某“解題APP”上的一個錯解探究

葉張銘

【編者按】秉承“常態閱讀，深度思考，精致表達，共同發展”的理念，為推動數學寫作活動的深入開展，展現學生的學習成果，鼓勵學生深入思考、探究創新、合理表達，“數學寫作”學校聯盟開展了第二屆“數學寫作”學校聯盟中學生數學寫作競賽活動，并取得圓滿成功。

這次數學寫作活動得到了多所學校的支持，其中涌現出許多優秀的作品。這些作品有的是對所讀的文章或圖書的深度思考，有的是對課堂內容在現實生活中的拓展和應用，有的是自己做一道題或一類題的感悟，有的是在使用數學工具的過程中的大發現，有的是數學相聲、數學詩歌……真是讓人大開眼界，以下擇取其中的一些文章與讀者共享。

國慶長假在家里，我想利用這個時間寫一篇數學小論文，通過QQ向老師求助，請他推薦幾道題.老師給我發來了在某個解題APP上的題（下圖，其中Z為整數集）.并且說，這個解答是錯的，讓我研究一下.

一、為什么是錯的？

二、究竟錯在哪里？

我按照這個解法，自己又重新計算了一遍，發現這個答案存在計算性錯誤.事實上，

三、發現新的錯誤

當我欣喜地把這個結論告訴老師時，老師讓我再用k=-3檢驗一下.按我上面的答案，此時也應該有（A∩B）∩Z={2}.但檢驗的結果卻出人意料：當k=-3時，B={x|2x²-5x-9<0}，不僅2∈B∩A，而且3∈B∩A，故3∈（A∩B）∩Z.原來，上面這個答案還是錯的！

這說明，這個解答不但存在計算性錯誤，而且在解題邏輯上存在嚴重錯誤，這道題不能這么解！

四、干脆暴力破解

那么這道題到底該怎么解呢？找不到很好的辦法，我干脆用暴力破解，把集合B中的不等式解出來為：

由題意，我們有：

五、再次研究錯解

經過了一番“暗無天日”的演算（經歷過才能體會！為了節省篇幅，上面我把這個演算過程省略了），終于得出了結論.我如釋重負地把這個解答發給老師，得到了老師的肯定——這是對的，然后義說，“還有更簡便的解法，你現在再回過頭去分析一下最初的那個錯解，看會不會有新的啟發.”

帶著一絲驚訝，我重新回頭認真研究了這個解，果然有了一些新的想法.為方便敘述，我們記f（x）=2x²+（2k+1）x+3k，那么，最初APP上的解答方法，就是把已知條件轉化為以下一個不等式組：

仔細思考后發現，其實這是不夠的.通過對二次函數的圖象分析，我們可以看出，它只能保證二次函數f（x）圖象與x軸的交點分布于x=2的兩邊，不能保證題設條件成立（如圖1）.

能不能在這個不等式組中再添加一些不等式，使得它與題設條件等價呢？分析上面的暴力破解，我們發現，原題設等價于二次方程f（x）=0的兩根分布滿足：2≤x₁<22≤3.也就是說二次函數的圖象應如圖2所示，

六、獲得完美解法

七、發現新的規律

我們發現，以上完美解法中，根本沒有考慮判別式！這是為什么呢？我們從第二節的計算過程中也發現，判別式得出的范圍②，在取交集后并沒有起到作用，最后答案與①一致.這是不是有什么規律呢？什么時候不需要考慮判別式呢？

通過研究，我們發現這樣一個規律：“開口向上的二次函數，若存在一個函數值為負數，則判別式大于零”.這是顯然的，因為如果存在一個函數值為負數，就說明二次曲線有一段在x軸的下方.義由于它的開口向上，所以與x軸必有兩個交點，判別式一定大于零.

因此，在以上解答中，有了f（2）<0，判別式就一定大于零，就不再需要考慮判別式了.

八、體會

（l）解題APP的答案僅供參考，我們不能迷信，自己至少應該再算一遍.

（2）不能讓解題APP禁錮了你的大腦，它不轉動，會生銹的.

（3）解出一道題，不一定說明我們已經把它弄透了.要真正弄透一道題，不妨對它顛三倒四地來回折騰一翻.

（4）學數學，白己認真動手做是非常重要的，同時，也要重視與高手交流，可以少走彎路.同學、老師都行.

【指導老師點評】

學生論文主要是一個學習過程，這篇文章完整地記錄了對一道錯題的探究過程，是一個很好的探究性學習案例.我們可以通過這篇論文看到，作者在這個過程中，無論在對這類題型的理解上、計算能力的訓練上，還是學習方法的感悟上，都有令人欣慰的發展.私以為，這才是數學寫作的根本價值所在.