窗格中的數學題

常文武

假日里在花園里漫步，發現長廊的一個正六邊形鏤空窗非常美觀.它的窗格是規整的正三角形的網格，也許是維修T人臨時固定松動木框，優美的窗花上面平添了兩條多余的鐵絲，如圖1.

咦，這倒正好提出一個有趣的數學問題：這兩條鐵絲所在直線的夾角a是多少度呢？

聰明的你不必馬上讀下去.先拿起紙筆，試試你的解題功力吧！

如果你在讀高中，自然想起兩直線夾角的公式：

其中，κ₁κ₂分別為兩直線l₁l₂的斜率.經過計算，這樣，最后可以得到a=60°。.

原來這兩條隨意連接的線段夾角恰為60。！這義引起我們的好奇心：這么巧的結論不應該用這么“笨拙”的方法來解它！

那么如何來巧解此題呢？

容易想到借助均勻的等邊三角形網來找全等的圖形.例如圖2中我們可以找到△ABC≌△DEF，且∠BAC=∠EFD=120°，所求的角∠CGE其實就是∠ACB和∠DEF的和，而∠DEF與∠CBA是對應角，所以所求角a=∠CGE=∠ACB十∠DEF=∠ACB +∠CBA=180°∠BAC=60°。注：這里用到平面幾何里形如“∑”的圖形ACGEF的角度計算技巧.讓我們溫習一下這個解題套路.在圖3中，利用平行線內錯角相等就可以得到∠1=∠2+∠3.）

至此，我們找到一個不那么死板的解法.但是還是不太令人滿意，因為我們需要另證結論.有沒有其他辦法，義不需要用到高中的知識就能求解此題呢？

回到圖1，我們發現通過第二種解法可進一步發現這兩條線段其實是等長度的.要想說明兩條等長的線段夾角是60°。，不如找到一個旋轉角為60°。的旋轉變換，讓一條線段經過旋轉到達另一條上，有這樣的旋轉變換嗎？

這樣的旋轉是存在的：如圖4所示，假設旋轉變換使得C運動到E，同時B運動到D，那么旋轉中心就是CE的垂直平分線和BD的垂直平分線的交點.這個點正是窗子的中心點o.不難驗證，由于OCE構成等邊三角形，OBD也構成等邊三角形，所以這個旋轉是以60°。為旋轉角的旋轉.

有了以上探尋的成果作基礎，我們可以充分利用平移一邊不改變角的大小來發現更淺顯的證法：

如圖5所示，將線段BC平移至線段C'D，發現△C'DE恰為等邊三角形.而所求角∠CGE=∠D=60°.

學習數學就要有這種探尋精神，不但善于在生活的現象中發現數學問題，還要能融會貫通地利用初高中的數學知識來解決問題！