兩道數(shù)學(xué)試題命制源流的探尋與啟示

鄭雪靜 陳清華

一線數(shù)學(xué)教師往往習(xí)慣于解題和就題論題，卻很少站在命題者的角度探尋試題命制的源流，事實(shí)上，數(shù)學(xué)競賽試題、高考試題、自主招生試題通常都具有深刻的命題背景，善于追溯問題的本源，而不是像波利亞所說的“像是帽子里跑出一只兔子”那樣憑空而來，下面的兩道試題的分析期許能起到拋磚引玉的效果，

這是一個含有6個未知量的不等式，命題者是如何想到這樣不等式？為何這6個實(shí)數(shù)之間會存在這樣的關(guān)系？下面我們來探個究竟.

1.1 試題I的源流

兩個引理，已經(jīng)啟示我們命題的背景了，下面的解法進(jìn)一步地告訴我們這個不等式的“源”.

1.2 試題I的解答

其實(shí)，不僅在競賽試題中有相應(yīng)的命題背景，高考中有些數(shù)學(xué)試題也具有豐富的問題本“源”.

2 試題Ⅱ

（2015年高考福建卷·理15）一個二元碼由0和1組成的數(shù)字串X1X2…xn（n∈N+），其中xk（k=l，2…，n）稱為第七位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼x1X2…'X7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于____.

該試題源于什么背景？命題者是如何想到的？為何用3個校驗(yàn)方程就可判定哪位碼元發(fā)生錯誤？下面我們也來探個究竟.

2.1 試題Ⅱ的源流

計算機(jī)、通信等以二進(jìn)制表示數(shù)據(jù)，但由于受元器件質(zhì)量、電路故障或者噪音干擾等因素的影響，在對二進(jìn)制數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、傳輸和存儲的過程中，有時會出現(xiàn)誤碼（將1變?yōu)?或?qū)?變?yōu)?）.這就有如何發(fā)現(xiàn)、糾正、解決誤碼的問題，所有解決這類問題的方法就是在原始數(shù)據(jù)（數(shù)碼位）基礎(chǔ)上增加幾位校驗(yàn)（冗余）位，奇偶校驗(yàn)碼是一種增加二進(jìn)制傳輸系統(tǒng)最小距離的簡單和廣泛采用的方法，分為奇校驗(yàn)碼和偶校驗(yàn)碼，一個二進(jìn)制碼字，如果它的碼元有奇數(shù)個，稱其具有奇性，如碼字：“1101101”有5個1，因此，這個碼字具有奇性，同樣，偶性碼字具有偶數(shù)個1.奇偶校驗(yàn)是給每一個碼字加一個校驗(yàn)位，用它來構(gòu)成奇性或偶性校驗(yàn)，但奇偶校驗(yàn)編碼通過增加一位校驗(yàn)位來使編碼中1的個數(shù)為奇數(shù)（奇校驗(yàn)）或者為偶數(shù)（偶校驗(yàn)），其利用的是編碼中1的個數(shù)的奇偶性作為依據(jù)，所以不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)位錯誤，在一個典型系統(tǒng)里，在傳輸以前，由奇偶發(fā)生器把奇偶校驗(yàn)位加到每個字中，原有信息中的數(shù)字在接收機(jī)中被檢測，如果沒有出現(xiàn)正確的奇、偶性，這個信息標(biāo)定為錯誤的，這時系統(tǒng)就會把錯誤的字拋掉或者請求重新發(fā)送，

在計算機(jī)中，有種位運(yùn)算符，其針對兩個二進(jìn)制數(shù)的位進(jìn)行邏輯運(yùn)算，包括“與”、“非”、“或”、“異或（XOR）”4種運(yùn)算，對于“異或”運(yùn)算，這種算法最早是用在無線電通信上，那時計算機(jī)還沒出現(xiàn)，電碼原文跟密鑰進(jìn)行異或得到密文，密文發(fā)出去后，接收方用相同密鑰對密文進(jìn)行異或計算得到原文，比如，通過1001 XOR 1111=0110加密得到密文;反過來，通過0110 XOR 1111=1001解密得到原文，

對于接收方，可以根據(jù)3個校驗(yàn)方程對接收到的信息進(jìn)行奇偶測試：

若3個校驗(yàn)方程都成立，即方程式右邊都等于0，則說明沒有錯，若不成立即方程式右邊不等于0，說明有錯，從3個方程式的右邊的值，可以判斷是哪一位出錯，比如，是第3位數(shù)字出錯，則A=0（因?yàn)榇朔匠虥]有x3），而B=l，C=1.它們可構(gòu)成二進(jìn)制ABC，以C為最低有效位，則錯誤位置就可以簡單地用二進(jìn)數(shù)ABC=011表示，其實(shí)，因（011）2=3，從而說明第3位數(shù)字出錯，若3個方程式的右邊的值為001，因（001）2 =1，說明是第1位出錯.

2.2 試題Ⅱ的解答

發(fā)現(xiàn)方程組中的第一個校驗(yàn)方程和第三個校驗(yàn)方程不成立，第二個校驗(yàn)方程成立，由第一個和第三個校驗(yàn)方程說明第1、3、4、5、6、7中有一位碼元發(fā)生錯誤，由第二個校驗(yàn)方程說明第2、3、6、7位中沒有碼元發(fā)生錯誤，因第一個校驗(yàn)方程和第三個校驗(yàn)方程都有X5，從而可以推知發(fā)生錯誤的碼元只能是第5位，即k=5.從而通信過程中正確的碼元應(yīng)該為1101001.

解法2由解法1的方程組（2），得到三個校驗(yàn)方程的結(jié)果為101，從而可以直接由二制進(jìn)換算成十進(jìn)制（101）2=lx 22 +0×21 +lx 2°=5，直接得到k=5.

解法3k從1到7逐次的取值，代入校驗(yàn)方程組（1），只要不滿足校驗(yàn)方程組（1）中的任何一個校驗(yàn)方程，則就是所求k.比如，當(dāng)k=l時，則X1=0，

3 啟示

3.1 高觀初數(shù)的應(yīng)用

法國數(shù)學(xué)家F·克萊因認(rèn)為：教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，因?yàn)橛^點(diǎn)越高，事物越顯得簡單，教師要能站得高，才能看得遠(yuǎn)，試題I具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景[5]，從高等代數(shù)的矩陣性質(zhì)揭示初等數(shù)學(xué)的不等式關(guān)系，命題立意新穎，也是近幾年高考試題、競賽試題、自主招生的一個命題特點(diǎn)，此題在用初等數(shù)學(xué)方法和高等數(shù)學(xué)方法解題的對比中可以看出，用初等數(shù)學(xué)解法需要一些技巧，而用高等數(shù)學(xué)知識解答更顯優(yōu)勢，徐利治先生有言：“由于數(shù)學(xué)科學(xué)是一個有機(jī)統(tǒng)一體，許多分支學(xué)科都有共同的客觀本原，這就決定了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)必然是互通的，”中學(xué)教師平時教學(xué)應(yīng)該多站在高觀點(diǎn)下思考初等數(shù)學(xué)的問題，站在更高的角度俯瞰初等數(shù)學(xué)，以更好地在高觀點(diǎn)下服務(wù)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，開闊視野，提升境界.

3.2 教學(xué)視角的轉(zhuǎn)變

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生知其然，還要讓學(xué)生知其所以然，更要讓學(xué)生了解甚至主動去探究何由以知其所以然，一方面，探尋問題的本“源”，追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉，不只見樹林，還見森林;[4]另一方面，把握問題的“流”，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成縱向、橫向思考問題的習(xí)慣，拓展學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，挖掘?qū)W生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，由“結(jié)果性教學(xué)”向“過程性教學(xué)”轉(zhuǎn)變，當(dāng)然，這與教師自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)有關(guān)，對教師的專業(yè)化水平提出了更高要求.

3.3 素養(yǎng)立意的命題

考試對教學(xué)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向功能，影響著教師教學(xué)的深度和廣度.2017年高考《考試大綱》指出：科學(xué)設(shè)計命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性、綜合性，著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，高考考試內(nèi)容注重頂層設(shè)計，明確“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”四層考查目標(biāo)，以及“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個考查要求.2018年新一輪高中課程改革在上海、浙江先行試行的基礎(chǔ)上也即將在全國全面啟動，期望通過改革讓學(xué)習(xí)、教學(xué)、高考的要求保持一致，高校人才選拔，自主招生，大學(xué)先修課程，這些對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求越來越高，以知識和能力為載體，突出素養(yǎng)立意，使命題有“源”而“活”、有“源”而“新”，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代的到來，具備一些信息素養(yǎng)（Information Literacy）是每一名高中生的基本素養(yǎng)，試題Ⅱ的命題值得借鑒.

3.4 數(shù)學(xué)文化的滲透

數(shù)學(xué)文化的主要內(nèi)涵是一種理性思維方式在實(shí)踐過程中的不斷探索，形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用.[5]新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價值[6]，教育部考試中心《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》（[2016]179號）指出：高考在能力要求內(nèi)涵方面增加數(shù)學(xué)文化的要求，試題Ⅱ展示了數(shù)學(xué)在計算機(jī)、通信中的應(yīng)用價值，很好地滲透了數(shù)學(xué)文化的因素.

3.5 精英人才的選拔

在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接處命題，或以時代為背景命題，這些已成為創(chuàng)新性試題命制的主流，高考、自主招生、大學(xué)先修課程，在這些選拔性考試中，命制一些能啟發(fā)和促進(jìn)學(xué)生向更深層次、從多角度思考問題的題目，才能更好地把學(xué)生的能力區(qū)分出來，才能更進(jìn)一步考查學(xué)生進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的潛能，促進(jìn)精英人才的有效選拔，同時，新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革將壓縮必修的學(xué)分，增加選修的學(xué)分，以鼓勵在共同基礎(chǔ)上學(xué)生的個性發(fā)展，為人才選拔開通更具選擇性的途徑，這些變化將給命題帶來更多的挑戰(zhàn)和機(jī)遇，

參考文獻(xiàn)

[1]方獻(xiàn)亞.正定實(shí)對稱矩陣的幾個不等式[J].數(shù)學(xué)通報，1985 （3）：31-32

[2]唐立華.的一個加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)通報，1990（8）：36-38

[3]唐立華.奧賽兵法高中數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002（9）： 159一160

[4]孫居國.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中幫助學(xué)生認(rèn)識“源”和“流”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011 （1）： 3-5

[5]陳昂，任子朝.突出理性思維弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化——數(shù)學(xué)文化在高考試題中的滲透[J].中國考試，2015 （3）：10一14

[6]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[s].北京：人民教育出版社，2017