導數創新題追根溯源

2019-04-09 09:46:48河南省許昌高級中學楊艷齊

中學生數理化(高中版.高考數學) 2019年3期

■河南省許昌高級中學楊艷齊

在近幾年全國及各地的高考試題中，創新型試題不斷出現，給人耳目一新的感覺，究其實質，基本是以函數的圖像性質和導數為平臺，構造出新穎的題目，而且突顯“能力立意、合理區分”的命題追求。這就要求同學們在熟練掌握函數圖像、函數性質、導數應用等基礎上認真閱讀題目，理解題設要求和符號含義，收集整理有效信息，將問題適時轉化為已知問題加以解決。

例題已知函數f(x)與g(x)的公共定義域為I，函數h(x)滿足：對任意x∈I，點(x，h(x))與點(x，g(x))均關于點(x，f(x))對稱。若f(x)=al nx—x2+a x(a＞0)，g(x)=ex+1，其中e=2.7 1 82 8…為自然對數的底數。有下列命題：

①當a=1時，曲線y=h(x)在x=1處的切線斜率為—e—2；

②當a=1，x∈[1，+∞)時，函數h(x)的值域為(—∞，—e—1]；

③若函數f(x)在(0，2)內不單調，則a的取值范圍為(0，2)；

④設函數F(x)=bl n[g(x)—1]+f "(x)+2x—a，其中b＞0，f "(x)為f(x)的導函數。若O為坐標原點，函數F(x)的圖像為C，則對任意的點M∈C，都存在唯一的點N∈C，使得t a n∠MON=b。

其中真命題的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

詳細解答：本題主要考查導數在函數研究中的應用。

由題意可知I=(0，+∞)，h(x)=2f(x)—g(x)=2al nx—2x2+2a x—ex—1(x＞0)，所以h "(x)=

命題①，當a=1時，h "(1)=2—4+2—e=—e，故命題①錯誤。

命題②，當a=1時，由①知h "(1)=—e，又因為x∈[1，+∞)時，h″(x)=—2x—2—4—ex＜0，所以h "(x)＜h "(1)=—e＜0，h(x)在[1，+∞)上單調遞減，所以h(x)≤h(1)=—e—1，故命題②正確。

命題③，由題意可知f "(x)=a—2x+x a=0在x∈(0，2)內有解，又因為a＞0，所以f "(x)在x∈(0，2)內單調遞減，所以有f "(0)·f "(2)＜0。又因為)＞0，故f "(2)＜0，即解得故命題③錯誤。

圖1

命題④，化簡整理得F(x)其大致圖像如圖1，因為對勾函數的漸近線的斜率為t a nθ=b，由圖可知，當θ＞4 5°時，不存在符合題意的點N，故命題④錯誤。

故本題正確答案為A。

易錯項分析：本題易錯點是利用導數判斷單調性及求極值時沒有注意對參數的討論，沒有考慮利用數形結合的方法解決問題，不熟悉對勾函數的漸近線性質。對于基本函數，我們一定要掌握其性質。

歸納總結：題設中的新定義涉及三個函數，其中有了f(x)和g(x)之后，h(x)就被確定了。我們逐一分析這三個函數。

f(x)是由對數函數和二次函數組合而成的函數，但是含有參數a，也就是說，f(x)的解析式隨a的變化而變化。幸運的是，題中給出了關于g(x)的函數方程。不要急著研究h(x)，先看4個命題。

命題①和②都是在a=1時研究h(x)的性質，所以我們首先研究當a=1時h(x)的解析式。當a=1時，f(x)=l nx—x2+x，又g(x)=ex+1，由題意，任取x0＞0，則點(x0，h(x0))與點(x0，g(x0))關于點 (x0，f(x0))對稱，所以故h(x0)=2f(x0)—g(x0)=2 l nx0—2+2x—ex0—1。

所以h(x)=2 l nx—2x2+2x—ex—1。

下面逐一驗證命題①，②。

①h "(x)=2—4+2—e=—e，故①錯誤。

②當x≥1時，h "(x)=—4x+2—ex＜0，故h(x)在[1，+∞)上單調遞減，所以h(x)≤h(1)=—e—1，值域為(—∞，—e—1]，故②正確。

接著看命題③。

③若函數f(x)在(0，2)上不單調，則f "(x)在(0，2)上有變號零點。

因為f "(x)=—2x+a，則—2x+a=0在(0，2)內有解且無重根，把a分離出來，得

構造函數u(x)=(x∈(0，2))，則＞0，故u(x)在(0，2)上單調遞增，u(0)=0，u(2)=，所以0＜a＜故命題③錯誤。

最后看命題④。

④F(x)=bl n(ex+1—1)+，其中b＞0，a＞0。

F(x)就是我們通常所說的“對勾函數”(有的地方叫雙勾函數，耐克函數)。對勾函數的圖像其實是雙曲線，如果換一個角度去看的話，和我們在圓錐曲線中學到的雙曲線并曲曲無線線二

圖，的就致2對有。中稱漸的軸近虛。線線既。就然是是雙雙