定理奠基，數形并舉

李凈

大數學家拉格朗日說：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄.但當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快捷的步伐走向完美.”平面向量融數、形于一身，有著代數形式與幾何形式的“雙重身份”.作為代數的對象，向量可以進行運算;作為幾何的對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何量.其中，向量的數量積作為連接向量與實數之間的橋梁，幾乎可以解決幾何中所有的度量問題，如長度（模）、夾角、垂直等，在向量學習中有著極其重要的作用.

一、基底為“根”，根深葉茂

所謂基底法，是指解決向量問題時，首先選取兩個模長和夾角已知（或易求）的向量作為基底，再利用平面向量的加、減運算和平面向量基本定理，將待求的向量用基底來表示.在表示向量時，要充分利用同一頂點出發的基本向量或首尾連接的向量，運用線性運算法則及數乘運算來求解，另外還要充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.

評注

平面向量的基本定理是整個向量知識體系的理論基礎，它表明同一平面內的任一向量都可表示為其他兩個不共線向量的線性組合.因此，在本題中，在確定了基底后，可以求任意兩個向量的數量積.這正如根基一定，樹干和樹枝便可以自由生長，而枝干的營養皆來自根基.基底法策略體現了“化歸與轉化”的數學思想.

二、坐標為“器”，化繁為簡

所謂坐標法，是指解決向量問題時，通過合理地建立平面直角坐標系，將問題中的點和向量用坐標表示，將原本復雜的圖形特征和向量關系轉化為較為簡單的坐標關系（坐標法亦可視為選擇單位正交向量為基底的基底法），從而將向量問題轉化為代數運算，從而降低問題的難度，這正是處理平面向量數量積問題的算法化思想.坐標法的難點主要在于如何建系、如何表示坐標.一般地，幾何圖形的圖形特征（定比分點、對稱性、直角特征等）和向量線性運算的幾何意義都是建系時需要考慮的因素.

評注

在引入向量的坐標表示后，可以有效地將向量之間的運算代數化，這樣就可以將“數”“形”緊密地結合在一起，將向量運算完全代數化，可使許多幾何問題轉化為同學們熟悉的有明確關系的數量運算.坐標法體現了化歸與轉化、函數與方程的數學思想.

三、幾何為“核”，巧解妙算

所謂幾何法，是指解決向量問題時，把已知條件和所求結論在圖形中表示出來（往往結合其幾何意義），借助圖形思考、解決問題，根據數量積的幾何意義，a-b的幾何意義是a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.此法在求解向量數量積的大小或最值時，常常可以起到四兩撥千斤的作用.使得問題大大簡化.

例3

如圖4是蜂巢結構圖的一部分，正六邊形的邊長均為1，正六邊形的頂點稱為“晶格點”.若A，B，C，D四點均位于圖中的“晶格點”處，且A，B的位置所圖4所示，則AB.CD的最大值為

解析

如圖4，將蜂巢結構圖上各點向直線AB做投影，可以發現當選取圖中CD時，數量積AB·CD可以取得最大值.

由于蜂巢結構圖具有對稱性，可以選擇建立如圖5所示的平面直角坐標系，得到C，D兩點坐標，即可求得AB.CD的最大值為24.

評注

向量是一個有“形”的幾何量，因此，在研究向量的有關問題時，一定要結合圖形進行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.圖形化策略體現了化歸與轉化以及數形結合的數學思想.

四、多管齊下，融會貫通

上面提到的三種解法，各有優勢，需要我們根據題目特征合理選擇，有時還可能會綜合利用多種方法.

評注

此題的解法很多，可以利用基底法，將所求向量進行分解，轉化為數量積問題求得最值;也可以將幾何法和坐標法相結合，還可以先利用坐標法，求出M的軌跡，結合幾何圖形求解（如上所示）.除此以外，例1、例2、例3也可以使用其他方法來解決，同學們可以白行嘗試.

通過上面的研究，我們可以發現，解決向量數量積問題的一般方法有：

（l）基底法——利用平面向量基本定理把題中所有向量用基底表示，用向量的數量積公式（基底一般選擇長度已知、夾角已知的向量）;

（2）坐標法——寫出所有點的坐標，代人數量積的坐標公式求解，圖形為矩形、直角三角形、等腰三角形、圓等優先考慮建系;

（3）幾何法——利用向量線性運算、向量數量積的幾何意義，構建合適的幾何圖形，將問題轉化為平面幾何問題求解，

解決向量數量積問題的幾種方法均源于向量的本質特征，各具特色、各有利弊，它們既可以獨當一面，還可以綜合使用，互為補充，相得益彰.