高考利用函數圖像解題的策略

重慶外國語學校 劉永榮

函數是高考中考查的最重要部分，其中函數的數形結合思想是函數的核心思想之一，數形結合思想的考查是高考中必不可少的內容。今天就來簡單探討一下高考中數形結合思想常見的考查方式之一的作出函數圖像來解決相關問題的解題總結和策略。通過直接作出函數圖像來解決函數的相關問題的類型我們可以大致分為三大類型：

第一類型是利用基本初等函數圖像為基礎，通過函數的圖像變換作出所需要的圖像來解決問題。我們首先來看：

解題分析：本題討論函數的零點，實際就是考察函數圖像與x軸的交點個數問題，即可轉化為方程的實數根問題；進一步變形為的實數根問題，于是用轉化思想還原為函數與常值函數y=2的圖像交點問題，所以我們只需要作出函數的圖像即可。要作出函數的圖像，可以從基本初等函數出發，通過向右平移1個單位得到，再利用部分對稱法，保留圖像x軸上方部分，將x軸下方部分圖像關于x軸的對稱部分作出，即得到函數，最后觀察與直線y=2的交點個數即可。作出函數與y=2的圖像如下：

A.2 B.4 C.6 D.8

利用數形結合的思想，由圖易得：兩個函數圖像有八個交點，兩兩關于點（1，0）對稱，所以所有的交點的橫坐標之和為8。

總結：通過以上兩個例子不難看出，高考中的第一類型作圖問題就是以基本初等函數圖像為基礎，通過圖像變換的方式來實現所需函數的圖像，最終用數形結合的思想解決問題。

第二類型是利用函數部分解析式，結合函數的奇偶性、對稱性、周期性來完成對函數的作圖。我們來看范例：

解題分析：經過仔細讀題，很容易發現本題就是要求我們作出函數y=f（x）和函數y=log5x的圖像，觀察交點的個數。其中函數y=log5x是指數函數，圖像我們容易作出。關鍵是函數y=f（x）只告訴了部分解析式，我們可以先作出范圍的圖像；要作出函數的全部圖像，就必須結合題目給出的相關性質來作圖。首先可以由題目給出的奇偶性將函數的對稱范圍的圖像作出，得到的長度為2的圖像；最后由條件可知函數的周期為2，故可以將前面剛好一周期的圖像通過函數周期性作出全部圖像，觀察圖像得到最終結論。

第三類型是復雜函數的圖形，這類函數無法通過基本初等函數的圖像利用圖像變換和函數性質完成，此時可以考慮利用導數的思想去分析函數的圖像性質，完成大致圖像的作圖。我們來看一個范例：

由圖可知水平直線要與圖像有兩個交點，必須滿足直線在y=0和y=1之間，所以0＜2a＜1，故

通過對于以上三大類型的高考作圖解題的認知和分析，我們不難看出高考對于函數圖像考查的基本方向，我們在高考中只要遇到涉及零點，實根的有無和個數問題，均可以考慮用數形結合的思想作出圖像來解決，進一步可以參考以上三種類型的解決策略有效地完成相關高考函數問題。