“一題一課”：有效落實“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)”的教學(xué)智慧
——以一道不等式題展開的高三二輪復(fù)習(xí)課為例

江蘇省常熟市外國語學(xué)校 劉 虹

一、復(fù)習(xí)中的困惑

對于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，很多教師都頗感困惑，特別是到了二輪復(fù)習(xí)，不斷地“炒冷飯”，普遍的做法是依據(jù)高考內(nèi)容中的重點、難點，進行同類試題的堆積，然后集中講解，以期能夠提升這類試題的得分率，但學(xué)生的參與率較低，學(xué)習(xí)興趣不濃，課堂效益不高，總之，教師教的痛苦，學(xué)生學(xué)的茫然。這樣的二輪復(fù)習(xí)還是在“穿新鞋走老路”，只是對已有知識的再回顧，不能達成學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度理解，不能促進學(xué)生對知識系統(tǒng)的再建構(gòu)和再完善。

二、“一題一課”的內(nèi)涵

一輪復(fù)習(xí)后高中數(shù)學(xué)知識零散地儲存在學(xué)生的腦海里，這為我們建立知識間的豐富聯(lián)系、整合知識體系、提高學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力提供了有利的條件。近年來我們在二輪復(fù)習(xí)中積極探索基于“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)”的“一題一課”的教學(xué)設(shè)計，取得了較好的效果。“一題一課”是指一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，通過對一道典型例題的知識背景、信息轉(zhuǎn)化、切入角度、變式拓展、細節(jié)突破、思想方法等多方位的認識和分析，將問題研究得更透、更深入；幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識、熟練基本方法、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)建豐富聯(lián)系的知識系統(tǒng)和完善的認知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而提高學(xué)生核心素養(yǎng)，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

三、案例實踐

在高考數(shù)學(xué)試題中，常常出現(xiàn)含參數(shù)的不等式問題，這類問題與函數(shù)，導(dǎo)數(shù)等知識綜合在一起，特別是含參的不等式恒成立和能成立問題，思辨性很強，往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措。為此筆者特意精心挑選了這樣一個題展開深入研究。

（1）求θ的值；

（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

00g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍。

展示題目后，就讓學(xué)生思考第（1）小題。

很快學(xué)生1提出：從題目信息抓住函數(shù)g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式g'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，即xsinθ≥1在[1，+∞）恒成立。

學(xué)生2提出構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最小值可以求解。便令s（x）=xsinθ,x∈[1，+∞），直接考慮單調(diào)遞增的一次函數(shù)s（x）=xsinθ在x∈[1，+∞）的最小值即可解決問題。∵θ∈（0，π），∴ sinθ＞0,∴ sinθ=1，而

教師：對于含參不等式恒成立問題，你有什么體會或總結(jié)？

學(xué)生4得到結(jié)論：若不等式f（x）＞A在區(qū)間D上恒成立，則f（x）min＞ A；若不等式f（x）＜A在區(qū)間D上恒成立，則f（x）max＜ A。

學(xué)生5指出：可以直接構(gòu)造函數(shù)或通過變量分離再構(gòu)造函數(shù)來進行解決，利用函數(shù)的最大、最小值或上、下限來決定參數(shù)的范圍。

這時學(xué)生的思維很活躍了，第（2）小題的研究就變得很順理成章。

學(xué)生6提出：這個小題也可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題。

教師：與第（1）小題有什么區(qū)別？

學(xué)生7提出：要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩類進行討論，再轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題。

教師：直接構(gòu)造函數(shù)還是變量分離？

學(xué)生通過觀察不等式的結(jié)構(gòu)和變量范圍，得出變量分離更為簡單，于是很快有了結(jié)論：不等式在x∈[1，+∞）恒成立，或不等式在x∈[1，+∞）恒成立。令+∞）,可得，故m≥1或m≤0。

這時學(xué)生的思維更加活躍，開始討論研究第（3）小題。

教師：如何解讀“若在[1，e]上至少存在一個x0，使得

當(dāng)x=1時，不存在這樣的m；

教師：問題解決了，你有什么收獲？

學(xué)生9：若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f（x）＞A成立，即f（x）＞A在區(qū)間D上能成立，則f（x）min＞ A；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f（x）＜A成立，即f（x）＜A在區(qū)間D上能成立，則f（x）max＜ A。

學(xué)生10：求函數(shù)最值時可考慮用求導(dǎo)來研究函數(shù)的性質(zhì)。

學(xué)生11：解題時要仔細觀察，從局部到整體分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，結(jié)合x的范圍研究導(dǎo)函數(shù)的正負。

學(xué)生12：不等式能成立問題依然可以采用變量分離來解決。

教師：非常好！我們類比不等式恒成立問題考慮直接構(gòu)造函數(shù)來解決。

學(xué)生13：由于不等式左邊f(xié)（x）-g（x）與右邊h（x）都含變量x，兩邊的值都在變化，考慮采取移項把一邊變?yōu)?來處理，這樣可使問題變得相對簡潔，便于解決問題。即構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x），那么就變?yōu)閇1，e]上至少存在一個x0，使F（x0）＞0成立即可，故只需研究F（x）的最大值。令F（x）=f（x）-g（x）-h（x）

教師：這個函數(shù)的最大值怎么研究呢？

教師：導(dǎo)函數(shù)的正負決定原函數(shù)的單調(diào)性，請大家結(jié)合x的范圍觀察何時能夠確定導(dǎo)函數(shù)的值為正？

學(xué)生 14：∵ x∈ [1，e]，∴ 2e-2x≥ 0，mx2+m＞0,∴ F'（x）＞0。

教師：非常好！那我們就可以對m的正負討論來解決問題。那當(dāng)m≤0怎么突破呢？

學(xué)生15：當(dāng)m≤0時，有F（x）＜0，是不滿足題意的。

∴F（x）＜0恒成立 ∴在[1，e]上不存在x0，使得F（x0）-g（x0）＞h（x0）成立。

∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx2+m＞0 ∴F（x）＞0在 x∈[1，e]恒成立，

教師：剛才我們研究了不等式的恒成立與不等式能成立問題，邏輯上看，全稱命題的否定就是一個存在性命題，而存在性命題的否定就是一個全稱命題。而不等式的恒成立問題就是一個全稱命題，不等式的能成立問題也就是一個存在性命題，從邏輯上看它們是可以相互轉(zhuǎn)化的，那從集合論看，他們有什么關(guān)系呢？

學(xué)生16：從集合論來看，它們就是互為補集的關(guān)系。

教師：基礎(chǔ)真扎實！那我們用這個思路繼續(xù)來研究第三小題。

方案3：假設(shè)對任意x∈[1，e]，都有f（x）-g（x）≤h（x）成立，

當(dāng)x=1時，m為任意實數(shù)，

（研究函數(shù)M（x）的單調(diào)性與方案1同）∴M（x）min=M（e）

綜上可得：若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，則

四、教學(xué)思考

一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，猶如一段美妙的旋律，給人以美好的體驗，這節(jié)課所產(chǎn)生的效果是令人欣慰的。

1.“一題一課”是以教師的“深度設(shè)計”為前提，是用教師的教學(xué)智慧來點燃學(xué)生學(xué)習(xí)的火把。“一題一課”的“題”需要教師去篩選、研究和把握，要深刻理解這道題的問題背景、考查的知識點和基本數(shù)學(xué)方法、考查的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，要深入思考如何將這道題加以利用和設(shè)計、如何通過這道題打開思維的窗口。而且在課堂教學(xué)中，如何適時引領(lǐng)學(xué)生探索和反思，并提煉、歸納和總結(jié)等等，對教師平時的思考和積累、課前的精心預(yù)設(shè)和準(zhǔn)備、課上的激勵評價和教學(xué)機智等都提出了更高的要求。

2.“一題一課”一定是學(xué)生“深度參與”的過程，是在教師的“貼地而行”中實現(xiàn)學(xué)生的“翩翩起舞”。“一題一課”的設(shè)計基礎(chǔ)是“學(xué)生”，若離開對學(xué)生知識現(xiàn)狀、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、特定知識的生長點與潛在困難的準(zhǔn)確把握，再完善、再漂亮的設(shè)計也達不到理想的效果。“一題一課”的課堂要充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，一定要讓學(xué)生體會和經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，有充分的思考，去體驗數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)會理性思維，從而獲得感受、體驗和領(lǐng)悟。

3.“一題一課”是促進學(xué)生“深度學(xué)習(xí)能力”提升的途徑和方法，讓學(xué)生學(xué)會深度思考，學(xué)會感悟，從而提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。“一題一課”的研究能引導(dǎo)學(xué)生認真觀察題目中的信息和結(jié)構(gòu)特征，從不同的角度，不同的方向，加以分析探討；“一題一課”讓學(xué)生通過解題分析，重視知識的聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，深入領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)；“一題一課”讓學(xué)生學(xué)習(xí)遇到障礙善于觀察分析，敢于猜想實踐，從而培養(yǎng)學(xué)生積極思考、勇于探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣。所以“一題一課”更重視學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的提升、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生獲得更長久的發(fā)展和成長，使學(xué)生終身受益。

“一題一課”遵循學(xué)生的認知規(guī)律，“借題發(fā)揮”，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律和方法，引領(lǐng)學(xué)生自主探究和獨立思考；使學(xué)生的認知不斷完善，思維層次不斷遞進，分析問題和解決問題的能力不斷提升，達到了“做一題，通一類，會一片”的教學(xué)效果，可以說，“一題一課”的教學(xué)智慧讓課堂有效落實了“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)”。