怎樣解題

邵賢虎

師：同學們，在平時的練習中，是不是經(jīng)常有這樣的感覺，拿到一道較難的習題，第一次看完感覺無從下手，這很大程度上可歸結(jié)為審題的失敗，未制訂有效的解題計劃，計劃實施不扎實嚴謹，缺乏解后反思.

今天給大家介紹一位偉大的美籍匈牙利數(shù)學教育家喬治·波利亞（G. Polya，18871985）.他十分重視解題在數(shù)學學習中的作用，并對解題方法進行了多年的研究和實踐，繪制出了“怎樣解題”表，主要可分為“弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧”四個階段.下面結(jié)合這四個階段及本人的思考，和同學們聊聊怎樣解題.

一、弄清問題：解題從審題開始

在習題中經(jīng)常會出現(xiàn)一些容易看錯、易被忽視或容易誤解的字詞，如果我們粗心大意，就會導致失誤.因此，我們必須了解問題的文字敘述，要善于“斟字酌句”，認真思考，弄清含義，為正確解題掃除障礙，如已知是什么？未知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？

例1

一直線過點M（3，-4），且在x軸和y軸上的截距相等，求它的方程.

師：本題求直線方程，條件中你認為關鍵的字眼是什么？

生：截距相等.

師：你會選擇直線方程的什么形式？

生：截距式.

師：設截距式應注意什么？怎么解決？

生：應注意截距式的局限性，不能忽視直線在x軸和y軸上的截距都為零，即直線過原點的情況.

生：當直線過原點時，易求其方程為4x+3y=0;

當直線不過原點時，用直線方程的截距式，設所求方程為x/a十y/a=1，

把已知點M（3，-4）的坐標代入方程，得a=一1.此時所求方程為x/-1+ y/-1=1，即x+y+1=0.

故所求直線方程為4x+3y=0和x+y+1=0.

師：很好！本題審題緊扣關鍵字眼“截距相等”，且避免了漏解的情況，這些關鍵字眼對問題的解決至關重要，必須給予高度關注.

二、擬定計劃：確定方法和途徑

擬定計劃時，要善于對條件或結(jié)論進行簡化，化繁為簡、化難為易.解題思路不能只停留在原題上，而應積極地將其轉(zhuǎn)換成熟悉和易解的問題，這樣就能找到有效解決問題的方法和途徑.因此，我們要注意分析題意，善于簡化，尋求轉(zhuǎn)換，并從中領悟出求簡和化歸的重要思想，從而擬訂解題計劃，

例2 已知兩條直線ι1alx+b1 y=1和l₂：a₂x+b₂y=1相交于點P（2，3），求過點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直線方程.

當教師展示題目后，同學們認為條件很簡單，但字母較多.怎樣才能簡化呢？

師：你能將條件“翻譯”一下嗎？

生1：由直線l₁：a₁x+b₁y=1和l₂：a₂x+b₂y=1相交于點P（2，3）可得2a₁+3b₁=1，2a₂+3b₂=1.

好像解不出來，四個未知數(shù)只有兩個方程.

師：求過點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直線方程需要什么條件？如何獲得？

生2：需要直線P₁P₂的斜率和直線上一點的坐標.（擬訂計劃）

由①-②得2（a₁-a₂）+3（b₁-b₂）=0.b₁-b₂/a₁-a₂=-2/3，即k=-2/3.

斜率求出來了，還缺一個點的坐標.已知條件中雖然有兩點，但都含有未知字母，不知道下面應該怎么辦.

師：已知條件中有兩點，雖然含有未知字母，能不能勇敢地選取其中一個點嘗試一下呢？

生2：我來代點P₁（a₁，b₁）試試.

由點斜式得y-b₁=-2/3（x-a₁），化簡得2x1+3y-（2a₁+3b₁）=0，而2a₁+3b₁=1，所以得直線方程為2x+3y-1=0.

師：很好！我們再回頭重新審視一下等式①②，說明了什么？

生3：我覺得從①②兩式就能得到所求直線方程.①式表明點P₁（a₁，b₁）在直線2x+3y=1上，同樣的，②式表明點P₂（a₂，b₂）也在直線2x+3y=1上.

兩點決定唯一的一條直線，所以過點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直線方程就是2x+3y=1.

師：很好，這種解法體現(xiàn)了解析幾何最基本、最本質(zhì)的思想，

師：本題第一種解法充分展示了由審題所帶來的解題計劃的一步步實現(xiàn)，步步為營，成功解決問題;第二種解法“簡約而不簡單”，體現(xiàn)了良好的大局觀，令人拍手稱快！