淺析元認知在高考數學解題中的應用

張陽

對于參加高考的學生，經過長期精心的備考，對高中數學的認知水平達已經到了一定的程度，系統掌握了高中數學的各個知識點，各種解決問題的通法，各類數學思想，但在高考的考場中，還需要及時準確地調用出所學的知識、方法、思想來解決問題，這就要求我們實現自我監控、自我提問、自我調節自己的心理活動，從而達到高效準確地調用各種知識儲備.

1 初識元認知

美國兒童心理學家J.H.Flavell在1976出版的《認知發展》中最早提及元認知一詞，它主要由三個部分構成：元認知知識、元認知體驗、元認知監控，在解決問題中，三個部分是一個整體，相互影響、相互促進，其中“元”指“根源、起點、根本要素”，元認知知識是個體對自己掌握知識情況的判斷，比如有的學生在做解三角形問題，擅長運用構造直角三角形求解，而有的學生則更喜歡直接應用正余弦定理解決，還有的學生喜歡運用解析幾何解決相關問題，這三類學生的元認知知識的反應就有著明顯的差異，元認知體驗則是伴隨認知活動的認知體驗或情感體驗，在解題中，通過向自己提問“這個問題屬于哪種題型”，“該題型的知識點有哪些？常用的方法有哪些？一般它的難度是大還是小？我對這類題型的掌握程度如何”，對條件進行疏理，明確目標，聯想到方法、思想后，確定了解題方案，在實施方案過程中，“我遇到了什么困難？障礙有哪些？”，還要開啟第三視角提問“目標是否達成？還有沒有更好的解決方法？是否有不足之處”等，

元認知中的核心內容是自我提問，通過提問完成體驗、監控、調用知識，元認知的作用主要是通過心理調節從而達到高效解決問題.

2 例談元認知在2018江蘇高考中的應用

2.1 2018江蘇高考填空題

帕格利（Pugalee）認為，問題解決包含問題的定向、組織、執行、確認等過程，而每個步驟包含著不同的元認知活動，波利亞（Polya）把數學解題歷程分為4個步驟：弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧，喻平老師將解題歷程分為問題表征階段、問題解決過程、解題后的反思3個過程[1]，筆者將這幾個過程與平時的教學綜合整理為5個過程：審題、聯想、方案、執行、回顧，其中審題解決了該題是什么？聯想解決了為什么？它主要和知識、方法、思想相聯系，用于激活學生頭腦中積累的知識內容，它是元認識監控的主要內容，方案階段是元認知知識在具體問題中的體現，由于不同學生的認知水平不同，他對解決問題的方案也有著不同的選擇，這一過程主要是解決了怎么辦，執行與回顧是一個完整解題的重要組成部分，它是元認知體驗過程，也是內部調節的過程，

以下以2018江蘇高考填空題中的第13題為例，進一步說明元認知活動如何幫助我們解題.

（2018年高考江蘇卷·理13）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC =120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD =1，則4a+c的最小值為▲ ，

元認知活動的流程為：

（1）審題

是什么——條件是什么？有哪些顯性條件？有哪些隱性條件？目標是什么？如何用數學語言表示條件與目標？

顯性條件：①三角形中∠ABC =120°：②角平分線BD =1.

隱性條件：①∠ABD= ∠BDC= 60°;②角平分線定理，

目標：4a+c的最小值，

數學語言：圖形.

（2）聯想

為什么——與哪些概念有關？與哪些知識點相關？常用的方法有哪些？還能與哪部分模塊有關？你為什么想到這一模塊知識？

概念：角平分線（角平分線定理）.

知識：面積公式S=.

聯想：感覺有三角形不確定，但是三角形中角平分線長度與三角形的一個角是確定的，所以想到解析幾何（描述變化與定量之間聯系的學科）.

（3）方案

怎么辦——方案的依據是什么？為什么這樣想？它如果執行的話，能預測到哪些問題？這些問題能解決嗎？這些方案選擇哪一個？為什么？

方案1角平分線定理作為切入點;

方案2面積公式作為切入點;

方案3建立坐標系，從解析幾何的角度來思考問題.

（4）執行

我的方案要調整嗎？

執行中遇到困難，是堅持還是放棄？

（5）回顧

有什么細節沒關注到嗎？

書寫的邏輯段是否完整？

有無增解或漏解？

2.2 2018江蘇高考壓軸題

歷年來高考的壓軸題主要都集中在函數與數列兩部分知識，這兩部分知識也是大學課程數學主要內容《高等代數》與《數學分析》的基礎，所以一直是命題者最為傾心的內容，用元認知助力解題，是一種很好的路徑.

（1）審題

是什么——條件是什么？有哪些顯性條件？有哪些隱性條件？目標是什么？如何用數學語言表示條件與目標？

（2）聯想

為什么——與哪些概念有關？與哪些知識點相關？常用的方法有哪些？還與哪部分模塊有關？你為什么想到這一模塊知識？

概念：等差、等比數列;絕對值不等式，

知識：恒成立問題，

聯想：將不等式恒成立轉化為求最值問題.

（3）方案

怎么辦——方案的依據是什么？為什么這樣想？它如果執行的話，能預測到哪些問題？這些問題能解決嗎？這些方案選擇哪一個？為什么？

再進一步研究兩個表達式的最值，可以選擇數列的單調性，也可以利用函數研究數列的單調性.

（4）執行

我的方案要調整嗎？執行中遇到困難，是堅持還是放棄？

如果利用函數來研究數列的單調性，就要注意可以通過換元x=n-l，x∈[1，m]來構造函數.

（5）回顧

有什么細節沒關注到嗎？書寫的邏輯段是否完整？有無增解或漏解？

此題多次用到知識的轉化，絕對值不等式問題轉化為不等式恒成立，再轉化為函數求最值，要求學生對相關知識的掌握要到位，同時還要能適時地調用出這些基礎知識.

3 元認知在解題中的應用

3.1 影響元認知在解題過程中活動的試題因素

元認知在解題中的應用效果與試題難度正相關，喻平老師在《自我監控對數學解題作業的影響》[2]中研究結論顯示：①解題自我監控能力對解答低難度數學問題沒有顯著影響，對解答中、高難度問題有著顯著影響;②解答數學問題中，內部調節比外部調節的作用更大，即有效的內部調節比外部調節更有助于成功地解決問題，

元認知屬于一種自我監控、自我體驗、自我調節的心理活動過程，這種心理活動將我們引導向正確的審題、聯想等問題表征階段，要求解題者從條件（顯性、隱性）、目標理解問題，并用數學語言來表示問題，這里的數學語言主要包含圖表語言與符號語言，所以元認知在解題中的應用更多的體現為引導性、啟發性、批判性思維，這些思維活動以自我提問開始，自我回答與自我解決問題結束，這類問題的共同特征是問題的難度比較大，屬于綜合性問題，所涉及到的知識點多，問題的轉化比較復雜，高考中一般是填空題最后兩題、解答題最后兩題的應用較多.

3.2 影響元認知在解題過程中活動的學生因素

學生認知水平影響元認知應用的效果，一定的認知水平是應用元認知成功解決問題的前提，元認知是一種心理活動，在此活動過程中，有一系列的自我提問、自我應答過程，它需要學生能夠準確地回答出自己的提問，所以學生的認知水平越高，它的應答能力就越強，扎實的學習功底，完善的知識體系，良好的學科素養是元認知應用成功的保障，如2018江蘇高考數學第13題，如果學生不清楚角平分線定理，那么他將無法從該定理入手規劃解答方案，

學生批判性思維與質疑能力影響元認知應用的效果，“通過高中數學課程的學習，學生能樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神”[3]，元認知應用的水平也反應在學生自我提問的問題質量，我們可以將元認知的引導性提問歸納為4個方面：（1）是什么？指明學生在數學表征階段的提問目的，問題的條件是什么？問題的性質是什么？需要解決的問題是什么？ （2）為什么？方案規劃階段，引導學生將面臨的具體問題與認知體系中的知識、方法、思想相關聯，一般提問，這個問題所涉及到的知識點有哪些？涉及到的概念有哪些？常用的方法有哪些？有哪些數學思想與之相關？有沒有橫向的知識模塊與之關聯？有沒有更好的解決問題的方案？（3）怎么辦？方案實施階段，此階段也含有方案的調節，在具體操作中，所遇到的困難能否克服？方案是否需要調整？是否需要執行新的方案？ （4）方案回顧階段，對自己的方案進行評價，它的優缺點有哪些？還有哪些地方不太滿意？如何修改？在今后的學習與解題中能否可以作為解題的模式？

3.3 元認知在解題過程中的具體應用

波利亞給出了數學解題歷程，并給出了一些選擇規則：“較容易的先于較困難的”、“熟悉的先于生疏的”、“整體先于部分”[4].美國教育學家舍恩菲爾德在此基礎，在實施計劃與回顧之間加入了“調節”這一環節，整理出解題過程中的自我提問常見問題[3]：所面臨的問題是什么類型的問題？選擇什么樣的解題途徑？為什么做出這樣的選擇？是否理解了題意？對可能遇到的困難是否有清醒的認識？還有其它的更好的解題途徑嗎？

可以看出，元認知在解題中的應用越來越受到教育家的關注與認可，學生在解決問題時的元認知應用含有5類自我活動：自我提問、自我評價、自我調節、自我監視、自我控制，它深入介入解決問題的各個環節，

參考文獻

[1]喻平，數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社， 2010

[2]喻平，自我監控對數學解題作業的影響[J].數學通報.2004 （12）：14-16

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2018

[4]（美）波利亞.數學的發現[M].北京：科學出版社，2001