分析簡諧振動的幾個概念

劉泳

【摘要】指出關于描述諧振動的幾個公式中各物理量的普適性特點，以及在各種典型模型中的對應變化，從而加深對簡諧振動的理解。

【關鍵詞】簡諧振動 回復力 系統常數 簡諧振動的微分方程 固有圓頻率 簡諧振動方程

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）08-0233-01

在工科大學物理的教學中，研究機械振動是以簡諧振動為理想模型，而簡諧振動理想模型又是以彈簧振子為例進行分析研究的，而教科書中沒有明確指出推出的一系列公式對簡諧振動的普適性，使學生在學習中產生一些迷惑，現明確以下幾個公式的概念。

一、關于F=-kx （1）

一個振動只要滿足（1）式，即可證明此振動為簡諧振動。因為教科書是以水平彈簧振子為例得到的（1）式，因此學生容易把此式和中學的虎克定律弄混，在教學中應進一步明確（1）式中的F是指能使物體在平衡位置附近來回往復運動的回復力。對于水平彈簧振子，F是指彈簧的彈性力。而對豎直懸掛的彈簧振子，F則由重力和彈力的合力組成。對單擺是由重力沿切向的分力組成。（1）式中的k對于彈簧振子而言，正好為彈簧倔強系數，但對擺長為l的單擺

k= （2）

可見k是由系統決定的常數，可定義為系統常數。x表示相對于平衡位置的線位移。

（1）式還可用角量表示為

F=-k′ （3）

對擺長為l的單擺，k′=mg。可見由系統常數k來描述諧振動性質有其不確定性，對同一個單擺系統，當用線量表示其振動規律和用角量表示其振動規律時，系統常數的形式是不同的。

二、關于 +2x=0（4）

（4）式為簡諧振動的微分方程形式。以單擺系統為例，設擺錘質量為m，擺線長為l，擺角為 ，對單擺系統，因為 ≤50，所以sin ≈ ，x表示相對于平衡位置的線位移，回復力由重力沿切向的分力組成：

F=-mgsin ≈-mg =- x（5）

根據上式可推出由角量表示的微分方程形式：

F=ma=mla=ml =-mg ？圯 + =0（6）

與標準微分方程對比，可知？棕= 。

根據（5）式也可推出由線量表示的微分方程形式：

F=ma=m =- x？圯 + x=0（7）

與標準微分方程對比，可知？棕= 。

可見由常數？棕來描述諧振動性質，對同一個單擺系統，用線量表示其振動規律和用角量表示其振動規律時，？棕的形式是相同的。所以其能表示振動系統本身的固有屬性，振動系統本身的物理性質，因此被稱為固有圓頻率或固有角頻率。只要寫出簡諧振動的微分方程形式，和標準形式對比，就可求出固有圓頻率？棕，知道了？棕就可求固有周期T，固有頻率v。

T= ，v= （8）

三、關于x=Acos（？棕t+？漬）（9）

上式是簡諧振動的運動方程，簡稱簡諧振動方程。教科書中只簡單敘述上式為簡諧振動微分方程的解。在教學過程中可利用簡諧振動過程中機械能守恒，推導出簡諧振動方程，使學生更明確A，ω，ψ的物理意義。簡明證明過程如下：

當諧振子處于最大振幅處時，系統機械能E1= kA2（10）

當諧振子處于相對于平衡位置為x處時，系統機械能E2= kx2+ mv2（11）

因為在簡諧振動過程中，只有系統的保守內力做功，其他非保守內力和外力均不做功，所以系統作簡諧振動的總能量必然守恒，所以：

對上式分離變量，兩邊分別積分：

令？棕= ， 則（13） 式可寫為：

一般， 為了能用旋轉矢量圖直觀的表示簡諧振動的各物理量，我們令？漬′= -？漬則：

通過以上深入的講解，讓學生對簡諧振動模型有了更全面的認識， 取得了較好的教學效果。

參考文獻：

[1]物理學（第六版）東南大學等七所工科院校編，馬文蔚，周雨青，解希順改編。