

19. 已知雙曲線E：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x。

（1）求雙曲線E的離心率。

（2）如圖1-6，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8。試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程;若不存在，說明理由。

19. （1）因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，

所以ba=2，所以c=5a，從而雙曲線E的離心率e=ca=5。

（2）由（1）知，雙曲線E的方程為x2/a2-y2/b2=1。

設直線l與x軸相交于點C。

當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|=a，|AB|=4a。又因為△OAB的面積為8，

所以12|OC|·|AB|=8，因此12a·4a=8，解得a=2，此時雙曲線E的方程為x2/4-y2/16=1。

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為x2/4-y2/16=1。

以下證明：當直線l不與x軸垂直時，雙曲線E：x2/4-y2/16=1也滿足條件。

設直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<4。

三、 總結

總而言之，平面解析幾何的內容是每一位高中生都必須掌握的知識點，其中基礎的解題策略也就是將幾何問題轉化為代數問題來進行研究，很重要的思想就是數形結合，所以，老師在教學的過程中，一定要在幾何和代數之間建立明確清晰的關系，幫助學生更好地理解基本的解題方法，真正掌握解析幾何的思想。

參考文獻：

[1]吳偉鴻.高考數學試題中解析幾何的解題策略探析[J].西部素質教育，2017，3（11）：264-265.

作者簡介：

梁杜娟，四川省廣元市，廣元市元壩中學。