倡導(dǎo)以形助數(shù)，培養(yǎng)思維品質(zhì)

陳榮凡

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握”，心理學(xué)家則認(rèn)為“直觀是從感覺的具體的對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助幾何直觀，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、形象化，能夠把抽象思維演化為形象思維，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，更好發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的思路，從而避免復(fù)雜的推理與計(jì)算，簡化了解題的過程，同時(shí)形成良好的思維品質(zhì)，縱觀近年來的數(shù)學(xué)試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，“以形助數(shù)”可起事半功倍的效果，下面筆者結(jié)合自身的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，就高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何倡導(dǎo)以形助數(shù)，培養(yǎng)思維品質(zhì)，談?wù)剛€(gè)人的一些思考.

1 借助直觀感知，以形助數(shù)

幾何直觀貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師通過重視直觀感知，重視數(shù)形結(jié)合等方法，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，如在三棱錐外接球表面積問題中，若能結(jié)合幾何直觀進(jìn)行求解，則可起到事半功倍的效果，在橢圓方程求解中同樣也可數(shù)形結(jié)合，直觀感知，則水到渠成，同時(shí)通過重視直觀感知，增強(qiáng)了學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)，

例1 （2015年高考新課標(biāo)Ⅱ卷·理9）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB= 90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（? ）

A.36π

B.64π

C.l44π

D.256π

解析如圖1，底面AOB的面積為定值，由可直觀感知得，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，

解析本題給定的4個(gè)點(diǎn)恰有三點(diǎn)在橢圓C上，首先要判定這4個(gè)點(diǎn)中哪三點(diǎn)在橢圓上.從幾何直觀考慮，橢圓關(guān)于其長軸、短軸是對(duì)稱的，考慮四個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱性可以判斷哪些在橢圓，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過P3，P4，又P4橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過P1，

2 借助轉(zhuǎn)化思想，以形助數(shù)

函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，其蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題亦可轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，通過轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)圖象使問題迎刃而解，

例3已知方程2-x+X2=3，則其實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為——.

解析原方程是指數(shù)與二次的“超越”方程，直接求解困難，可將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，原方程可轉(zhuǎn)化為3-X2=2-x，此時(shí)，得到y(tǒng)=3-X2，y= 2-x，借助圖象（如圖2）可知有2個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解，

解析求函數(shù)的零點(diǎn)的問題一樣可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，借助的一樣是轉(zhuǎn)化思想，此類問題借助圖形做出定性判斷是解題的常用思路，本題可做出y=f（x）的圖象，如圖3，而y=alxl的圖象如圖“V”形，欲使兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，借助圖象可知以∈（1，2）.

3 借助特殊思想，以形助數(shù)

特殊與一般思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的數(shù)學(xué)思想和方法，解決問題時(shí)，以特殊問題為起點(diǎn)，從解決特殊問題的規(guī)律中，尋求解決一般問題的方法和規(guī)律，又用以指導(dǎo)特殊問題的解決，在有關(guān)問題中，抓住其特殊之處，特別是圖形的特殊情形，以形助數(shù)，大大簡化了解題的過程，

例5 （2015年高考全國課標(biāo)I卷·理16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

解析本題乍一看，無從入手，借助圖形，利用極限思想，考慮D點(diǎn)在特殊位置，把問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，利用正弦定理即可解決問題.

4 借助幾何意義，以形助數(shù)

幾何意義即幾何圖象所具有人直觀性質(zhì)，借助幾何意義，可使代數(shù)問題幾何化，從而利用幾何圖形（幾何知識(shí)）解決代數(shù)問題，

以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，充分利用幾何圖形的直觀性，簡單簡捷地解決高中數(shù)學(xué)問題，讓我們感受借助圖形求解數(shù)學(xué)問題的魅力如所在，而在教學(xué)中，如何更好地倡導(dǎo)以形助數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，是每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該深思的問題.