絕對值函數多變量最值問題的解法研究

浙江省義烏市義亭中學 葉劍飛

在選擇填空的解題中，我們主張小題小做。而很多題型中，我們往往只停留于表面，用表面所呈現的函數題意，運用相應的所學知識去解答。殊不知此時我們應該應用數學中的等價轉化思想，將題轉化到易于解答或免于參數討論的形式下去解題。而數形結合是數學解題中的重要解題思想，函數本身就是數與形的結合體。一元二次函數是我們學生最熟悉不過的函數模型，也是高中階段研究函數問題的精髓所在，再加入若干參數的不等式模型，成為一類難題。可謂是最熟悉的陌生人。

那我們應如何突破這類難題呢？首先來看一下以下題型的多種解題思路，那么同種類型的題解也是異曲同工的。

法一：基于函數思想，通過換元把函數等價轉換成二次函數恒成立問題，通過討論圖像開口、對稱軸及函數平移使得絕對值內最大最小值之差小于等于1，這是參數討論的基本功，這里不作贅述。

法二：轉化為兩個函數的間距問題，即把絕對值內轉化成兩個初等函數的差，運用數形結合使得兩函數的最大間距不超過。

抓住三個關鍵點（0,0），（1,1），（4,0），可知當且僅當時，即a=-1,。兩函數差的絕對值剛好為，其他任何情況都不行。∴a+2b=-2。

法三：轉化為直線夾在兩曲線間問題，即運用絕對值不等式，把已知不等式等價轉化成一條含參數直線在固定的范圍內夾于兩已知曲線之間。

我們會發現第三種方法的奇妙之處不僅不需要參數討論，而且給我們提供了解題的另一種思路，曲線夾于兩直線之間，直線夾于兩曲線之間。

變式一：已知函數f（x）=x2+bx+c，若存在實數b,使得對任意x∈[1,2]，都有|f（x）|＜x成立。則實數c的取值范圍是_______。

法一：轉化為曲線夾于兩直線間問題。

當c≤0時，函數在x∈[1,2]上單調遞增，

法二：轉化為直線夾于兩曲線間問題。

可看成直線y=bx+c夾在y=-x-x2與y=x-x2兩曲線之間，而c為截距。

因為當y=bx+c過點（1,0）與曲線y=-x-x2相切時，

法一：轉化為函數間距問題。

∴當a=0時，f（x）=0，|b|≤2，∴6a+bmax=2。

∴當a＞0時，f（x）max-f（x）min=5a-4a≤4，即a≤ 4，

而此時5a-（-b）≤2且-b-4a≤2，∴6a+b≤6a-5a+2=a+2≤ 6。

∴當a＜0時，f（x）max-f（x）min=4a-5a≤4，即a≥ -4，

此時4a-（-b）≤2且（-b）-5a≤2，

法二：轉化為直線夾于兩直線間問題。

解析：（轉化為函數間距問題）

解析：（轉化為函數間距問題）

解含絕對值的函數問題，困難往往在于函數含有絕對值。我們首先應該清醒地認識到去絕對值還是不去絕對值，并非什么時候都要盲目地去掉絕對值，有些問題保留絕對值正好能化難為易；而去絕對值也并非一定要討論，那么絕對值這個困難也并非都是“絆腳石”，如果把它看成是“墊腳石”，正好可以從絕對值出發，借用有關絕對值的知識巧妙突破；再者，含絕對值的函數的前提還是函數，又正好運用有關函數類問題的那些思想方法，使解題時“如虎添翼”。

其次，在中學數學里，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化，幾何問題也可以代數化，“數”和“形 ”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透. 可以通過變量問題的條件和結論，或通過適當地代換轉化問題的形式.絕對值的幾何意義本身就是距離問題，不管是數軸的還是平面問題。學會將復雜函數轉化成兩初等函數差的問題，再利用數形結合的思想方法去解決含絕對值多變量函數的不等式問題還是非常具有發展空間的，拓展數學解題方向。