基于深度教學(xué)的高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

葉志娟

高中生的數(shù)學(xué)思維主要以抽象思維為主，其思維方式已經(jīng)向理性層次躍遷。數(shù)學(xué)抽象作為一種內(nèi)隱的思維品質(zhì)和最核心的素養(yǎng)，其提升之道應(yīng)立足深度學(xué)習(xí)。［1］而所謂深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在原有知識(shí)能力之上的、以學(xué)習(xí)者主動(dòng)參與為前提、重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)建立、邏輯聯(lián)系和認(rèn)知策略的元認(rèn)知過(guò)程，并通過(guò)知識(shí)、認(rèn)知策略的遷移應(yīng)用實(shí)現(xiàn)解決實(shí)際問(wèn)題.筆者基于深度學(xué)習(xí)視域下高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)提煉出以下策略，以期能為教學(xué)實(shí)踐提供一些參考.

首先要在知識(shí)的理解基礎(chǔ)上，注重知識(shí)形象化，具體化，建構(gòu)知識(shí)體系。就是要讓學(xué)生在“生活”和“數(shù)學(xué)”交替中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)重組中理解數(shù)學(xué)。通過(guò)數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)把生活常識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提煉上升為數(shù)學(xué)知識(shí)，將具體數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象為一般化，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的水平。

策略一：循環(huán)類(lèi)比式策略——在抽象的數(shù)學(xué)概念和原理的教學(xué)中，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成背景和學(xué)生原有的認(rèn)知水平，借助直觀的模型、熟悉的生活實(shí)例、已有的數(shù)學(xué)知識(shí)情境設(shè)置等方法來(lái)研究對(duì)象，通過(guò)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成新的知識(shí)體系，從而循環(huán)加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

案例1：《橢圓》概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1——概念引入：生活情境一：用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，此時(shí)學(xué)生觀察到截面為圓形。水杯傾斜，再讓學(xué)生觀察水平面，此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)截面是什么圖形？

動(dòng)手操作二：如何用一根細(xì)繩畫(huà)圓？如果將細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn)，用鉛筆挑起細(xì)繩并繃緊，移動(dòng)鉛筆，可畫(huà)出什么圖形？你會(huì)如何定義這個(gè)圖形？

【設(shè)計(jì)意圖】生活情境一是根據(jù)學(xué)生生活的經(jīng)驗(yàn)直觀感知橢圓的基本形狀，從感性的“形”入手；動(dòng)手操作二是教師提供新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以學(xué)生的思維去加工。讓學(xué)生畫(huà)圓與橢圓，識(shí)別不同情境中的相似性，經(jīng)歷抽象概括的基本過(guò)程，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。

環(huán)節(jié)2——概念構(gòu)建：當(dāng)學(xué)生看到橢圓定義的時(shí)候，大腦里想的已經(jīng)不是那個(gè)曾經(jīng)體驗(yàn)的過(guò)程，從知識(shí)構(gòu)建的角度來(lái)看，已經(jīng)構(gòu)建出來(lái)的極為抽象的兩個(gè)定點(diǎn)等于定值的點(diǎn)、線表象和數(shù)的特征。但從思維角度來(lái)看，教師甚至可以提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在生活中看到的芒果是不是也能定義？是不是也可以類(lèi)似橢圓定義的方式給出一個(gè)芒果的定義？

【設(shè)計(jì)意圖】這樣不是以標(biāo)準(zhǔn)答案的方式“告訴”學(xué)生，而是采用開(kāi)放式問(wèn)題形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立研究問(wèn)題的可能結(jié)果，建立對(duì)數(shù)學(xué)原理的充分直覺(jué)，產(chǎn)生猜想，使數(shù)學(xué)第二次抽象成為可能，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得以提升。［2］

其次要在知識(shí)形成的基礎(chǔ)上，注重大問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化。通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作畫(huà)圖，開(kāi)放性問(wèn)題，總結(jié)通性通法背后的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，歸納概括出一些解題策略，用數(shù)學(xué)背后的數(shù)學(xué)原理和蘊(yùn)學(xué)原理解釋自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，形成高度概括、有序多級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。［3］

策略二：大問(wèn)題結(jié)構(gòu)式策略——從問(wèn)題的層次出發(fā)，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題思維鏈，明確數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)象，重組原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新知識(shí)與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，對(duì)新知進(jìn)行抽象概括，形成新的知識(shí)體系，使數(shù)學(xué)抽象成為可能。

案例3：任意角三角函數(shù)的概念引入

環(huán)節(jié)1——探究：在任意角概念的基礎(chǔ)上，三角函數(shù)的概念應(yīng)該怎樣推廣？

環(huán)節(jié)2——問(wèn)題鏈：引導(dǎo)學(xué)生回顧初中三角函數(shù)的定義，依次提問(wèn)：

（1）原有定義的背景是什么？現(xiàn)在，這個(gè)背景能夠改變？

（2）在平面直角坐標(biāo)系下，原有的直角邊、斜邊可以怎樣轉(zhuǎn)化？

（3）轉(zhuǎn)化成相關(guān)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)后，三角函數(shù)的定義可以如何修改？

（4）你還有其他的推導(dǎo)途徑嗎？你會(huì)用符號(hào)加以表述嗎？

（5）這個(gè)定義可不可以適用任意角的情況？

環(huán)節(jié)3——多元交流：討論，歸納，整理，得修改后的三角函數(shù)定義。

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用大問(wèn)題結(jié)構(gòu)意識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，更能讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性，感受概念是自然的，更加深入地對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思考，使第一次抽象成為可能，并促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的完善。

第三要在知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)上，注重三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化與表征，從而實(shí)現(xiàn)有效遷移。在學(xué)生初步形成抽象概念后，要分析概念的核心屬性，包括它與其他概念的從屬關(guān)系，如何推廣到同類(lèi)事物中，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)，使之一般化，如何以它為基礎(chǔ)形成新的抽象概念等。［4］

總之，課堂研究沒(méi)有終點(diǎn).數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)要在每一節(jié)課中有意識(shí)地不斷滲透以上策略，這些策略可以交替使用，形成研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本套路，使之可操作，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象。