函數及導數應用易錯題歸類剖析

■河南省許昌高級中學 楊 濤

“函數與導數”是高中數學中的重點和難點知識，在歷年高考中都占據著重要的地位，而且這部分知識既有難度較大的填空題，還有計算煩瑣的解答題。又因為“函數”貫穿高中數學的始終，因此，學好這部分知識對同學們來說，顯然是非常必要的。鑒于這部分知識有很多易錯點，筆者根據自己的教學實踐，對這部分知識的易錯點總結剖析如下，供同學們參考。

易錯點一：概念的理解不到位

在“函數”的學習中，經常會遇到一些條件相似，但在本質及解題方法上卻存在很大差異的問題。若能及時對它們進行對比、區別，則可擺脫知識的“負遷移”，走出思維的誤區，提高解題的準確率，同時對同學們加深對概念的理解、題意的挖掘、審題能力的培養等方面都大有益處。

1.定義域與值域。

例1 (1)若函數y=l g(x2+x+2a)的定義域為R，求實數a的取值范圍；

(2)若函數y=l g(x2+x+2a)的值域為R，求實數a的取值范圍。

分析：這兩小題都屬于恒成立問題，但僅一字之差，表達的含義卻截然不同。第(1)問中要求函數u=x2+x+2a的值域為正實數集的子集，而第(2)問中則要求函數u=x2+x+2a必須取到一切正數。平時學習中第(1)問的情形較常見，解答第(2)問時，因受第(1)問的影響極易出現錯誤。因此，審題時應善于找出題組間含義的相異之處。

解：(1)依題意，x2+x+2a＞0對一切x∈R恒成立，故Δ=1 2—4×1×2a＜0，解得a＞1 8。

(2)依題意，x2+x+2a能取遍正實數集內的所有實數值即可，即要求正實數集為函數值域的子集，故Δ=1 2—4×1×2a≥0，解得a≤1 8。

2.主元與參數。

例2 (1)已知函數f(x)=x2+a x+1，在x∈[0，2]上，f(x)＞0恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)已知函數f(x)=x2+a x+1，當a∈[0，2]時，f(x)＞0恒成立，求實數x的取值范圍。

分析：在同一題目中，主元與次元是相對的，只有合理區分主元與次元，才能快速解題。

解：(1)將“x”看成主元，“a”看成參數。

①當x=0時，f(x)=1＞0恒成立，此時a∈R；

②當x∈(0，2]時，x2+a x+1＞0恒成立，即a＞又因為≤—2(當且僅當x=1時取等號)，故a＞—2。

綜上，實數a的取值范圍為(—2，+∞)。

(2)將“x”看成主元，“a”看成參數。f(x)=g(a)=x2+a x+1＞0恒成立，應有g(0)＞0，g(2)＞0，即x2+1＞0，x2+2x+1＞0，解得x≠—1。故實數x的取值范圍為(—∞，—1)∪(—1，+∞)。

易錯點二：過點P的切線與在點P處的切線

過一點求曲線的切線方程有三種不同的類型，下面舉例說明。

1.已 知 曲 線y=f(x)上 一 點P(x0，f(x0))，求曲線在該點處的

這是求曲線的切線方程的基本類型，課本上的例、習題都是這種類型。其求法為：先求出函數f(x)的導數f "(x)，再將x0代入f "(x)求出f "(x0)，即得切線的斜率，然后寫出切線方程y—f(x0)=f "(x0)(x—x0)，化簡整理即可。

例3 求曲線f(x)=x3—3x2+3在點P(1，1)處的切線方程。

解析：由題設知點P在曲線上，因為f "(x)=3x2—6x，所以曲線在點P(1，1)處的切線的斜率為f "(1)=—3，故所求的切線方程為y—1=—3(x—1)，即y=—3x+4。

2.已知曲線y=f(x)上一點A(x1，f(x1))，求過點A的曲線的切線方程。

這種類型容易出錯，一般學生誤認為點A一定為切點，事實上可能存在過點A而點A不是切點的切線，要引起注意，這類題型的求法為：設切點為P(x0，f(x0))，先求出函數f(x)的導數f "(x)，再將x0代入f "(x)求出f "(x0)，即得切線的斜率(用x0表示)，寫出切線方程y—f(x0)=f "(x0)(x—x0)，再將點A的坐標(x1，y1)代入切線方程得y1—f(x0)=f "(x0)(x1—x0)，求出x0，最后將x0代入方程y—f(x0)=f "(x0)(x—x0)，求出切線方程。

例4 求過曲線y=x3—2x上的點(1，—1)的切線方程。

解析：設切點為(x0，—2x0)，因為y "=3x2—2，所以切線斜率為3—2，故切線方程為y—(—2x0)=(3—2)(x—x0)。

又知切線過點(1，—1)，把它代入上述方程，得—1—(—2x0)=(3x0—2)(1—x0)，解得x0=1，或

故所求切線方程為y—(1—2)=(3—2)·(x—1)，或，即x—y—2=0，或5x+4y—1=0。

上面所求出的兩條直線中，直線x—y—2=0是以(1，—1)為切點的切線，而切線5x+4y—1=0并不是以(1，—1)為切點，實際上它是經過了點(1，—1)且以為切點的直線，如圖1所示。這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點。

圖1

3.已知曲線y=f(x)外一點 A(x1，f(x1))，求過點A的曲線的切線方程。

這種類型的題目的解法同上面第二種類型。

例5 過原點O作曲線y=x4—3x2+6的切線，求切線方程。

解析：由題設知原點O不在曲線上，設切點坐標為6x，切線斜率為4—6x0，切線方程為y—

故所求切線方程為y=—2x或y=2x。

易錯點三：“導數值的符號”與“函數單調性”

設函數f(x)在某個區間內可導，若在此區間f "(x)＞0恒成立，則f(x)在此區間內單調遞增；若在此區間f "(x)＜0恒成立，則f(x)在此區間內單調遞減。利用導數解決函數的單調性問題時，除了掌握以上依據，還應明確以下幾點(以增函數為例來說明)：

(1)f "(x)＞0是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的充分不必要條件。例如，函數f(x)=x2在區間(—∞，+∞)上單調遞增，但f "(x)≥0。

(2)f "(x)≥0是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的必要不充分條件。若f(x)為增函數，則一定有f "(x)≥0，但反之不一定成立。因為f "(x)≥0為f "(x)＞0或f "(x)=0兩者之一成立即可。當函數在某個區間內恒有f "(x)=0，則f(x)為常數，函數不具有單調性。

(3)f "(x)≥0且f "(x)在定義域內的任意子區間不恒為0是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的充要條件。

例6 已 知 向 量a=(x2，x+1)，b=(1—x，t)，若函數f(x)=a·b在(—1，1)上是增函數，求t的取值范圍。

錯解：因為f(x)=a·b=—x3+x2+t x+t，所以f "(x)=—3x2+2x+t。因為f(x)在(—1，1)上是增函數，則在(—1，1)上可得f "(x)＞0。因為f "(x)的圖像是開口向下的拋物線，所以當且僅當f "(1)=t—1＞0且f "(—1)=t—5＞0時，f(x)在(—1，1)上滿足f "(x)＞0，即f(x)在(—1，1)上是增函數，故t的取值范圍是(5，+∞)。

評析：忽視特殊點f(x)=0。當f(x)在某個區間內的個別點處為零，其余點處為正(或負)時，f(x)在這個區間上仍然是單調遞增(或遞減)函數。例如，在(—∞，+∞)上，f(x)=x3，當x=0時，f "(x)=0，當x≠0時，f "(x)＞0，而f(x)=x3在(—∞，+∞)上顯然是增函數。

正解：因為f(x)=—x3+x2+t x+t，所以f "(x)=—3x2+2x+t。由于函數f(x)在(—1，1)上是增函數，故在(—1，1)上可得f "(x)≥0恒成立。因為f "(x)的圖像是開口向下的拋物線，所以當且僅當f "(1)=t—1≥0且f "(—1)=t—5≥0時，f(x)在(—1，1)上滿足f "(x)≥0，即f(x)在(—1，1)上是增函數，故t的取值范圍是[5，+∞)。

一個可導函數在某點處的導數為0是在該點取極值的必要不充分條件，即可導函數在某處取得極值，則函數在此處的導數值必等于0；反之，若在某處的導數值為0，則函數在該處不一定取得極值，還需進一步檢驗f "(x)在f "(x)=0處的根的左右兩邊的導數值的符號是否異號。

易錯點四：“極值點”等同于“導數的零點”

對于滿足f "(x0)=0的點x0稱之為導數的零點，f(x)可導時f "(x)=0的點只是f(x)的極值點的必要不充分條件，所以把“極值點”等同于“導數的零點”容易出現錯誤。

例7 已知函數f(x)=在x=1處取得極值，且函數g(x)=—a x在區間(a—6，2a—3)上是減函數，求實數a的取值范圍。

錯解：由已知得f "(x)=x3+b x2—(2+a)x+2a，由f "(1)=0得b=1—a。

由已知得g "(x)=x3+b x2—(a—1)·x—a=x3+(1—a)x2—(a—1)x—a=(x—a)(x2+x+1)。

因此，當x＜a時，g "(x)＜0，即函數g(x)在(—∞，a)上單調遞減。由(a—6，2a—3)?(—∞，a)，得a—6＜2a—3≤a，故所求a的取值范圍為—3＜a≤3。

評析：以上解法忽略了一個細節，解題中用到f "(x)=0，即x=1是導數為0的點，那么x=1是不是函數的極值點呢?當b=1—a時，f "(x)=x3+b x2—(2+a)x+2a=(x—1)(x+2)(x—a)。如果a=1，那么x=1就只是函數f(x)的“拐點”而非極值點。由條件知f(x)在x=1處取得極值，因此應排除a=1，從而實數a的取值范圍應是—3＜a＜1或1＜a≤3。

總之，同學們出現這些錯誤，一方面，是由于概念本身的抽象性，對基礎知識掌握不全面或對題意理解不準確等導致的；另一方面，是因為教材對導數研究函數性質要求不全面、不太高，且教材選擇的案例又太常規、太特殊，而平時遇到的函數豐富多樣，所以同學們會出現認知盲點，出現錯誤。在平時的學習中，我們應該正視錯誤，剖析錯誤，澄清錯誤，對比分析，從而加深對概念本質的理解，消除疑惑，化解盲點，從而真正提高自己解決“函數與導數”問題的能力。