指數(shù)型單元貯存壽命分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)方法及仿真分析

李 婧，朱曉軍，李 華

(1.海軍工程大學(xué) 管理工程與裝備經(jīng)濟(jì)系， 武漢 430033；2.海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院， 武漢 430033；3.海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院， 武漢 430033)

對于絕大多數(shù)的民用與軍用產(chǎn)品而言，產(chǎn)品出廠后通常都是立即投入使用或服役，產(chǎn)品在其整個(gè)壽命周期中基本上都處于工作狀態(tài)。因此，人們關(guān)心的往往只是其工作可靠性指標(biāo)，而忽視了其貯存可靠性指標(biāo)。但是，值得注意的是，有些產(chǎn)品特別是軍用武器裝備，如導(dǎo)彈、水雷和魚雷等，出廠交付后，必須在岸基倉庫、艦倉、甚至發(fā)射體或運(yùn)載體上長期貯存，只有在接到任務(wù)命令后才能投入使用，進(jìn)入戰(zhàn)斗工作狀態(tài)[1-3]。對這些武器裝備，我們不僅要關(guān)注其工作可靠性指標(biāo)，而且還更加關(guān)注其貯存可靠性指標(biāo)，而貯存壽命就是裝備貯存可靠性的一個(gè)重要參數(shù)。

貯存壽命通常是指在規(guī)定的貯存條件下裝備從開始貯存到給定可靠度時(shí)所對應(yīng)的時(shí)間[4]。本文中，我們將貯存壽命定義為產(chǎn)品從開始貯存到發(fā)生故障所經(jīng)歷的時(shí)間。能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測出武器裝備的貯存壽命，不但有利于減少武器裝備的貯存費(fèi)用、節(jié)約資源，而且可以為裝備的檢修提供正確的決策依據(jù)，在提高貯存裝備完好性的同時(shí)減少后勤保障費(fèi)用[5]。

國內(nèi)外對于貯存壽命的研究一方面通過加速壽命試驗(yàn)、加速退化試驗(yàn)[6-7]等貯存可靠性試驗(yàn)結(jié)果分析獲得；另一方面是基于信息融合技術(shù)將性能退化理論和可靠性評估的傳統(tǒng)方法相結(jié)合，利用多方面數(shù)據(jù)的綜合預(yù)測方法[8-9]。這些方法都比較成熟，但在我軍裝備貯存管理的實(shí)際環(huán)境下可操作性不強(qiáng)。本文介紹了一種利用實(shí)際貯存期間的檢測結(jié)果數(shù)據(jù)，基于貝葉斯推斷來估計(jì)指數(shù)型單元貯存壽命分布參數(shù)的方法。使用該方法可以對裝備中的指數(shù)型壽命件的貯存壽命分布規(guī)律做出較為準(zhǔn)確地估計(jì)，達(dá)到采用使用階段數(shù)據(jù)對初始的可靠性指標(biāo)進(jìn)行修正的目的，進(jìn)而為開展裝備貯存效果評估和裝備延壽、定壽等重要問題的決策提供理論依據(jù)和數(shù)據(jù)支持。

1 指數(shù)型單元貯存壽命問題描述

魚雷、水雷和導(dǎo)彈等武器都是一種長期處于貯存狀態(tài)的武器裝備，通常被稱為長期貯存裝備。以魚雷為例，由于魚雷貯存時(shí)間往往長達(dá)數(shù)年、單價(jià)昂貴，因此在時(shí)間和經(jīng)濟(jì)成本上都難以通過理論上的貯存試驗(yàn)(需要試驗(yàn)時(shí)間足夠長、樣本數(shù)量足夠多)來獲得準(zhǔn)確的魚雷貯存壽命分布參數(shù)。而且，在整個(gè)貯存期間，無論是針對整條魚雷還是組成魚雷的各個(gè)單元，都無法做到實(shí)時(shí)在線連續(xù)檢測，而只能在離散的檢測時(shí)間點(diǎn)Tc得到魚雷(或魚雷單元)“完好”或“故障”的結(jié)論。我們將武器裝備的貯存壽命記為T0，則通過離散檢測只能得到貯存壽命T0>Tc(檢測結(jié)果為“完好”)或T0

2 基于貝葉斯推斷的指數(shù)型單元貯存壽命分布參數(shù)估計(jì)模型

很多貯存裝備，比如魚雷，由于價(jià)格昂貴、貯存量較少，可獲得的貯存檢測數(shù)據(jù)很少，具有典型的小子樣特點(diǎn)，且這種檢測結(jié)果數(shù)據(jù)屬于區(qū)間數(shù)據(jù)。而貝葉斯理論既是一種應(yīng)用廣泛的小子樣理論，又便于通過似然函數(shù)處理區(qū)間數(shù)據(jù)，它可以充分地利用先驗(yàn)分布和試驗(yàn)樣本信息有效融合綜合評定，在有限的樣本下提高評估精度。

記指數(shù)型單元的平均貯存壽命為t0，共有m批次的檢測結(jié)果，第i次的檢測結(jié)果用[cTiN1iN0i]表示，cTi表示該批次的樣本單元從開始貯存到本次檢測的已貯存時(shí)間，N1i表示本次檢測結(jié)果為完好的單元數(shù)量，N0i表示本次檢測結(jié)果為故障的單元數(shù)量。則本文對指數(shù)型單元貯存壽命分布參數(shù)的估計(jì)模型由以下主要步驟組成：

步驟1 生成n個(gè)候選的失效率參數(shù)λj,1≤j≤n。

(1)

式(1)中，n的取值取決于對T0的估計(jì)精度要求。

步驟3 遍歷各個(gè)批次的檢測結(jié)果，用后驗(yàn)信息修正權(quán)重系數(shù)Wj。

1) 令i=1。

2) 根據(jù)第i次的檢測結(jié)果yi=[cTiN1iN0i]，對所有候選的失效率參數(shù)λj，計(jì)算P1j= e-λj · cTi,P0j= 1-P1j,Pj=P1jN1i·P0jN0i，則

(2)

式(2)中，Pj定量描述了檢測結(jié)果[cTiN1iN0i]發(fā)生的似然程度；cTi表示樣本單元從開始貯存到第i次檢測的已貯存時(shí)間；N1i表示第i次檢測結(jié)果為完好的單元數(shù)量；N0i表示第i次檢測結(jié)果為故障的單元數(shù)量。

3) 利用貝葉斯公式計(jì)算各候選失效率參數(shù)λj的后驗(yàn)概率πλj|yi，修正權(quán)重系數(shù)Wj，得到：

(3)

4) 令i=i+1，若i≤m則執(zhí)行2)，否則執(zhí)行步驟4。其中，m表示共有m次檢測結(jié)果。

(4)

3 算例設(shè)計(jì)

為表達(dá)方便，假定每次檢測的總樣本數(shù)量都為10。假定某指數(shù)型單元的平均貯存壽命為120個(gè)月，每6個(gè)月進(jìn)行一次檢測，共做了10次抽樣檢測，檢測結(jié)果如表1。

表1 貯存檢測結(jié)果

指數(shù)型單元貯存壽命分布參數(shù)估計(jì)過程如下：

3) 遍歷各個(gè)批次的檢測結(jié)果，修正權(quán)重系數(shù)Wj。計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 算例基于歷次檢測數(shù)據(jù)的權(quán)重系數(shù)貝葉斯調(diào)整結(jié)果

4 仿真分析

可采用下述仿真模型，來模擬樣本總數(shù)量為S的貯存過程和第i次的檢測結(jié)果。

步驟2：在這組隨機(jī)數(shù)Xs中找到所有大于cTi的隨機(jī)數(shù)，記其數(shù)量為N1i，令N0i=S-N1i。

圖1為本方法關(guān)于本文算例參數(shù)大量仿真驗(yàn)證結(jié)果的箱線圖。從仿真結(jié)果得出該指數(shù)型單元的平均貯存壽命的估計(jì)均值為133.2、根方差為26.4，說明獲得的平均貯存壽命的仿真結(jié)果與算例中設(shè)定的平均貯存壽命120個(gè)月在估計(jì)精度范圍內(nèi)是比較一致。

圖1 基于算例參數(shù)的平均貯存壽命仿真結(jié)果的箱線圖

使用上述仿真模型，下面分析本文方法對壽命分布參數(shù)估計(jì)精度的主要影響因素。

1) 檢測的樣本數(shù)量對估計(jì)精度的影響。

逐漸增加樣本數(shù)量為20，30，50 和100，將分別得到的平均貯存壽命估計(jì)值利用Matlab繪制多重箱線圖如圖2。由圖2可以看出，樣本數(shù)量少量的增加就可以使估計(jì)精度大幅度提高，如樣本數(shù)為20時(shí)，平均貯存壽命的估計(jì)均值約為128、根方差約為16；樣本數(shù)為50時(shí)，平均貯存壽命的估計(jì)均值約為123(與真值120非常接近)、根方差約為11。

圖2 不同樣本數(shù)量下對平均貯存壽命仿真結(jié)果的多重箱線圖

2) 檢測次數(shù)對估計(jì)精度的影響。

取樣本量為10(保持樣本較少數(shù)量)，保持檢測間隔不變(6個(gè)月)，逐漸增加檢測次數(shù)為10，15，20 和25，將分別得到的平均貯存壽命估計(jì)值，利用Matlab繪制多重箱線圖如圖3所示。由圖3可以看出，檢測次數(shù)這一因素對估計(jì)精度影響的靈敏度很高，隨著檢測次數(shù)的少量增加估計(jì)精度有很大提高，當(dāng)檢測次數(shù)增加為25時(shí)，平均貯存壽命的估計(jì)均值約為121.412 5、根方差約為7.831 0，與真值非常接近。可見，檢測間隔不變的情況下，檢測次數(shù)的增加使得數(shù)據(jù)對裝備壽命區(qū)間覆蓋率增高，壽命預(yù)測會更精確，這與實(shí)際情況相符。

圖3 不同檢測次數(shù)對平均貯存壽命仿真結(jié)果的多重箱線圖

3) 檢測間隔對估計(jì)精度的影響。

取樣本量N0i+N1i=10(保持樣本較少數(shù)量)，檢測次數(shù)m=10，將檢測間隔(單位：月)分別選為3，6，12和18，將分別得到的平均貯存壽命估計(jì)值,利用Matlab繪制多重箱線圖如圖4所示。由圖4可以看出，本文方法對檢測間隔并沒有要求，間隔較長時(shí)也不會影響估計(jì)精度。因此，本方法對檢測數(shù)據(jù)的要求寬松，在檢測工作頻度不高、樣本數(shù)量較少的情況下仍然能較為準(zhǔn)確地估計(jì)出裝備的壽命規(guī)律。

圖4 不同檢測間隔對平均貯存壽命仿真結(jié)果的多重箱線圖

4) 預(yù)計(jì)的壽命區(qū)間對估計(jì)精度的影響。

保持算例中其他數(shù)據(jù)不變，將預(yù)計(jì)區(qū)間分別選擇為[12，180]、[12，240]、[12，360]、[60，120]、[60，240]，將分別得到的平均貯存壽命估計(jì)值，利用Matlab繪制多重箱線圖如圖5所示。由圖5可以看出，預(yù)計(jì)區(qū)間的大小對估計(jì)精度并沒有明顯影響，只要預(yù)計(jì)區(qū)間把真值包含其中即可。圖5中第四種情況下，由于預(yù)計(jì)區(qū)間[60，120]相對真值120比較偏離導(dǎo)致結(jié)果誤差較大。可見本方法并不要求對初始預(yù)設(shè)的壽命區(qū)間有較準(zhǔn)確的估計(jì)，相反初設(shè)的范圍越寬(降低預(yù)計(jì)區(qū)間與真值偏離的概率)，最終的結(jié)果相對越理想，這也是貝葉斯估計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)之一。

圖5 不同預(yù)計(jì)區(qū)間下對平均貯存壽命仿真結(jié)果的多重箱線圖

基于對以上影響因素的分析，調(diào)整各參數(shù)的選取可實(shí)現(xiàn)本方法對貯存壽命更為精確的評估。如調(diào)整檢測次數(shù)m=20，樣本數(shù)N0i+N1i=30情況下，可以得出對平均貯存壽命的估計(jì)均值為121.674 2、根方差為8.190 4(如圖6所示)。

圖6 m=20， N0i+N1i=30的平均貯存壽命仿真結(jié)果的箱線圖

5 結(jié)論

1) 本文提出了指數(shù)型單元件貯存壽命分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)方法，通過算例設(shè)計(jì)和大量仿真分析結(jié)果說明，可以在所接受的置信區(qū)間內(nèi)較為準(zhǔn)確地估計(jì)出指數(shù)型單元件的貯存壽命分布規(guī)律。

2) 本方法的好處在于估計(jì)結(jié)果受樣本規(guī)模的影響較少，且不要求對貯存壽命的初始區(qū)間給出精確的設(shè)定，相反初始區(qū)間范圍設(shè)定越寬估計(jì)結(jié)果相對越準(zhǔn)確。