核心素養觀下幾何定理教學的目標定位與策略選擇

陳曉曦

學生發展核心素養在各學科具體化為學科核心素養，發展學生的學科核心素養的關鍵基礎是發展學生的核心數學能力，依據《義務教育數學課程標準（2011版）》提出的十個“核心概念”，本文以《多邊形的內角和與外角和（2）》一課為例，旨在分析在初中幾何定理教學中，如何以發展學生的數學核心素養為契機，談談幾何教學中落實做好教學目標定位與教學策略的選擇.

1 從課標定位確定教學目標

多邊形在現實生活中普遍存在，它是初中數學中空間與圖形的重要內容之一，本節課是在前面學習了三角形的內（外）角和、認識了多邊形（內角、外角、對角線等）并且了解正多邊形的基礎上探索多邊形的內角和與外角和，本節課是三角形內角和知識的延伸與拓展，同時也為后面探究平行四邊形、多邊形鑲嵌、正多邊形與圓關系等內容提供了方法和條件，因此，本課的學習有著重要的意義，在平面幾何的學習中，起著承前啟后的作用.

1.1 知識層面

本節課是在前面學生已學習了三角形的內角和與特殊四邊形內角和等知識的基礎上引入的，它屬于“空間與圖形”領域中“圖形的認識”部分中的重要內容之一，而且對今后研究特殊多邊形起著鋪墊作用，在探究過程中其所涉及的類比、從特殊到一般、轉化化歸等數學思想方法，是學生今后學習和研究數學所必備的思想方法，因此，本課在初中數學學習中占有十分重要的地位和作用，而且為今后繼續研究空間幾何等內容奠定了基礎，同時研究多邊形內角和同時也對發展學生的空間觀念和幾何直觀提供很大的幫助，另外考慮到探索過程需要充足的時間和空間，把多邊形的基本概念內容安排在第一課時完成，本節則側重于多邊形的內角和與外角和的探索過程和初步應用.

1.2 能力層面

學生在小學階段與前面學習平面幾何過程中，已初步掌握通過一定操作活動經驗（剪拼、畫圖、度量等）以及初步掌握了一定的推理猜想驗證方法，已初步積累了一定的數學歸納與推理能力，本節將通過探索多邊形的內（外）角和公式，讓學生經歷“觀察（計算）一猜想一驗證一應用”的學習過程，組織學生操作實驗、觀察現象，提出猜想、推理論證等，培養學生分析問題、解決問題的能力，以及發展學生合情推理與探究實踐等.

1.3 思想層面

本節關于多邊形的內（外）角和的探索過程中所涉及的從特殊到一般、轉化化歸、分類討論、合情推理等數學思想方法，是學生今后學習和研究數學所必備的基本思想，此外本課中還滲透美育，凸顯數學的簡潔美，讓學生在合作學習過程中學會與人相處，感受探索與創造的樂趣，體驗獲得成功的喜悅，并通過合情推理和演繹推理的有機結合逐步培養學生的數學核心素養等能力，

因此，根據課程標準的要求，筆者在設計《多邊形的內角和與外角和（2）》的教學目標時，確定了以下3個方面的教學目標：

1.3.1 知識技能

理解并掌握多邊形內（外）角和公式的推導方法，并學會應用公式解決數學問題.

1.3.2 數學能力

①通過類比、推理等數學活動，探索多邊形的內角和與外角和公式，感受數學思考過程的條理性，培養推理能力和語言表達能力，并會利用所學知識解決實際問題，

②通過把多邊形轉化成三角形，體會轉化思想在幾何中的運用，同時讓學生體會從特殊到一般的認識問題的方法.

1.3.3 數學思想

在探究多邊形的內角和、外角和公式過程中，進一步體會通過合理推理探索數學結論，并會用演繹推理加以證明，在多種形式的小組活動中，著重培養學生體會到轉化化歸、分類討論、合情推理等數學思想的作用，以及體會一定的數學思維方式.

2 從學習實際選擇教學策略

根據“教學手段必需為實現教學目標服務，并起到積極輔助教學的作用”，本節課依托多媒體，借用幾何畫板，Flash動畫、投影儀等多種信息技術手段，激發學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學有效性，在教學實際中主要選取以下教學策略：

2.1 蘇格拉底的“產婆法”

即不是直截了當地把知識告訴學生，而是通過循循善誘，揭露認識中的矛盾，引導學生主動參與，尋求問題的答案，老師著眼于引導、學生著眼于探索，整個過程側重于學生能力的提高，同時考慮學生的個體差異，實施分層遞進式教學法.

2.2 預設教學法

即教師對學生可能產生的多種情況，準備好各種預設，并在教學過程中適時與學生交流或為學生的不足作補充，從而提高課堂教學有效性.

2.3 采用荷蘭數學家弗蘭登塔爾的“再創造”法

即學生在教師的指導下，自主參與知識的構建，由本人把所要學的東西再“創造”出來，而教師僅立足于引導學生觀察與實驗、朕想與類比、歸納與演繹.

3 從教學策略角度選擇處理教學內容

3.1 溫故知新

問題1 三角形的內角和是多少？這與形狀大小有關嗎？你是用什么方法得到結論的？

問題2 平行四邊形、長方形、正方形的內角和分別是多少？那么任意四邊形的內角和呢？

問題3 你能猜想并驗證任意四邊形的內角和嗎？ （度量法與剪拼法等驗證）

問題4 你還能用“剪拼法”繼續探索五邊形、六邊形……的內角和嗎？

（學生可能會回答：能或不能，請回答“能”的同學上臺利用投影儀演示剪拼過程，同時師生會共同發現隨著邊數的增加，剪拼難度越來越大.）

3.2 探索發現

師生合作共同按以下步驟討論和交流：探究求四邊形內角和的方法，

預設如下

預設1 “度量法”直接用量角器測量出各角的度數，并計算四邊形內角和為360°;

預設2 “奠基法”（用列表法和圖形相結合）得到五邊形內角和為360°;

預設3 過任一頂點把四邊形分成2個三角形，得到四邊形內角和：180°x2= 360°（如圖3）;

預設4 過內部任一點，把四邊形分成4個三角形，得到四邊形的內角和為：180°×4-360°=360°（如圖4）;

預設5 過邊上任一點，把四邊形分成3個三角形，得到四邊形的內角和為：180°×3-180°=360°（如圖5）;

預設6 過外部任一點，把四邊形分成3個三角形，得到四邊形的內角和為：180°×3-180°=360°（如圖6）.……

3.3 總結歸納

（1）通過對四邊形內角和的探究，學生已具有探索多邊形內角和的激情和能力，這時進一步引導可選擇以上其中一種方法繼續探究五邊形、六邊形……n邊形的內角和（比如選用預設3，見圖7），并猜想、歸納、驗證得”邊形的內角和為（n-2）x180°.

（2）這里筆者準備了4個預設和學生進行交流或為學生的不足進行補充：

預設1 任取n邊形的一個頂點，n邊形被過這點的對角線分割成（n-2）個三角形，并求得n邊形的內角和為：（n-2）x180°（如圖8）;

預設2 在n邊形的內部任取一點，該點與多邊形各頂點的連線構成n個三角形，并求得n邊形內角和為：nx180°- 360°=（n-2）x180°（如圖9）;

預設3 在n邊形的邊上任取一點，該點與多邊形各頂點的連線構成（n-1）個三角形，并求得n邊形內角和為：（n-1） x180°-180°=（n-2） x180°（如圖10）;

預設4 在n邊形外部任取一點，該點與多邊形各頂點的連線構成n個三角形，并求得n邊形內角和為：（n-l）x180°-180° =（n-2）x180°（如圖11）.

3.4 引導發展

（1）求圖12中x的值.

（2）十邊形的內角和是___________度;

（3）已知一個多邊形的內角和是1080°，則這個多邊形的邊數是____;

（4）在四邊形ABCD中，∠A =90°，且∠B：∠C：∠D= 4：3：2.試求∠D的度數？

（5）拓展延伸：

（a）如圖13，清晨，小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路（圖中虛線），按逆時針方向跑步，試問：①請在圖中標出小明從小路AB轉向BC時身體的轉角;②當他跑完一圈時，身體轉過的角度之和是多少？③如果廣場是六邊形或七邊形，結論是否一樣？為什么？

（b）適時引導學生用類似求三角形外角和的推理方法（如圖14）探索驗證：五邊形的外角和：180°×5 -（5-2）x180°= 360°（如圖15）;n邊形的外角和：180°×n-（n-2）x180°=360°（如圖16）.

3.5 成效評價

（1）A層（供全體同學完成）

①一個多邊形的內角和是外角和的3倍，試求這個多邊形的邊數？

②多邊形的邊數每增加一條時，內角和的變化情況？外角和呢？

A.增加90° B.增加180°

C.增加360°

D.不變

③正多邊形的一個外角的度數是36°，則這個正多邊形的邊數是____;

（2）B層（供學有余力的同學繼續完成）

小亮同學從A點出發前進10m，向右轉15°，再前進10m，又向右轉15°…這樣一直走下去，他第一次回到出發點A時，整個過程一共向右轉了____次，一共走了_____m.

3.6 小結升華

3.7 課后反饋

（1）A層作業（供全體同學完成）

①七邊形的內角和是____;外角和是____;

②如果一個多邊形的每個內角都是144°，那么它的內角和為（ ）

A. 1800°B. 1620°C. 1440°D. 1260°

③一個多邊形的每個內角都相等，且一個外角比一個內角大60°，求這個多邊形的每個內角的度數及邊數？

（2）B層作業（供學有余力的同學自主選擇完成）

①探索在一個多邊形中，最多能有幾個內角是銳角？最多能有幾個外角是鈍角？

②如圖18所示，三角形紙片∠A= 60°，∠B= 80°，將紙片一角折疊，使點C落在三角形ABC內部，且∠1= 20°，求∠2的度數？

4 教學思考

在幾何定理的教學中，如何能夠讓學生更好地理解并加以應用，這是我們數學教師都應不斷思索探究的問題，而針對幾何定理的教學策略與方法的選擇固然非常重要，教師應該依據學生的認知規律與學情選取一些更為合適的教學策略與方法，并且要以靈活的課堂模式促進學生對于定理的理解與認知，這樣才能夠真正促進學生對于幾何定理有更好的理解與吸收，并且讓學生對于知識的掌握更加透徹，方能有效發展學生的空間觀念、幾何直觀及推理能核心素養能力的全面提升.