基于反步法的有限時間機器人環航控制器設計

張春燕 盛安冬 戚國慶 李銀伢

環航是指機器人保持一定距離環繞目標的運動,其控制器需要使機器人運行在以目標為圓心、指定半徑的期望軌跡上.環航跟蹤在軍用偵察監視、民用搜索救護等領域均有著廣泛的應用前景.目前關于完整機器人對目標環航跟蹤問題的研究已相對完善[1?6],為進一步便于工程應用,一些學者研究了非完整機器人的環航問題.根據其控制量的不同,主要分為以下兩類:

1)將機器人速率視為常數,僅以角速率為控制量[7?21].其中Park[7]在環航研究中,令速率恒定并以向心加速度作為控制量,與角速率輸入類似.文獻[8?13]針對純方位量測和純距離量測,給出了環航跟蹤系統的觀測器與控制器設計方法,并應用到多目標的跟蹤中.Lawrence[14]提出了一種基于Lyapunov矢量場引導法的環航控制器;另外,國內外研究學者將多種現代控制策略應用到環航跟蹤研究中,并取得了一系列成果[15?21].

2)部分學者在設計非完整機器人角速率控制器的同時,增加了速率測量,即以速率與角速率作為機器人輸入量[22?27],以滿足更復雜的跟蹤要求,但也增加控制器設計的難度.Summers等[22]在多機協同環航跟蹤中考慮了速率變化,但在單機環航研究中仍視速率為常數;Oh等分別利用滑模控制[23]和模型預測控制[24]提出的環航控制方法在保證機器人與目標距離固定的同時,實現了以額定速率對目標進行環航跟蹤.文獻[25?27]則實現了環航系統中,機器人軌跡漸近收斂到相對距離和環航速率固定的期望軌跡上.目標靜止時,將機器人速率固定為期望環航速率,即可利用上述控制方案達到跟蹤要求,Yu等[25]亦給出了多機定距定速環航跟蹤靜止目標的分布式控制方法.對運動目標,Arranz等[26]提出的控制方案受目標與機器人初始位置限制;Miao等[27]針對系統直角坐標系和極坐標系下運動模型分別提出了控制器的設計方法,但未考慮機器人速度受限問題,會出現速率輸入幅值偏大的問題.

上述研究中均假設機器人的運動能不受限制地滿足控制器要求,然而在實際應用中,機器人速度普遍會受到限制.如何保證機器人在速度受限情形下達到期望的控制要求,并能在有限時間內運行在期望軌跡上,是工程應用中存在的兩個現實問題.針對這些問題,本文研究了非完整機器人在速度受限下,以規定環繞速率沿固定半徑跟蹤已知目標的控制器設計問題.首先,針對機器人速度受限的情形,根據機器人運動模型及跟蹤要求,利用反步法給出了使環航系統漸近穩定的控制器;為避免有限時間控制器設計時會出現控制量幅值過大的問題[28?30],進一步給出了一種在滿足輸入約束情形下的有限時間飽和控制器,使機器人軌跡在有限時間內收斂到期望軌跡.

本文結構安排如下:第1節描述了所研究的問題;第2節給出了兩種控制器的設計方案;第3節給出了仿真比較結果;第4節為文章的結論.在文中,R表示實數集,R+表示正實數集,AT是向量或矩陣A的轉置,表示向量x的歐幾里得范數,sup表示上確界,AB表示集合{x|x∈A,x∈/B},sgn(x)表示符號函數(sgn(0)=0).

1 問題描述

本文主要研究已知目標的速度信息情況下,非完整機器人對平面目標的環航控制器設計問題.且基于工程應用,機器人的速度受限.

1.1 環繞問題描述與系統模型

將機器人視為質點,在二維笛卡爾坐標系下,機器人的運動模型為[26]:

目標在二維笛卡爾坐標系下的運動模型為:

根據環航跟蹤的控制要求,對機器人和目標的相對位置建模.為簡便書寫,定義一個角度函數,

注1.當x=y=0時,y/x是不確定的,目前數學上常用的處理方法是令atan(0,0)為某一常值或在函數定義域中排除點(0,0)[31].在本文中,atan(y,x)函數不會出現x,y均為0的情況.以式(4)中atan(yo?yt,xo?xt)為例,yo?yt=xo?xt=0表示機器人與目標位置相同,在環航應用中可以排除這種情形.因此,考慮數學完備性和工程實用性,文中定義函數atan(·)時,直接令atan(0,0)=0.

如圖1所示,在以目標為原點的極坐標下,系統相對位置可以表示為

圖1 環航跟蹤系統模型Fig.1 Model of the standofftracking system

其中,d∈R+表示機器人與目標之間的相對距離,θ∈(?π,π]表示機器人與目標之間的視線角.

問題描述:針對非完整機器人,設計速率控制器u1和角速率控制器u2,使其實現在速度受限條件下,以固定環繞速率沿指定半徑跟蹤目標.即設計u=[u1u2]T,實現

其中,dc∈R+表示規定距離,ωc∈R表示規定環繞角速率.

注2.環航跟蹤系統中,固定環繞速率等同于環繞角速率固定,考慮到機器人順時針或逆時針環繞目標,以環繞角速率代替環繞速率作為跟蹤要求.ωc>0表示機器人逆時針環繞目標;ωc<0,機器人順時針環繞目標.

假設1.基于環航跟蹤要求,機器人速率vo與目標速度νt應滿足以下條件:

注3.根據機器人環航要求可知,機器人速度與目標速度需滿足. 由于實際應用中機器人速率受限制,并不能實現對任意運動目標的環航跟蹤.在假設中給出了目標速度的條件,保證速率受限的機器人仍能完成對目標的環航跟蹤,滿足實際應用需求.

1.2 相關定義與引理

定義1[32].考慮如下連續系統:

引理1[33].若存在一個連續可微的Lyapunov方程V(xxx):D→R滿足下以下兩個條件:

2)存在k∈R+和α∈(0,1),使得對任意.則系統在平衡點有限時間穩定.且收斂時間.

引理2[34].對于x∈R,y∈R與常數p≥1,下列不等式成立

2 控制器設計

如圖1所示,定義φ:=ψo?θ+π ∈(?π,π]表示機器人航向與視線之間的角度,即ψo=θ+φ?π;定義距離誤差為實際距離與期望距離的差:ed=d?dc,ed∈(?dc,∞).

2.1 情形1:靜止目標

對目標靜止情況分析,在極坐標下環航跟蹤系統可以表示為

2.1.1 反步法控制器

如式(7)所述,系統狀態方程中存在非微分同胚映射,本節考慮了如何在此情況下利用反步法設計控制器.另外,如何選取控制器參數使機器人速率滿足約束條件的同時,提高系統收斂速度也是本節研究重點之一.

為方便控制器設計,構造一個非線性函數f(·):R→R,函數f(x)都需滿足:

下文中的fs(·)和fm(·)均為滿足上式條件的非線性函數,且函數絕對值的上界分別為,即,.

注4.根據式(8)所示條件,函數f(·)為有界的遞增函數,且f(0)=0,存在滿足條件的函數,如:等.

受文獻[27]啟發,用反步法按如下步驟設計控制器.

步驟1.將φd作為系統(7)中ed和θ子系統的虛擬控制量,即

如圖1,由于相對距離變化率與相對速度νr在視線上的分量相關,因此令

為保證虛擬控制量φd到fs(ed)的映射為微分同胚映射,即u1cos(·)存在連續可微逆映射,需sinφd0.考慮到機器人環繞目標時的期望環繞角速率為ωc,可令

構造Lyapunov函數

其導數沿閉環系統(13)為

步驟2.定義相位誤差,則.令,當時,?→0.

構造Lyapunov函數

其中,k1>0,V2是正定的,其導數為

令機器人角速率控制器為

其中,k2>0.

定理 1.機器人速率與角速率控制器分別為式(11)和式(14)時,系統(7)中距離和相位誤差(ed,eφ)漸近收斂到(0,0),且環繞角速率固定為ωc,達到式(5)所示的跟蹤要求,即機器人穩定的環繞跟蹤靜止目標.

證明.由式(11)和式(14)可得:

Lyapunov函數V2的導數沿上述閉環系統為:

根據LaSalle不變集原理[35],距離和相位誤差ed,eφ漸近收斂到不變集,即.當ωc>0時,φ=?π/2,機器人逆時針環繞目標;當ωc<0時,φ=π/2,機器人順時針環繞目標.□

定理1給出了非完整機器人環航跟蹤靜止目標的漸近穩定控制器.與文獻[27]中控制器相比,本文控制器考慮了機器人速率限制.以靜止目標為例,文獻[27]中環航跟蹤控制器如下所示:

其中,k,k1,k2∈R+,φd=atan(?ωcdc,ked). 在此控制器下,相對速度νr在視線上的分量為u1cosφd=ked.當機器人速率受限時,參數k應滿足

注5.為滿足式(2)中機器人速率限制條件,參數k選取時,需假設一個相對距離誤差的上界,使得.考慮到實際應用中距離d必然存在上下界的情況,即|ed|存在一個具有一定保守性的上界,上述假設是合理的.因此,參數k選取時應滿足.定理1中控制器以fs(ed)替代了控制器(15)中參數ked,可以選取適當的函數fs(·),使得.由式(13)可知,ed的收斂速度與ked或fs(ed)有直接關系,在此情況下,收斂速度方面本文算法優于文獻[27]方法.

2.1.2 有限時間穩定控制器

漸近穩定的系統狀態隨著時間趨向于平衡點,但不能保證在規定時間內達到期望值.進一步考慮設計機器人控制器,使相對距離在有限時間內收斂到期望距離dc,同時環繞角速率達到期望值ωc,即

其中,0

由于在進行有限時間控制器設計時通常需利用不等式進行放縮,所以控制器增益取值一般偏大,進而導致控制量幅值偏大[30].若直接利用有限時間控制器,可能會影響系統的性能,且無法保證滿足式(2)中機器人速率限制條件,因此設計了輸入受限下的有限時間飽和控制器(Finite-time saturated controller,FTSC).

定義函數

其中,x∈R,α∈(0,1),則sigα(·)為連續的遞增函數,且 sigα(0)=0.

在函數f(·)的基礎上,構造一個非線性函數h(·):R→R,

其中,c2>0,且. 函數h(·)同樣滿足式(8)中條件,即h(·)為有界連續的遞增函數,且h(0)=0.下文中的hs(·)和hm(·)均為上述形式的函數,且函數絕對值的上界分別為.

設計控制器

定理 2.機器人控制器為式(18)和式(19)時,環航系統(7)中距離和相位誤差(ed,eφ)在有限時間內收斂到(0,0),滿足式(17)中跟蹤要求,即機器人軌跡在有限時間內收斂到期望軌跡.

證明.定義一個非線性函數χ(·):R→R+,使得h(x)=χ(x)k3sigα(x),?x∈R,則

當x有界時,必然存在,使得.考慮到距離誤差ed有界,因此存在,使得對任意,都有.

環航系統(7)中控制器為式(18)和式(19)時,

根據LaSalle不變集原理[35],系統(7)在控制器(18)和(19)作用下在距離和相位誤差為(0,0)處是漸近穩定的,進一步證明其有限時間穩定.

由于0<α<1,則(α+1)/2∈(0,1).根據引理2,可得

由引理1,距離和相位誤差(ed,eφ)在有限時間內收斂到(0,0),且收斂時間滿足.

綜上所述,對任意ed∈(?dc,∞),φ∈(?π,π],在控制器(18)和(19)作用下,在有限時間內收斂到,即.

□

注 6.根據函數χ(·)的定義,當x>c2時,,因此,.可以由相對距離誤差上界,給出一個具有一定保守性的下界.當工程應用中給出規定的收斂時間Tf時,通過選取適當的控制參數使得,即可保證機器人軌跡在規定收斂時間Tf內收斂到期望軌跡.

2.2 情形2:運動目標

針對運動目標,極坐標下環航跟蹤系統可以表示為

利用反步法設計非完整機器人控制器,實現對運動目標的環航跟蹤.并針對不同的目標運動狀態,給出參數選取的方法,使機器人速率滿足約束條件的同時,提高收斂速度.

步驟1.將φd作為系統(20)中ed和θ子系統的虛擬控制量,令

由式(22)可得,|fm(·)|的上界時,;當時,;考慮如式(2)所示機器人速率限制,對于滿足假設條件的運動目標,應滿足

步驟2.對運動目標和靜止目標的環航系統,均有子系統,因此令機器人角速率輸入控制器為式(14),其中變量由式(22)和式(23)求得.

推論 1.對于滿足假設條件的運動目標,針對環航系統(20)設計控制器為式(22)和式(14)時,系統在距離和相位誤差為(0,0)處漸近穩定,滿足式(5)中跟蹤要求,實現對運動目標的環繞跟蹤.

證明部分與定理1類似,此處不再贅述.

在系統漸近穩定的基礎上,結合有限時間穩定理論設計控制器,使運動目標的環航跟蹤系統在有限時間內穩定.令

推論 2.對于滿足假設條件的運動目標,針對環航系統(20)設計控制器為式(25)和式(19)時,系統在距離和相位誤差為(0,0)處有限時間穩定,滿足式(17)中要求,機器人軌跡有限時間內收斂到期望軌跡.

證明部分與定理2類似,此處不再贅述.

3 仿真結果及分析

本節針對靜止目標、運動目標的跟蹤環航問題進行了仿真實驗.并通過與文獻[27]中控制方法進行比較,說明本文所提方法的有效性和優越性.

為確保仿真實驗的公平性,實驗中選取的機器人仿真參數均一致:最大線速度,最小線速度;機器人初始位置均為,初始航向;目標初始位置均設為;規定跟蹤距離dc=6 m,環繞角速率ωc=?0.5 rad/s.為方便選取控制器參數,假設相對距離誤差上界為.

3.1 靜止目標環航跟蹤

目標靜止時,為使文獻[27]中控制器速率輸入滿足式(2)所示的限制條件,速率控制器(15)中參數.而本文提出的考慮速率約束的反步控制器(11)和有限時間飽和控制器(18)中,c1=0,參數.

以環航跟蹤靜止目標為例,如注6所述,針對文中所提的有限時間飽和控制器,給定一個合理的收斂時間Tf,可以設計控制參數,使系統在規定時間內收斂到平衡點.根據仿真數據,令Tf=20 s.由,可得,.結合初始相對位置,可令k1=0.01,k2=5,則.為公平地比較分析三種控制器的不同點,本文所提考慮速度受限的反步法角速率控制器(14)和文獻[27]角速率控制器中參數均設為k1=0.01,k2=5.

圖2 文獻[27]方法對靜止目標的環航跟蹤Fig.2 Standofftracking a static target using control strategy in[27]

圖2為利用文獻[27]中控制器時,機器人環航跟蹤靜止目標的仿真結果,其中圖2(a)為目標位置和機器人軌跡,圖2(b)和圖2(c)分別為機器人速率和角速率輸入量u1,u2.圖3和圖4分別為本文所提考慮速度受限時的反步控制方法和有限時間飽和控制方法下,機器人對靜止目標的環航跟蹤仿真結果.圖5為三種控制器下對靜止目標環航跟蹤的相對距離d和視線角變化率θ的仿真結果對比圖.

圖3 反步法對靜止目標的環航跟蹤Fig.3 Standofftracking a static target using backstepping

由圖5中對比文獻[27]控制方法和本文考慮速率約束的反步控制方法,可看出,,即兩種控制方法均能實現穩定跟蹤.文獻[27]中參數k需滿足不等式(16)中條件,當較大時,必然導致k取值較小.圖2(b)所對應的速率控制器(15)中參數k已使機器人初始速率非常逼近,即所選取參數k已逼近其可選范圍的上界.本文提出的反步控制方法用非線性函數fs(ed)代替ked,在保證速率符合約束條件的同時,始終滿足|ked|<|fs(ed)|.因此,如圖5所示,本文所提的反步法較文獻[27]中方法,系統收斂速度有明顯的提高.另外,本文反步法控制器參數選取時,不需要考慮相對距離誤差上界.

圖4 有限時間飽和控制方法對靜止目標的環航跟蹤Fig.4 Standofftracking a static target using FTSC

由圖5仿真結果對比本文反步控制方法和有限時間飽和控制方法,可以看出,反步法控制器能使系統漸近收斂到平衡點,而在有限時間飽和控制器下,,即機器人在有限時間飽和控制器下,能在規定收斂時間Tf內達到跟蹤要求(17).另外,圖4(c)中,角速率輸入u2在t=14 s左右時,出現較大變化,主要是由于距離誤差收斂到ed=0 m時,變化較大,進而導致u2變化.

圖5 三種控制方法對靜止目標的環航跟蹤結果對比Fig.5 Standofftracking a static target with different control strategies

3.2 運動目標環航跟蹤

運動目標分為勻速目標和變速目標進行仿真分析:

圖6為利用文獻[27]中控制器時,機器人環航跟蹤勻速目標的仿真結果,其中圖6(a)為目標位置和機器人軌跡,圖6(b)為相對距離d和視線角θ的變化曲線,圖6(c)和圖6(d)分別為機器人速率和角速率輸入量u1,u2.圖7和圖8分別為機器人在本文所提考慮速度約束反步法和FTSC方法下,針對勻速目標的環航跟蹤仿真結果.圖9～11則為三種方法下對變速目標的環航跟蹤仿真結果.

對于勻速目標vt= 1m/s,令文獻[27]控制方法中參數為k= 0.075以滿足,進而使機器人速率輸入滿足式(2)所示的限制條件p; 令本文所提反步√法和FTSC方法中,滿足式(24)中不等式條件.而變速目標速率,令文獻[27]控制方法中參數為k=0.06,本文所提反步法和FTSC方法中.控制器中其他參數與靜止目標環航控制器參數一致.

圖6 文獻[27]方法對勻速目標的環航跟蹤Fig.6 Standofftracking a constant velocity target using control strategy in[27]

圖7 反步法對勻速目標的環航跟蹤Fig.7 Standofftracking a constant velocity target using backstepping

由圖7和10可以看出,對任意滿足假設條件的運動目標,機器人在具有速度約束的反步法控制方案下均能達到跟蹤要求(5),實現穩定跟蹤.與圖6和圖9對比,機器人收斂速度明顯較快.本文所提考慮速度約束反步法,較文獻[27]所提方法,具有顯著的優勢.

由仿真參數計算可得,有限時間飽和控制器下,對勻速目標的環航跟蹤系統,收斂時間應T≤30 s;對變速目標的環航跟蹤系統,收斂時間T≤40 s.由圖8和圖11可以看出,機器人與目標相對距離d和環繞角速率均能在規定時間內達到期望值.即,對任意滿足假設條件的運動目標,在本文所提有限時間飽和控制器下,機器人軌跡均能在一定時間內收斂到期望軌跡.

圖8 有限時間飽和控制方法對勻速目標的環航跟蹤Fig.8 Standofftracking a constant velocity target using FTSC

圖9 文獻[27]方法對變速目標的環航跟蹤Fig.9 Standofftracking a time-varying velocity target using control strategy in[27]

4 結論

圖10 反步法對變速目標的環航跟蹤Fig.10 Standofftracking a time-varying velocity target using backstepping

圖11 有限時間飽和控制方法對變速目標的環航跟蹤Fig.11 Standofftracking a time-varying velocity target using FTSC

本文研究了非完整機器人在二維平面內靜止和運動目標的環航跟蹤問題.針對靜止目標,首先給出了一種考慮機器人輸入約束的反步法控制器,解決了傳統控制方法中存在速率輸入過大的問題,使機器人以規定環繞速率沿期望距離跟蹤目標.在此基礎上,設計了有限時間飽和控制器,可根據應用中要求的收斂時間,設計合理的控制參數,實現速度受限情形下,機器人達到期望的跟蹤要求.最后,將控制方法推廣到對運動目標的跟蹤中,并證明了所提方法的可行性.未來將考慮與協同控制結合,將文中控制方法運用到多機器人協同環航跟蹤目標問題中.