與三角形“外心”牽手的向量問題研究

鄭玉梅

向量集數、形于一身，既有代數的抽象性，也有幾何的直觀性.向量的數量積是其核心內容，也是教學過程中的難點.其求解方案大致可以從“定義、基向量法，或建系、坐標化”等等角度處理.但若是碰到特殊情況，將向量與三角形的外心相結合，此類問題義該如何破解呢？下面就從與三角形“外心”有關的單個向量數量積問題和雙參平面向量問題出發，一起來感受一下求解的一般方法！

一、與單個向量有關的數量積問題

本題主要考查三角形中與“外心”有關的單個數量積計算問題，意在考查同學們的運算求解及化歸與轉化思想運用的能力.初次碰到此題很多同學不會求解，解題過程中，機械地將條件不停地加以嘗試和利用，方向不明，耗時較多.

思路一 利用數量積定義，如圖1.

思路二 取AC中點，利用垂直轉化與化歸;

小結

一般地，與“外心”有關的單個數量積問題，與哪條邊有關，就取哪條邊中點然后向目標線段轉化.此題同學們陸續想到的解題思路線索就是上述解法1、2，不同解題思路及到達的相應步驟反映了同學們對此題的熟悉程度.以后隨知識的增加，這個易于辨識的常規問題，還可能改頭換面，會多一些求邊或角的過程，我們要揣摩出題者的意圖，在解決問題的局部時進行行動方向上的評估，選擇與變通使用解題方法，來克服所遇障礙與困難.所以在對準目標的基礎上，掌握一些基本套路還是必要的，二、與雙參平面向量有關的問題

“由少變多，由簡單變復雜”是數學m題的規律，當題目涉及一個向量為另外兩個向量的線性組合時，構造數量積是解決此題的必然，因為若要充分應用題目中有關向量的模和夾角條件，只有借助于數量積才做得到.向量與外心結合的雙參平面向量問題，常采用兩種處理方法，即①平方法;②點乘相關向量法.

通過平方，將雙參平面向量問題轉化為方程組問題順利求解.

此題，有些同學在嘗試的時候可能會選擇等式兩邊點乘AB或萬古，但都無功而返，考慮到求解的是l萬石l，故兩邊點乘萬方則顯得有效而義自然.

小結

與外心有關的雙參平面向量問題，如果給卅的式子是形如面j—z oJB+v頂耋型;則可考慮平方法;如果給m的式子是形如石方一z萬百+v萬方型，則可采用相關向量點乘法.當然除上述方法外，如果能建系，也可以從坐標運算考慮并嘗試.

對于三角形的外心，我們需要知道以下幾點：

（3）外心到三個頂點的距離相等;

（4）當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部;當三角形為直角三角形時，外心是斜邊的中點;當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部.

當然，向量與蘭角形的“心”有關的問題還會與三角形的重心、內心、垂心等結合，這一類題既有思考性和挑戰性，也有足夠的深度和難度.從知識點與難易程度來看，與外心結合的題目雖然沒有與重心結合的題目卅鏡率那么高，但若考到，其基本方法和基本思考角度還是要盡量熟悉的.同學們，你會了嗎？