一題多解，感悟“函數零點”

張琪

函數f（x）的零點即是方程f（x）＝0的實數根.從方程到函數，表面看僅是改變了概念的形式，但它卻為我們的研究方程根的問題打開了大的空間。“利用函數的性質討論方程和不等式，從而使原來無法解決的問題轉化為可解了，而且體現了數學的整體性，體現了“用聯系的觀點看待問題”、“用新觀點看待舊事物”、“用動態變化的觀點看待靜態確定的事物”等思想”［1］.因此我們在函數零點教學中，讓學生弄清零點本質，引導學生有意識地運用函數知識對零點問題進行分析。

典例.已知函數f（x）＝x3－3x2+ax+2，曲線y＝f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為－2.

（1）略.（2）證明：當k＜1時，曲線y＝f（x）與直線y＝kx－2只有一個交點.

函數y＝f（x）的零點?方程f（x）＝0的根?函數y＝f（x）圖像與x軸交點的橫坐標。該句話為我們提供了解決函數零點問題的三種角度：角度一.函數轉化為方程，通過解方程求出函數的零點；角度二.數形轉化，通過研究函數圖像，利用零點存在性定理來研究問題；角度三.將函數變形，將函數零點轉化為兩個函數圖像的交點問題。該題可以從角度二和角度三來探究問題：

法1：構造函數g（x）＝f（x）－kx+2＝x3－3x2+（1－k）x+4，由g（－1）＝k－1＜0g（－1）＝k－1＜0且g（0）＝4，可知函數g（x）在（0，1）存在零點，求導得：g＇（x）＝3x2－6x+1－k

當Δ≤0即k≤－2，易知函數g（x）有唯一的零點。

當Δ＞0即－2＜k＜1，此時方程g′（x）＝0有兩個相異實根x1，x2，由圖像可知：若函數g（x）只有一個零點，滿足，消去k可得：g（x2）＝+4求導可知，g（x2）min＝min｛g（0），g（2）｝，因為g（0）＝4，g（2）＝0，所以g（x2）＞0，故函數g（x）只有一個零點，命題可證。

點評：此法由零點存在性定理，函數g（x）在（－1，0）上有一零點，結合函數的圖像性質來研究其他范圍的情形。此法的難點在于求不出具體的極值點值，需要設極值點，通過消參，構造函數來實現解題。.

法2：對解法1稍加改造得到更為簡便的作法：易知函數g（x）在（0，1）存在零點，利用條件可知：當1－k＞0，在x≤0時，g′（x）＝3x2－6x+1－k＞0，g（x）單調遞增，則函數g（x）在（－∞，0］有唯一零點.故僅需證明當x＞0時，函數g（x）無零點。設h（x）＝x3－3x2+4.求導可知：在x∈（0，+∞）時，h（x）≥0。由g（x）＝x3－3x2+（1－k）x+4＞h（x），故g（x）≥0恒成立，由此命題可證。

點評：此法技巧較強，通常做法是解法1是對參數k進行討論，而該法為什么對變量x進行討論？如果我們在解題時候能明確方向即證明：在x∈（0，+∞）時，函數g（x）無零點。緊扣k＜1，便不難想到構造函數h（x）.

法3（分離常數法）：x3－3x2+x+2＝kx－2，顯然x＝0不是該方程的解，，轉化為證明直線y＝k與曲線y＝x2－3x+1+只有一個交點。設u（x）＝x2－3x+1+（x≠0），畫出u（x）的圖像，不難發現當k＜1，直線y＝k與曲線y＝x2－3x+1+只有一個交點，由此命題可證。

法4：可知直線y＝kx－2與曲線y＝f（x）相切時，兩圖像有僅有一個交點。設切點P（x0，y0），由f′（x0）＝，可得-4＝0，解得：x0＝2，斜率k＝1，因此k＜1時，命題得證。

點評：上面解法3和解法4異曲同工，函數的零點個數問題可以應用分離法轉化為兩個函數圖像的交點問題來進行處理，此法形象直觀，是選擇填空的解題利器.但此法對圖像的精細化要求較高，需要綜合運用函數與導數等知識.

配套練習：已知函數f（x）＝ax3－3x2+1，若P存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是________。答案為（－∞，－2）。參考答案如下：

法1：顯然a≠0，利用導數結合三次函數f（x）的圖像特征，可得當a＞0時，f（x）有小于零的零點，不符合題意.當a＜0時，要使f（x）有唯一的零點x0，且x0＞0，只要極小值f）＞0，即a2＞4，所以a＜-2.

法3：依題意a≠0，f（x）存在唯一的正零點等價于兩函數ax2＝3x－或者ax＝3－圖像在（0，+∞）時僅有一個交點，后研究兩曲線的相切問題。

單墫老師認為：“有規律、便于推廣的解法才是好的解法，因為它揭示了問題的本質”。我們的教學要讓學生理解問題的本質，摸透解題的規律.函數零點問題的解題方式歸納如下：零點問題的解決其往往需要同時涉及到函數、方程、不等式的相關知識，需要在這三者中不斷進行化歸轉化。當待求目標難以直接實現時，可借助函數零點的等價條件來迂回實現.其中判斷零點問題最常用的方法就是通過構造函數。若直接求解零點問題十分困難，需要轉化為兩個函數圖象交點問題進行判定。解題途徑主要是下面三種：（1）構造函數，利用零點存在性定理研究問題；（2）完全分離，利用函數圖像最值研究問題；（3）不完全分離，利用曲線相切研究問題。

當然以上途徑，各有利弊，須由題設的特征來合理選擇，但無論選擇何種方法，均需在求解過程中，抓住“數中有形，形中有數”這一基本函數思想，通過尋找臨界，來破解函數零點問題。