倡導以形助數，培養思維品質

陳榮凡

數學家克萊因認為：“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”，心理學家則認為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”，在數學教學中，運用數形結合思想，借助幾何直觀，使某些抽象的數學問題具體化、形象化，能夠把抽象思維演化為形象思維，能夠開發學生的創造激情，有助于把握數學問題的本質，更好發現數學問題的思路，從而避免復雜的推理與計算，簡化了解題的過程，同時形成良好的思維品質，縱觀近年來的數學試題，巧妙運用數形結合思想方法解決一些抽象的數學問題，“以形助數”可起事半功倍的效果，下面筆者結合自身的高中數學教學實踐，就高中數學教學中如何倡導以形助數，培養思維品質，談談個人的一些思考.

1 借助直觀感知，以形助數

幾何直觀貫穿在整個數學學習過程中，教師通過重視直觀感知，重視數形結合等方法，培養學生幾何直觀能力，如在三棱錐外接球表面積問題中，若能結合幾何直觀進行求解，則可起到事半功倍的效果，在橢圓方程求解中同樣也可數形結合，直觀感知，則水到渠成，同時通過重視直觀感知，增強了學生的邏輯思維能力，培養了學生的思維品質，

例1 （2015年高考新課標Ⅱ卷·理9）已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB= 90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（? ）

A.36π

B.64π

C.l44π

D.256π

解析如圖1，底面AOB的面積為定值，由可直觀感知得，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設球O的半徑為R，

解析本題給定的4個點恰有三點在橢圓C上，首先要判定這4個點中哪三點在橢圓上.從幾何直觀考慮，橢圓關于其長軸、短軸是對稱的，考慮四個點的對稱性可以判斷哪些在橢圓，根據橢圓對稱性，必過P3，P4，又P4橫坐標為1，橢圓必不過P1，

2 借助轉化思想，以形助數

函數與方程思想是中學數學的基本思想，其蘊含轉化思想，函數問題可轉化為方程問題來求解，方程問題亦可轉化為方程問題來求解，通過轉化，借助函數圖象使問題迎刃而解，

例3已知方程2-x+X2=3，則其實數解的個數為——.

解析原方程是指數與二次的“超越”方程，直接求解困難，可將問題進行轉化，借助轉化思想，轉化為求兩個函數圖象的交點的個數問題，原方程可轉化為3-X2=2-x，此時，得到y=3-X2，y= 2-x，借助圖象（如圖2）可知有2個交點，故方程有2個實數解，

解析求函數的零點的問題一樣可轉化為求兩個函數圖象的交點的個數問題，借助的一樣是轉化思想，此類問題借助圖形做出定性判斷是解題的常用思路，本題可做出y=f（x）的圖象，如圖3，而y=alxl的圖象如圖“V”形，欲使兩圖象有4個交點，借助圖象可知以∈（1，2）.

3 借助特殊思想，以形助數

特殊與一般思想是中學數學的一種重要的數學思想和方法，解決問題時，以特殊問題為起點，從解決特殊問題的規律中，尋求解決一般問題的方法和規律，又用以指導特殊問題的解決，在有關問題中，抓住其特殊之處，特別是圖形的特殊情形，以形助數，大大簡化了解題的過程，

例5 （2015年高考全國課標I卷·理16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

解析本題乍一看，無從入手，借助圖形，利用極限思想，考慮D點在特殊位置，把問題轉化為解三角形的問題，利用正弦定理即可解決問題.

4 借助幾何意義，以形助數

幾何意義即幾何圖象所具有人直觀性質，借助幾何意義，可使代數問題幾何化，從而利用幾何圖形（幾何知識）解決代數問題，

以形助數，數形結合，充分利用幾何圖形的直觀性，簡單簡捷地解決高中數學問題，讓我們感受借助圖形求解數學問題的魅力如所在，而在教學中，如何更好地倡導以形助數，培養學生的思維品質，是每個數學教育工作者都應該深思的問題.