城市環境下無人機TDOA定位中到達時間差誤差統計模型

洪 偉 藺誠毅 陳 婷

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

城市環境下，由于缺乏統一的行業標準和規范，少數商用無人機處于“黑飛”狀態，從而可能引發一系列安全事件。加強對無人機的管控已成為城市公共安全方面一項重要任務。

實現對無人機實時管控的前提是對無人機的精準定位，由于無人機與地面控制站之間具有無線通訊和控制鏈路，因此可使用電磁信號監測設備，通過處理無人機自身發出的電磁波信號(例如通訊信號)到達不同監測設備的時間差實現對無人機的定位。這種定位方法稱之為時差定位(TDOA)。在二維平面內，無人機信號到達兩監測設備的時間差確定了一對以兩監測設備為焦點的雙曲線，利用三個監測設備得到兩組時差信息，得到兩對雙曲線，雙曲線的交點即為無人機的位置[1]。

1 時差定位原理分析

如圖1所示，T為無人機的位置，其坐標為(x,y)，A，B，C為三個監測設備的位置，其坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，(x0,y0)。r0、r1、r2分別為目標到監測設備C、監測設備A和監測設備B的距離，距離差為Δri，i=1,2，則定位方程為：

(1)

其中i=1,2，c代表光速。

Δti表示信號到達時間(TOA)之差，即信號到達不同監測設備的時間之差。

對式(1)進行整理得到：

(x0-xi)x+(y0-yi)y=ki+r0Δri

(2)

將式2寫成矩陣形式為：

AX=F

(3)

其中：

用偽逆法求得X的解為：

(4)

圖1 時差定位原理示意圖

令

(ATA)-1AT=[aij]2×2

(5)

則由式(4)得到目標位置的估計值為：

(6)

其中：

(7)

2 TDOA誤差分析

2.1 無人機信號視距傳播時的誤差

當無人機信號監測設備周邊無高大建筑、植被和地形遮擋時，可以認為電磁信號在無人機與監測設備之間沿直線傳播，這種傳播方式也稱為視距傳播。此時無人機信號從無人機到監測設備的傳播時間取決于信號傳播速度和無人機到監測設備的距離，并與距離呈線性關系，此時的誤差來自信號檢測。

2.2 無人機信號多徑傳播時的誤差

城市環境下，由于各種障礙物的遮擋和地形的影響，無人機電磁信號只能以反射、折射和散射的形式傳播，可以認為信號在無人機與監測設備之間存在多條直線傳播，即多徑傳播。信號多徑傳播時，可以通過統計的方法研究特定環境下的傳播誤差，并分析其統計規律。

多徑傳播時，信號傳播的時間比視距傳播時間更長，即信號多徑傳播引起了附加時延τ。統計發現τ是一個服從指數分布的隨機變量[2]，其概率密度函數為：

(8)

式(8)中的τrms是可以用式(9)表示：

τrms=Tdαβ

(9)

表1 環境與信道參數取值

信道參數T/μsασβ/dB繁華市區0.90.54一般市區0.40.54

假設從無人機到監測設備之間存在n條傳播路徑，n可以通過測量規律統計得到。監測設備能夠檢測到各支路信號，無人機信號視距傳播時到達監測設備的時間為TOA0，時延最大支路信號到達監測設備的時間為TOAmax。同一監測設備檢測到的各支路信號可看做是相互獨立的，各支路信號的附加時延為τi，τi是一組彼此獨立且都服從指數分布的隨機變量，其概率密度函數可用式(10)表示：

(10)

其中τrmsi可由式(9)可知，具體表達式見式(11)和式(12)：

τrmsi=Tdαβi

(11)

(12)

故各支路信號到達監測設備的時間TOAi可表示為TOA0+τi，其中TOAi介于TOA0與TOAmax之間。TOAi越接近視距傳播時間TOA0，監測設備檢測信號到達時間引入的附加時延誤差就越小。因此將各支路信號中最早到達監測設備的信號到達時間作為實際的信號到達時間，即實際的信號到達時間取值為TOA0+τmin。由于τi是一組相互獨立且都服從指數分布的隨機變量，其概率密度函數可由(10)可知，故τmin的概率密度函數為：

(13)

(14)

綜上，城市環境下，多徑效應使得監測設備檢測到的無人機信號到達時間與視距傳播下的無人機信號到達時間存在時間差τmin，τmin是一個服從指數分布的隨機變量，其概率密度函數可由式(13)表示。

2.3 系統誤差

監測設備在檢測信號的過程中會帶來時間誤差，其大小取決于信號檢測的手段和監測設備的精度，此時的誤差稱為系統誤差。

系統誤差是一個服從正態分布的隨機變量，其均值為0，方差為一常量，由信號檢測的手段和監測設備的精度決定。城市環境中各監測設備在檢測無人機信號時引入的系統誤差可看作是彼此相互獨立的。

2.4 TDOA測量值誤差的統計模型

假設利用m個監測設備對無人機進行TDOA定位，由于信道環境誤差和系統誤差的影響，第i個監測設備檢測到的無人機信號TOA可表示為：TOAi=TOAi0+τi0+τimin，其中：

設第i個監測設備檢測到的無人機信號到達時間為TOAi，第j個監測設備檢測到的無人機信號到達時間為TOAj，則第i個監測設備和第j個監測設備檢測到的無人機信號到達時間之差ΔTij為：

ΔTij=(TOAi0-TOAj0)+(τi0-τj0)+(τimin-τjmin)

(15)

利用類正態分布[3-4]對服從指數分布的τimin和τjmin進行擬合，類正態分布的概率密度函數如下所示：

(16)

利用最小二乘法對兩條概率密度曲線進行擬合，假設誤差累計的平方和為Q，對于任意測量值ρ(τmin)，滿足

(17)

由最小二乘意義下的最優擬合可令：

(18)

(19)

3 TDOA誤差模擬實驗

3.1 無人機信號TDOA誤差統計模型的驗證

模擬信號從無人機到監測設備1和監測設備2的傳播情況。假設無人機信號到達監測設備1和監測設備2的多徑數目均為10，可利用兩種手段獲得無人機信號到達監測設備1和監測設備2的到達時間差(TDOA)誤差。

一種方法是通過信號到達時間差誤差統計模型，隨機產生一個誤差作為模擬的TDOA誤差。另一種方法是假設兩個監測設備各自檢測到的n條支路無人機信號中都含有因多徑傳播引入的附加延時τi，τi通過由式(10)隨機產生，系統誤差根據其正態分布的特征隨機產生，將這兩個誤差疊加，最后通過求這兩個監測設備獲得的無人機信號到達時間之差獲得的TDOA作為實際的TDOA誤差。進行10000次模擬試驗，統計得到模擬TDOA誤差和實際TDOA誤差的概率密度曲線，如圖2所示。

圖2 TDOA時延概率密度分布曲線

由圖2可知，通過概率密度函數模擬的無人機信號TDOA誤差與實際的無人機信號TDOA誤差非常接近，因此該統計模型能反映出無人機信號到達各監測設備的到達時間差誤差的統計規律。

4 結束語

本文給出了一種城市環境下無人機時差定位原理，并分析了無人機TDOA定位中TDOA測量值誤差的主要來源，即多徑傳播引起的時延、監測設備檢測信號引起的誤差。從城市環境中無人機信號多徑傳播的附加時延的統計規律出發，分析建立了無人機信號到達各監測設備的TDOA誤差統計模型。最后通過Matlab進行模擬試驗，驗證了TDOA誤差統計模型的有效性，該模型反映了城市環境下無人機信號TDOA誤差的統計規律，是進一步研究TDOA定位誤差的基礎。