全國高考數(shù)學(xué)解答題答題規(guī)范及得分要領(lǐng)系列講座（3）
———函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式選講

■北京市第十二中學(xué) 高慧明

一、函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題

例1已知函數(shù)f(x)=l nx+a(1—x)。

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a—2時(shí)，求a的取值范圍。

審題思路：求(x)的單f調(diào)性→f(x)的最大值→解f(x)max＞2a—2。

規(guī)范解答：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，

若a≤0，則f "(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增。

若a＞0，當(dāng)x∈時(shí)，f "(x)＞0；當(dāng)時(shí)，f "(x)＜0。所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，+∞)上無最大值；

當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在x=處取得最大值，最大值為—l na+a—1。

令g(a)=l na+a—1，則g(a)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)間(1)=0，于是，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g(a)＜0；當(dāng)a＞1時(shí)，g(a)＞0。

因此，a的取值范圍是(0，1)。

答題模板：第一步，寫出函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

第二步，通過討論確定f "(x)的符號(hào)。

第三步，利用f "(x)的符號(hào)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

第四步，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最值。

評(píng)分細(xì)則：(1)函數(shù)求導(dǎo)正確給1分。

(2)分類討論，每種情況給2分，結(jié)論1分。

(3)求出最大值給2分。

(4)構(gòu)造函數(shù)g(a)=l na+a—1給2分。

(5)通過分類討論得出a的范圍，給2分。

模擬訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=x2—x—l nx。

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若x1，x2是方程a x+f(x)=x2—x(a＞0)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證：l nx1+l nx2+2 l na＜0。

解析：(1)依題意，f "(x)=2x—1—

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f "(x)＜0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f "(x)＞0。

故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值f(1)=0，無極大值。

(2)因?yàn)閤1，x2是方程a x+f(x)=x2—x的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以a x1—l nx1=0，a x2—l nx2=0，兩式相減得a(x1=0，解得

要證l nx1+l nx2+2 l na＜0，即證，即 證x1x2，即證

不妨設(shè)x1＜x2，令=t＞1，只需證即可。

令h(t)=2 l nt—t+，所以h "(t)=＜0，所以h(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以h(t)＜h(1)=0，所以g "(t)＜0，所以g(t)在(1，+∞)上為減函數(shù)，所以g(t)＜g(1)=0。

所以l n2t＜t—2+在(1，+∞)上恒成立，所以原不等式成立，即l nx1+l nx2+2 l na＜0。

評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖像、極值點(diǎn)、最值、零點(diǎn)等性質(zhì)，常用到的方法為：

(1)對(duì)于確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，先求定義域，然后解不等式f "(x)＞0，再分定義域求交集得單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f "(x)＜0，與定義域求交集得單調(diào)遞減區(qū)間。

(2)對(duì)于求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可結(jié)合函數(shù)圖像判斷。

(3)求函數(shù)的極值，先求f "(x)=0的根x0，再和函數(shù)的定義域比較，如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，無極值；當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷是否有極值。

(4)求函數(shù)的最值和極值類問題，先求f "(x)=0的根x0，如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求最值；當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，進(jìn)而求得最值。

二、導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=em x+x2—m x。

(1)證明：f(x)在(—∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

(2)若對(duì)任意的x1，x2∈[—1，1]，都有|f(x1)—f(x2)|≤e—1，求m的取值范圍。

審題思路：(1)求導(dǎo)f "(x)=m(em x—1)+2x→討論m確定f "(x)的符號(hào)→證明結(jié)論。

(2)條件轉(zhuǎn)化為|f(x1)—f(x2)|max≤構(gòu)造函數(shù)g(t)=et—t—e+1→研究g(t)的單調(diào)性→尋求的條件 對(duì) 進(jìn)行討論，從而→m得出適合條件的范圍。

規(guī)范解答：(1)f "(x)=m(em x—1)+2x。

若m≥0，則當(dāng)x∈(—∞，0)時(shí)，em x—1≤0，f "(x)＜0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，em x—1≥0，f "(x)＞0。

若m＜0，則當(dāng)x∈(—∞，0)時(shí)，em x—1＞0，f "(x)＜0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，em x—1＜0，f "(x)＞0。

所以，f(x)在(—∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在[—1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x=0處取得最小值。

所以對(duì)于任意的x1，x2∈ [—1，1]，|f(x1)—f(x2)|≤e—1的充要條件是

設(shè)g(t)=et—t—e+1，則g "(t)=et—1。

當(dāng)t＜0時(shí)，g "(t)＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g "(t)＞0。故g(t)在(—∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增。

又g(1)=0，g(—1)=e—1+2—e＜0，故當(dāng)t∈[—1，1]時(shí)，g(t)≤0。

當(dāng)m∈[—1，1]時(shí)，g(m)≤0，g(—m)≤0，即①式成立；

當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，得g(m)＞0，即em—m＞e—1；

當(dāng)m＜—1時(shí)，g(—m)＞0，即e—m+m＞e—1。

綜上，m的取值范圍是[—1，1]。

答題模板：第一步，先確定函數(shù)的定義域，再求f "(x)。

第二步，根據(jù)f "(x)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

第三步，一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

第四步，通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對(duì)于最值可能在兩點(diǎn)取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立。

第五步，查看是否注意了定義域、區(qū)間的寫法，以及最值點(diǎn)的探求是否合理等。

評(píng)分細(xì)則：(1)求出導(dǎo)數(shù)給1分。

(2)討論時(shí)漏掉m=0扣1分；兩種情況只有一種討論正確給2分。

(3)確定f "(x)符號(hào)時(shí)只有結(jié)論無中間過程扣1分。

(4)寫出f(x)在x=0處取得最小值給1分。

(5)無最后結(jié)論扣1分。

(6)用其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分。

模擬訓(xùn)練2.已知函數(shù)f(x)=x2+a x—l nx，a∈R。

(1)若函數(shù)f(x)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)令g(x)=f(x)—x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈(0，e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。

(3)當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，證明(x+1)l nx。

解析：(1)f "(x)=2x+a—1=x在[1，2]上恒成立。令h(x)=2x2+a x— 1，有解得

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)=a x—l nx(x∈(0，e])有最小值3，g "(x)=a—

①當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，g(x)min=g(e)=ae—1=3，a=(舍去)。

綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)g(x)有最小值3。

(3)令F(x)=e2x—l nx，由(2)知，F(xiàn)(x)min=3，令φ(x)=，則φ "(x)=

當(dāng)0＜x＜e時(shí)，φ "(x)≥0，h(x)在(0，e]上單調(diào)遞增。

所以φ(x)max=φ(e)==3，所以e2x—l nx＞，即e2x2—

評(píng)注：證明不等式f(x)≥g(x)成立，可以構(gòu)造函數(shù)H(x)=f(x)—g(x)，通過證明函數(shù)H(x)的最小值大于等于零即可。有時(shí)候利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值比較麻煩，則可以通過特例法，即證明f(x)的最小值大于等于g(x)的最大值即可。

模擬訓(xùn)練3.已知函數(shù)f(x)=l nx，g(x)=(a—e)x+2b(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。

(1)若函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)的圖像相切于x=處，求a，b的值；

(2)當(dāng)2b=e—a時(shí)，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值。

解析：(1)a=2 e，b=—1。(過程略)

(2)令h(x)=f(x)—g(x)=l nx+(e—a)x—(e—a)，則h "(x)=+(e—a)。

當(dāng)a≤e時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，而h(1)=0，所以x∈(1，+∞)時(shí)，h(x)＞0，不合題意。

當(dāng)a＞e時(shí)，令h "(x)=0，則

因?yàn)閔 "(x)為減函數(shù)，所以x∈時(shí)，h "(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；x∈時(shí)，h "(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減。

所以hmax(x)=h1—(e—a)≤0，化簡(jiǎn)整理得l n(a—e)≥(a—e)—1。 ①

但?x＞0，l nx≤x—1等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)且x=1。

故①式成立只能a—e=1，即a=e—1。

評(píng)注：將已知恒成立的不等式由等價(jià)原理把參數(shù)和變量分離開，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知函數(shù)的最值問題處理，關(guān)鍵是搞清楚哪個(gè)是變量，哪個(gè)是參數(shù)，一般遵循“知道誰的范圍，誰是變量；求誰的范圍，誰是參數(shù)”的原則。常用方法有參變分離法和構(gòu)造函數(shù)法。

三、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式選講

例3 在平面直角坐標(biāo)系x O y中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4 sinθ，M為曲線C1上異于極點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且|O P|，2，|OM|成等比數(shù)列。

(1)求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知A(0，3)，B是曲線C2上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為2，直線A B與C1交于D，E兩點(diǎn)，試求||A D|—|A E||的值。

解析：(1)設(shè)P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|O P|，2，|OM|成等比數(shù)列，可得|O P|·|OM|=2 0，即ρ·ρ1=2 0，ρ1=

又M(ρ，θ)滿足ρ=4 sinθ，即114 sinθ，所以ρsinθ=5，化為直角坐標(biāo)方程為y=5。

(2)依題意可得B(2，5)，故kA B=1，即直線A B的傾斜角為，所以直線A B的參數(shù)方程為代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+(y—2)2=4，得t2+t—3=0，故t1+t2=—，t1t2=—3＜0，所以||A D|—|A E||=|t1+t2|=。

模擬訓(xùn)練4.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)系中，射線l：θ(ρ≥0)和曲線C：ρ(sinθ+2 c o sθ)=2

(1)判斷射線l和曲線C1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若射線l與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|O A|=|A B|，求實(shí)數(shù)m的值。

解析：(1)直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x(x≥0)，曲線C1是以(3，1)為圓心為半徑的圓，其直角坐標(biāo)方程為(x—3)2+(y—1)2=2。

(2)將θ=代入曲線C的方程得2+m，即ρ2—3ρ+2m=0，設(shè)該方程的兩根分別為ρ1，ρ2，由韋達(dá)定理知ρ1+ρ2=3，ρ1ρ2=2m。

由|O A|=|A B|知|O B|=2|O A|，即ρ2=2ρ1，所以ρ1=，ρ2=2，m=2。