漫談歐拉買郵票問題

耿曉華

【編者按】

像牛頓、歐拉、高斯等大數學家，他們窮其一生研究數學，做出了很多我們難以企及的數學貢獻，甚至推動了人類社會、科技的進步與發展，所以他們是值得我們敬佩的.如果你是熱愛數學的，那你肯定也想多了解一些他們的數學故事，今天，我們將以“大數學家與數學問題”為切入點，和大家聊一聊我們可以理解的一些有意思的數學問題.

偉大的數學家歐拉是不是集郵愛好者，或許已經無法考證，但歐拉買郵票問題卻流傳了下來.傳說歐拉在郵局買了一些郵票，其中2分一張的郵票數量是1分錢一張的郵票數量的3/4，5分一張的郵票數量又是2分錢一張的郵票數量的3/4，還買了8分一張的郵票5張，他只用一張鈔票（這里假設有8種面額：1元、2元、5元、10元、50元、100元、1000元、10000元）付款，并且沒有找回零錢（數學家的做事風格嘛，哈哈），試問歐拉每種郵票各買了多少張？

顯然，我們可以借用方程思想解決這個問題.假設y為歐拉買的1分一張的郵票數量，則2分錢與5分錢一張的郵票的數量分別為3/4 y'9/16y.這說明y一定是16的正整數倍，我們不妨設Y=16x，這樣所有郵票的總價為16x+2X12x+5×9x+40分，恰好是一張鈔票的面值κ元.令16x+2×12x+5×9x+40=100k，其中x為正整數，κ是1，2，5，10，50，100，1000，10000中的某個數.化簡這個方程得到17x=20k -8.要解決這個問題，最終就歸結為如何求二元一次方程17x=20k-8的正整數解，其中κ∈{1，2，5，10，50，100，1000，10000}.

下面，我們給出如下幾種方案.

方案1：對于方程17x=20k 8，直接驗證κ的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000，求得的x為正整數即可.驗證得到κ只可能是1000.容易解得1分的郵票是18816張，2分的郵票14112張，5分的郵票10584張.這種方案運算量大，相對比較麻煩.

方案2：對于方程17x= 20k -8，我們用方程一邊的“整”描述另外一邊的“整”，再枚舉即可.例如x—κ十3κ-8/17，則3κ-8/17是整數，再將κ的所有可能的取值1，2，5，10， 50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合條件的，這樣χ也可以求得.以下同方案l.

方案3：對于方程17x=20k-8，我們可以用方程一邊的“因子”描述另外一邊的“因子”，再枚舉即可.注意到右邊是4的倍數，方程可寫為17χ=4（5k- 2），所以x也一定是4的倍數.可設x-4m，則17×4m-4（5k-2），約分得到17m一5κ-2，再將κ的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合條件的.以下同方案1.

實際上，這個問題中κ的取值是有限的，可以借助于枚舉的方法得到，相對比較容易.如果我們可以把條件放寬一點，即κ只要是正整數即可，那這個問題就遠比原問題復雜多了，即求17x=20k-8所有的正整數解或者給出正整數解的結構.像這樣形如ax+by一c（a，b，c∈Z，ab≠0）的方程，我們稱為最簡單的二元一次不定方程.不定方程歷史悠久，早在1700多年前，古希臘的數學家丟番圖就對不定方程做過深入的研究，所以不定方程又被稱為丟番圖方程，

我們先來分析一下最簡單的二元一次不定方程的解的結構：

設方程ax+by=c，其中a，b，c為整數，且ab≠0.

若a，6的最大正公因數記為（a，b），當且僅當（是（a，6）的倍數，則該方程才有整數解，其所有的整數解

（l為整數），其中（x₀，y₀）是某個具體的解，我們也稱之為特解，

回到歐拉買郵票問題，考慮上述方程即20k-17x=8的正整數解，容易觀察χ是4的倍數，所以通過簡單的枚舉得到k=14，x=16就是原方程的一組解，所以根據前面的結論就可以得到該方程所有的整數解為 （t為整數）.再進一步，求原方程的正整數解還需要滿足k>0，且x>0，所以只要參數t為自然數即可.因此，20k-17x=8的所有的正整數解為 （t為自然整數），這還表明這個方程組有無窮多組正整數解.

不定方程問題是非常有趣的代數問題，有一些不定方程有一些程序化的解決方案，對這一類不定方程的研究已經成熟，例如前面的二元一次不定方程.但更多的不定方程因為結構的多樣性，方法也是多樣的，沒有程序化的解決方案，甚至難度還特別大，例如著名的費馬大定理就是一個不定方程的解的問題：xⁿ+yⁿ=xⁿ，當n為大于2的正整數時，該方程無正整數解.很明顯，當n=2時，任意一組勾股數就是解，但n>2時，就特別困難.費馬提出這個猜想到20世紀末美國數學家安德魯·懷爾斯證明了這個猜想，使得猜想成為定理，整整經歷了358年.懷爾斯因此獲得了1998年國際數學屆的最高獎之一的菲爾茲特別獎.值得一提的是，在這358年里，還有很多的數學家鍥而不舍地研究這個問題，雖然他們沒有最終解決問題，但是在研究的過程中發現了新的問題，提出了新的猜想，創造了新的方法，有力地推動了數學的發展.數學的發展是波瀾壯闊的，代數中的不定方程就是其中的浪花一朵.