一道題的錯解的教學實錄與思考

潘穎藝

以下是在基本不等式新授課后一堂習題課給出的一道題.

1 題目

2 教學實錄

師：以上解法1的過程中，采用“1”的代換形式，構造出基本不等式的結構式再進行求解，

所以，生乙解答過程中，兩次運用基本不等式時，出現等號成立條件前后不一致，此時√2不是所求最小值了，生丙只運用一次基本不等式，滿足等號成立的條件，

師：因此，以后大家在運用基本不等式求最值時，一定要非常重視它成立條件，即：一正、二定、三相等，缺一不可.

3 教學思考

3.1 尋找解題過程的來龍去脈，深入理解所學知識的合理性

那么，本題是怎樣想到利用“1”的代換求解最小值呢？學生自己又怎能自然而然地想到用這種方法解題呢？解法1的思路像從一頂帽子里抓出一只兔子的戲法一樣令人感到意外，教師如何有啟發性地提出這樣一個問題的解題思路呢？

基于此，在課堂教學中教師可以引導學生聯想起一個以前曾經求解過的與當前題目緊密相關的題目，給出以下一個例題：若tana=2，求sin2 a+2sina·cosa-3 cos2 a的值？

當時，本題其中有一種解法思路，就是利用1= sin2 a+cos2a，將所求式子轉化為齊次分式后，切化弦求解的，那么，這個解題思路對本題解法1的啟發是什么呢？

3.2 多角度聯想，尋求問題解決的通性通法

常言道：條條道路通羅馬，以上錯解告訴我們：在謹記基本不等式成立的三個條件下，可以充分發揮基本不等式的作用解題，還可嘗試用代入消元的方法，即：

從以上得到的式子a（2-a），也可以用二次函數配方法求最值，除此之外，后續導數知識學完后，本題也可考慮用求導方法求解，那么，在這些解法中，哪種才是解決這一類問題的通性通法呢？

從基本不等式應用來看，應用它求最值，條件苛刻，需要“正數、定值、相等”三個條件缺一不可;從求最值角度看，構造關于某一變量的函數關系式，利用函數性質求解，能解決基本不等式不能解決的問題，學生較容易理解，是通性通法，而應用基本不等式求最值達到錦上添花的效果.

3.3 錯題：走過，路過，不要“錯過”！

為什么學生乙會出現解題上錯誤呢？學生乙只是依葫蘆畫瓢，解題過程欠思考，造成了聽懂≠會做，錯解的出現，給了學生檢驗自身的邏輯漏洞或知識缺陷的有利時機，也讓教師能夠引導學生對知識的理解，可以從陳述性知識向程序性知識深化，提高學生對知識的元認識能力;再者，錯題的反思，學生可以多角度去思考同一個題目，達到知其然、知其所以然、知何由以知其所以然的效果，因此，錯題的出現，必然要做到“工欲善其事，必先利其器”，錯題作為學習的一種很好資源，不要“錯過”，利用好它，對高二文科生的數學學習來說是非常有幫助的.