立足概念教學 培育核心素養

尉根強

數學概念是數學的學習起點，是學生學習高中數學基礎，數學概念的形成往往經歷從直觀感知到自然語言描述進而上升到數學語言的精確刻畫的過程，因此，立足概念教學是培育學生數學核心思維的有效的抓手，本文以“函數的單調性”的教學設計為題，談談如何立足概念教學培育學生核心素養.

1 聚焦素養，確定目標

教學目標的制定是教學設計最核心的工作，是實施課堂教學的第一要素，同時也是提高課堂教學有效性的有力保證，教師只有圍繞《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱為課標）、深入研讀教材、合理分析學情，才能制定出有助于培養核心素養的教學目標，在敘述教學目標時才會主動應用可測量的行為動詞來描述學生的在學習過程中應具備的行為，真正在課堂教學中做到有的放矢.

筆者在制定“函數單調性”教學目標時經歷了以下幾個步驟：

（1）精研教材，審視內容

函數單調性是人教A版必修一“1.3函數的基本性質”的第一課時的內容，函數的單調性是研究當自變量x不斷增大時，它的函數y增大還是減小的性質，函數單調性的形式化表示是繼函數概念表示之后討論函數“變化”的一個最基本、最重要的性質，函數的單調性決定了函數圖象的基本形狀，反映出了函數變化的基本規律，函數單調性的概念是研究具體函數單調性的依據.

函數單調性的研究體現了數與形的結合，通過對函數圖象的觀察、分析、歸納，發現函數的增、減變化的直觀特征，進一步發現增、減變化數字特征，從而對其數學刻畫.

感悟教師只有精研教材，才能深入領會，專研概念的內涵和外延，理解其中的數學知識，數學思想和方法，才能為指向數學核心素養的教學目標的設定打下基礎.

（2）指向素養，設定目標

基于教材研究，立足課標引領，本節課的教學目標確定為：①學生通過熟悉的函數模型從函數圖象從左到右的升降趨勢直觀感知函數單調性（直觀想象）;②學生經歷從特殊到一般的函數性質研究過程，歸納出函數的自然語言描述，理解函數在某區間上單調的意義，進而抽象出函數單調性的符號語言描述（數據處理、邏輯推理、數學抽象）;③學生經歷概念形成過程，掌握用函數的單調性定義證明函數單調性的方法（數學運算）;④學生經歷由函數圖象的直觀，自然語言的描述到數學語言刻畫的函數研究的過程，體會函數性質研究的基本思想方法，積累函數性質研究的基本活動經驗（發展學生“四基”）.

感悟上述的教學目標的敘述與一般的三維目標的敘述有所不同，每條教學目標都是站在學生的立場，突出教師為主導，學生為主體的教學思想，闡明了學生應該通過怎樣的教學活動，通過怎樣的行為學習知識，每條都明確指向數學核心素養.

（3）學情分析，確立難點

對于高一學生，剛進入高中還沒有完全適應高中數學的學習方法，學生學習的困難在于，不能由“隨著x的增大，y也增大”（單調增）這一自然語言到“由（區間上）任意的X

因此，本節課的教學重點和難點確定為：

教學重點通過一系列具體問題的研究感悟從圖象直觀過渡到自然語言再翻譯成數學語言的函數性質研究的過程，體會數學概念的形成過程（觀察、歸納、抽象、概括、證明等），會用定義證明具體函數的單調性，

教學難點逐步由“隨著x的增大，y也增大”（單調遞增）這一自然語言轉換成“由（區間上）任意的X

感悟教學的重難點應該聚焦數學核心素養確立，學生通過單調性的學習，有利于熟悉高中數學的學習特點和方法，理解數學思想和數學方法，養成局部與整體相結合的數學思維習慣，提升學生的直觀感知、數學抽象、邏輯推理、數學運算等能力，最終達到培養學生相應數學核心素養的目的.

2 圍繞素養，設計過程

高中數學教學設計應該數學核心素養的培育貫穿課堂教學活動的全過程，突出師為主導生為主體的教學理念，通過創設有利于學生數學核心素養提升的教學情境，在教師的引導下，師生共同探索數學概念的形成過程，體會數學概念的本質，體悟高中數學學習的思想方法，從而建構起屬于自己的數學認知結構，同時在此過程中培養數學核心素養.

（1）圖象直觀，引入情境

問題1如圖1表示的是某地24小時溫度變化的情況，你能說說溫度變化特點嗎？

預設在夜里的0點到2點，溫度越來越低，夜里2點到白天的下午2點，溫度不斷升高，下午2點到夜里又不斷下降，

問題2從函數的表示我們發現，一天中的溫度可以表示成關于時間的函數，你能從函數值與自變量之間的關系來說說上述的這種變化特點嗎？

引出“函數值隨著自變量的值增大而增大”這一話題， 設計意圖讓學生學會觀察、分析、思考.

（2）探索研究，建構概念

問題3如圖2，列表描點，畫函數f（x）= X2的圖象，

設計意圖列表描點（自變量取值總是從小到大的選取，這與考察函數單調性時自變量總是從小到大取值是一致的，函數在某區間上遞增是指從左到右的問題），通過計算函數值可以體驗當自變量從小到大取值時，對應的函數值的大小變化規律.

問題4利用畫出的圖象，描述函數值增減變化特征，

預設從函數圖象及上述表格可以看出（這并不困難）：圖象在y軸左側“下降”，即區間（一∞，0]上，隨著x的增大，相應的函數值y反而隨著減小;圖象在y軸右側“上升”，也就是，在區間（0，+∞）上，隨著x的增大，相應的函數值y也隨著增大，

設計意圖幾何直觀，引導學生關注圖形所反映出的特征，體驗自變量從小到大變化時，函數值大小變化在圖形上的表現.

感悟以學生熟悉的二次函數為模型，通過學生自己描點作圖，引導學生立足幾何直觀感知函數圖象的升降特點，完成對函數單調性的圖象直觀認識，提升學生的直觀想象的素養.

問題5當自變量x從小到大變化時，函數值y是如何變化的？

設計意圖對前一個問題的再一次概括，用自然語言描述，而且，既不能說隨著x的增大y增大，也不能說隨著x的增大y減小，學生必須分段回答這個問題，體驗函數的這一特征是函數的局部特征.

感悟函數單調性，從形的角度看就是研究圖象走勢的變化規律，是上升還是下降;從數的角度看，反映的是當自變量變化時，函數值的變化情況，通過問題引導學生從直觀的圖象語言過渡到用自變量與函數值之間關系的自然語言的描述，進一步提升對概念的認識，培養學生的思維與表達的能力.

（3）層層遞進，嘗試轉化

師：我們從形和數兩個維度說明二次函數在不同區間上函數值隨自變量的變化規律，可以歸納得到二次函數在區間（0，+∞）上單調遞增，（0，+∞）叫做函數y=X2的單調遞增區間;在區間（-∞，0）上單調遞減，（-∞，0）叫做函數y=x2的單調遞減區間，那么如何用數學符號精確地表述函數的這樣性質呢？我們再看以下幾個問題.

師：在（0，+∞）上這樣的自變量取值有限嗎？可以取出多少這樣的值進行比較？

預設學生對這里的取值的表述可能會是無限，無數多等，直接表示到隨便或任意取還是有一定的困難.

問題7那么對于一般函數f（x），在（0，+∞）上的無數個自變量的值X1，x2，x3…時，當0

教師通過幾何畫板演示，讓學生感受不能用無數個自變量代替所有自變量.

設計意圖引導學生通過取值驗證，由定性觀察過渡到定量分析，由具體的數字特征逐步過渡到抽象的符號表述，初步經歷函數性質研究的特殊到一般，有限到無限的過程，提升邏輯推理素養.

感悟函數單調性概念的生成，從自然語言過渡到符號語言是教學的難點，也是學生第一次接觸用數學符號精確刻畫函數性質，要讓學生體會函數單調性符號表述的自變量取法，這樣的驗證、猜想、歸納的過程是學生體會數學抽象表述必要過程，是提升學生數學核心素養的必由之路，

教師再用幾何畫板對二次函數y= X2在y軸右側，拖動圖象上的點，再一次讓學生體會隨著自變量的增大函數值增大這一性質是不變的，

問題8 要體現在y軸右側，隨著自變量的增大函數值增大這一不變的性質，如何取值才具有一般的代表性？

預設根據學生的交流，進行歸納，在位于y軸右邊函數y= x2的圖像上隨便（任意）取兩點，橫坐標分別是x1，x2，即當0

設計意圖 在難點突破過程中，從自然語言抽象成數學符號表述，以相對口語化的“隨便”，替代精確刻畫的“任意”學生可能更容易接受.

（4）精確刻畫，突破難點

師：“隨便”取兩個自變量的值總覺得太口語化，數學概念的刻畫要求精確嚴謹，這里體現了在（0，+∞）任意取兩個自變量Xl

我們一起再來對二次函數y= X2的單調性進行符號語言的表述：函數f（x）= X2，對于x∈（0，+∞）上任意Xlf（x2），我們說函數f（x）= X2在x∈（0，+∞）上是減函數，

設計意圖這里把“隨便”換成“任意”并不突然，學生不難接受，有利于難點的突破，提升學生的數學抽象，

結論設函數f（x）的定義域為，：

如果對于定義域Ⅰ內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當X1

如果對于定義域Ⅰ內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當X1f（x2），那么就說函數f（x）在區間D上是減函數，

感悟函數單調性的概念是“動”、“靜”結合的，直觀上看要讓自變量“動”起來，但本質上，在X1

（5）應用概念，解決問題

概念的應用有助于對概念的理解，有助于進一步把握概念的本質，通過一些具體的函數單調性的證明或者函數單調區間的劃分可以進一步認識函數的單調性這個概念，筆者認為，教材安排的兩個例題就是從這個指導思想出發的，因此對于教材的理解必須要深入，對教材例題的取舍必須要慎重，

例1如圖3是定義在區間[-5，5]上的函數y=f（x），根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

預設函數y=f（x）的單調區間有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5）其中y=f（x）在區間[-5，-2），[1，3）上是減函數，在區間[-2，1），[3，5）是增函數，

設計意圖根據圖象直觀及函數的單調性概念對例題的解決，加深概念的理解.

感悟通過圖象感知，自然語言表述，符號語言表述提出了函數單調性的嚴格定義，明確了用數學語言證明函數單調性的方法，因此圖象語言與自然語言是表示函數性質常用方法，需要融合成整體進行考慮，為后續的學習作好鋪墊，

例2物理學中的波意爾定律（k是正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積v減小，壓強p將增大，試用函數的單調性證明之.

預設從壓強p表示成體積v的函數，要表示“體積v減小，壓強p將增大”，即為自變量v減小，函數值p增大，根據函數單調性的定義，只要證明函數

也就是說當體積v減小時，壓強p將增大.

設計意圖通過對具體情境的物理問題，使學生能夠應用數學概念解決相關問題，培養學生能力，

感悟教師應把重心放在思路的分析上，使學生通過對概念的應用，培養學生轉化化歸的能力，同時，讓學生進行具體的證明，使學生的邏輯推理，數學運算，數據處理的核心素養得到提升.

（6）課堂小結，感悟提升

問題9請你用圖象語言，自然語言及符號語言描述函數y=f（x）在區間（a，6）上單調遞減的函數的特征，

設計意圖 回顧探究函數單調性經歷的過程，從圖象語言、自然語言和符號語言進一步理解函數的單調性的概念，培養學生數學表達的能力，

問題10 結合例2的證明，請你概括一下用單調性的定義證明具體函數的單調性的方法（步驟）.

設計意圖 結合學生證明的親身經歷，歸納出函數單調性證明的4個步驟：任意取值、作差變形、定號判斷、給出結論，使學生對數學概念的應用進一步提升到可操作的層面，提升歸納概括的能力，

感悟 函數單調性概念的生成過程中，圖形語言、自然語言和符號語言之間的轉化至關重要，這是一個難度逐步加大的過程，也是單詞性概念深化的過程，通過課堂小結，使學生對函數性質的學習方法進一步鞏固，為后續函數性質的研究奠定基礎.

3 教學反思，自我提升

在概念教學過程中，概念的生成是一個抽象艱難的過程，通過結構、分析、歸納、概括、推理、抽象等過程，在這一過程中蘊含有大量的數學思維，涉及眾多的數學思想和方法，以函數的單調性的教學設計為例，平時的教學設計中做好以下幾個方面的鉆研.

（1）創設情境，合理引入

在數學概念教學中，運用情境引入教學，能夠讓學生有一個數學學習的充分準備，教師必須要精心設計教學情境，盡可能讓學生從熟悉的，貼近生活的實例入手，這樣有助于學生發現問題，引起認知上的沖突，通過情境引入，讓學生自己發現并提出學習的課題有時需要通過教師的引導，使學生感受到問題提出比較自然.

（2）環節合理，漸進概括

合理的教學環節是學生高效學習的前提，教師要深入研究教學環節的安排，使概念的形成層層遞進，符合學生的數學思維發展，本例中，通過形與數兩個維度使圖象變化趨勢的感性認識轉化為數學化的理性認識，但自然語言的描述仍然屬于定性描述，再通過對二次函數在（0，+∞）上函數值的比較及配合幾何畫板的演示，使學生對任意取值有了體會和認識，這時學生通過“隨便”取來進行表述，單調性概念已經呼之欲出，這樣漸進式的概括使學生能充分參與到概念的生成過程之中，過程自然流暢，對學生數學思維的培育及數學表達有極大的提升.

（3）問題引領，抽象自然

在概念教學中，教師要在課堂教學中精心設置問題鏈，使學生在教師的問題引領下獨立思考和探索，在教師同學的共同交流反思下獲取概念，本課例中，所設置的問題從實際問題化為數學問題，由圖象直觀問題轉化為數學精確問題，通過問題的不斷推進使學生對概念中的“任意”有了自己的認識，也逐步實現了由圖象語言到自然語言到符號語言的不斷深入轉化，不斷把學生的形象思維推向理性思維，使學生從具體到抽象的過程顯得更加自然.

（4）主動學習，實踐鞏固

在概念教學過程中，對概念的抽象必須忌快倡慢，以學生的理解為準則，對概念的應用忌聽倡做，以學生的動手實踐為主，教師在課堂上引導學生進行積極的探究，在本例中筆者始終堅持通過學生的主動探究得到概念，以教學活動促使學生對函數單調性的概念理解的更加透徹，在概念應用鞏固環節，教師也要舍得花時間，因為不是通過教師的課堂反復強調就能起作用的，

數學概念教學是高中數學教學中最本源最重要的，同時對學生的核心素養的培養伴隨著概念教學的始終，作為一線教師，要以學生的發展為本，圍繞提升學生數學核心素養進行教學設計.

參考文獻

[1]孫宏安.數學素養概念的精確化[J].中學數學教學參考，2016 （25）：2-5

[2]黎棟材，龍正武，王尚志.站在系統的高度整體把握函數的單調性教學[J].數學通報，2015 （12）： 7-11，15

[3]楊志文.聚焦數學核心素養的教學活動設計[J].中學數學月刊，2016（08）： 43-45